Temas de Estadística Práctica Antonio Roldán Martínez

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Tema 7   

Muestreo y Estimación

Una profesora de Historia, ante la proximidad de un Referendum en la Unión Europea, decide realizar una encuesta entre 200 de sus alumnos. Obtiene los siguientes resultados:

	Sentido de la votación
SI	95
NO	70
No sabe/No contesta	35

Según estos resultados, ¿se puede inferir que en el Referendum el SI obtendrá el 50% de los votos, o más?

Esta situación es un ejemplo claro de la necesidad de efectuar una operación estadística llamada Estimación.

La encuesta que realiza la profesora está realizada sobre una muestra de alumnos y lo que le interesa a ella es qué puede ocurrir en la población. Cada vez que tenemos que comparar un colectivo (llamado población) con una de sus partes (llamada muestra), debemos realizar una operación llamada estimación.

Concretamos

Población

Es el conjunto de referencia que pretendemos estudiar, formado por elementos que comparten una misma propiedad: Españoles adultos, alumnos de la Enseñanza Privada de Méjico, fresnos existentes en la Sierra de Guadarrama.

Censo

Si es posible estudiar toda la población, por ejemplo, los alumnos de un colegio, a este estudio le llamaremos censo. Un censo no siempre es posible, especialmente por motivos económicos.

Muestra

Una muestra es un subconjunto de la población, y es el que verdaderamente se estudia en la inmensa mayoría de los experimentos y estudios. Se debe acudir a muestras cuando la población es demasiado numerosa (población infinita), o bien resulta muy caro un estudio exhaustivo. Otro motivo suele ser que el experimento requiera pruebas destructivas, y no es caso de destruir la población.

Una muestra es representativa cuando tiene una estructura y unos parámetros muy parecidos a la población. Desgraciadamente, esta definición no es útil, pues generalmente no se conoce con seguridad la población, o existe la sospecha de que sus características hayan cambiado. Llamaremos muestreo al conjunto de técnicas que nos ayudan a elegir una muestra representativa.

Muestreo

La operación de elegir una muestra puede ser tan compleja que llena libros enteros. Aquí sólo repasaremos las cuestiones de muestreo más frecuentes.

La parte de la Estadística que estudia las estimaciones (relaciones entre poblaciones y muestras) se llama Estadística Inferencial, y es la que comenzamos a estudiar en esta sesión.

En el resumen teórico puedes repasar los conceptos de Muestreo, Estimación y sus distintas variantes.

Estimación de parámetros

Como habrás visto en la Teoría, se pueden estimar unas características numéricas de la población, llamadas parámetros, mediante unas medidas efectuadas en la muestra, a las que llamaremos estadísticos. Los más populares son:

La media: Mediante el promedio de los datos de una muestra se intenta inferir qué media tendrá la población. Por ejemplo, se mide la resistencia de unos tornillos y se desea con ellos estimar qué resistencia ofrecerán los tornillos fabricados en un largo periodo de tiempo.

La proporción: Es la estimación propia de las encuestas, y por tanto de la de nuestro ejemplo. Se calculan porcentajes en la muestra y con ellos se estiman las proporciones en la población.

La varianza: Se mide la variabilidad de la muestra y con ella se estima la de la población. En este caso no se usa la desviación típica, sino un estadístico muy parecido, la cuasidesviación típica o desviación estándar. Por ejemplo, midiendo las varianzas de varios exámenes de una asignatura en varios cursos se puede inferir la que esperaremos en el próximo curso.

Iremos viendo ejemplos de cada caso. No es necesario que memorices o estudies a fondo la teoría, sino más bien observa cómo trabajan los modelos de esta sesión.

Hay dos clases de estimación:

Puntual: Consiste en asignar al parámetro de la población el mismo valor que su correspondiente estadístico en la muestra. Es una operación muy arriesgada, porque normalmente no coinciden los dos valores. Si así fuera, acertarían todos los sondeos previos a las elecciones.

Por intervalos: En esta modalidad se rodea el valor de la estimación de todo un intervalo de tolerancia, llamado intervalo de confianza (coloquialmente horquilla), en el que se puede evaluar la probabilidad de que figure el verdadero valor del parámetro. Así, si afirmamos que  (8,22 , 9,40) es un intervalo de confianza al 96% para la media de una población, queremos indicar que en un 96% de las estimaciones similares que se realizaran, en un 96% de los casos la media pertenecería a ese intervalo, y sólo en un 4% caería fuera.

Práctica 1

Estimación de la proporción

Propiedades de la muestra y la población

La profesora de Historia desea efectuar una estimación, pues dispone de los datos de una muestra y con ellos quiere descubrir qué ocurrirá en la población. En estos casos conviene repasar las propiedades de la población y la muestra que se estudian.

Cuando se realiza una estimación hay que tener en cuenta las propiedades matemáticas de los estimadores, pero en este curso intentaremos profundizar lo mínimo posible en ellas. Se pueden estudiar en textos especializados.

Población

Suponemos que es infinita, pues se trata de todos los votantes de Europa. No es necesario tener en cuenta más supuestos en el caso de la proporción.

Muestra

La muestra no es aleatoria, pues se trata de los alumnos de la profesora. Esto resta valor a la encuesta que va a efectuar, por lo que su estudio se queda en simplemente académico. La muestra es grande, y eso nos permite usar la distribución normal. Con muestras tan grandes podemos identificar en las fórmulas las proporciones de las muestras y las de la población.

En el ejemplo que estudiamos usaremos un nivel de confianza del 5%. En la práctica significará que si repitiéramos el experimento 20 veces, se espera acertar en 19 y errar en una. Es lo normal en casi todas las situaciones. Si deseamos más rigor, usaremos un 1%, por ejemplo.

Como lo que nos interesa es la proporción, dividiremos cada resultado entre el total de encuestados:

Estimación

La estimación tendrá estas características:

• Estadístico: Proporción
• Tamaño de la muestra: 200
• Valor del estadístico: 0,475 (las respuestas SI)
• Nivel de confianza: 95% (es el más frecuente)

En el modelo estima.ods disponemos de las herramientas para realizar esta estimación. Busca la hoja de Proporciones y rellena los datos. Observa que la población infinita se obtiene escribiendo un número grande:

Estudia el resultado. Prescinde de los detalles técnicos y fíjate en el error cometido, 0,069 (que es casi un 7%), y en el intervalo u horquilla que produce la estimación:

Intervalo de confianza

Este intervalo (llamado intervalo de confianza u horquilla) significa que si la verdadera proporción fuera 0,475 y realizáramos muchos muestreos, en un 95% de las muestras, la proporción estaría comprendida entre estos límites, y sólo un 5% estaría fuera.

Por tanto, al ser el límite superior 0,54, concluimos que es posible que se gane el Referendum, aunque no tenemos gran seguridad. Si deseamos aumentar la precisión del sondeo deberemos usar una muestra mayor, con el consiguiente gasto en tiempo y dinero.

Tamaño de la muestra

Una cuestión muy interesante en las estimaciones es el poder elegir el tamaño de la muestra si se tiene como objetivo un nivel de error concreto. En el ejemplo, el error cometido era de 0,069, lo que producía una horquilla demasiado amplia. Si deseamos un error más pequeño, como sería un 0,02 (un 2%), ¿qué tamaño de muestra deberíamos haber entrevistado?

Open Office nos proporciona un instrumento muy útil para encontrar este número: la búsqueda de valor destino

Mantén los mismos datos en la hoja Proporción de estima.ods: muestra de 200, proporción 0,475, etc. para que resulte el error de 0,069.

Pide ahora Herramientas - Búsqueda del valor destino y rellena los siguientes datos:

Celda de fórmula: En esa línea escribes o capturas la celda que contiene el valor que deseas cambiar, en este caso la celda del error 0,069.

Valor destino: Escribes el nuevo valor 0,02

Celda variable: Aquí escribes o capturas la celda que deseas cambiar para obtener el nuevo valor 0,02. Aquí es el tamaño de la muestra.

Pulsa Aceptar y cambiará el tamaño de la muestra a 2339 alumnos, fuera de las posibilidades de la profesora. Por cierto que, en este caso, quedaría más clara la dificultad de ganar el referendum, ya que la horquilla (intervalo de confianza) sería (0,455,0,495)

Nota: La operación anterior puede que no funcione. La causa puede ser que no esté admitida la iteración de los cálculos. Si ves que ese es el caso, con la secuencia Herramientas - Opciones - Hoja de Cálculo - Calcular activa la opción de Iteración en unas 20 iteraciones con error de 0,001, o bien otros valores que prefieras.

Práctica 2

Estimación de la media

Realizaremos ahora una estimación de la media de una población con varianza desconocida, con el siguiente ejemplo:

En un centro de 1100 alumnos se eligen al azar 35 y se les mide la glucemia, con el siguiente resultado:

¿Qué podemos concluir respecto a la glucemia de la población estudiantil de ese centro?

En este caso se trata de estimar la media de la población, para ver qué nivel de glucemia presenta. Casi siempre que usemos la palabra nivel, usaremos el estadístico media (o la mediana en variables ordinales).

Las características de esta estimación son:

• Estimador: La media

• Características de la población: La suponemos Normal, por tratarse de una medida de tipo biológico. Su tamaño es finito, 1100 alumnos. No se conoce su varianza.

• Muestra: Aleatoria y de tamaño 35

Busca la hoja de media en el modelo estima.ods.  En ella se nos va a pedir la media y la desviación típica de la muestra y necesitamos calcularla. Para calcularlas pasa a la hoja Entrada de datos  y copia los datos en la zona amarilla. Lee la media, que deberá ser  94,77 y su desviación estándar 9,97.

Aunque nuestro objetivo es la media, hay que recordar que la desviación de 9,97 no es la usual desviación típica estudiada hasta ahora, que nos vale para estimar la desviación típica de la población, porque está sesgada. Si queremos estimar, hay que usar la insesgada, que se logra multiplicándola por la raíz de n y dividiendo entre la raíz de  n-1. Así, en este caso, la desviación típica usual es 9,83, y la insesgada o estándar, 9,97, que es algo mayor porque

Volvemos a la media. Busca la hoja correspondiente y escribe tus datos:

Hemos usado el nivel de confianza del 96%, que también es muy popular.

El resultado es: 94,77

Error cometido: 3,59 puntos

Intervalo de confianza:

Podemos confiar, con un nivel de confianza del 96%, que la media de la glucemia en ese centro está entre estos dos límites, hecho nada extraordinario. Lo que nos preocuparía en este caso serían los casos extremos.

Para practicar la búsqueda de objetivos, intenta averiguar qué tamaño de muestra haría falta para reducir el error a 2 puntos. Deberá darte unos 99 alumnos.

Práctica 3

Estimación de la varianza

Aprenderemos a estimar la varianza mediante un ejemplo:

A un profesor de Matemáticas de 2º de Bachillerato le ha comentado un colega que él obtiene en sus exámenes, desde hace años, una media 4,6 y una desviación típica de 2,1 con bastante regularidad. Este dato le hace caer en la cuenta de que llevaba tiempo preocupado porque veía mucha dispersión en sus calificaciones. Para comprobar este dato, elige al azar uno de los exámenes del curso, y obtiene este resultado:

A partir de esta muestra, que no es totalmente aleatoria, ¿qué dispersión puede suponer que ha tenido en los últimos años?

Ante todo hay que advertir que las muestras obtenidas en la enseñanza no son aleatorias puras. Lo que se infiere de ellas no es tan válido como lo obtenido mediante diseño de experimentos. Usamos estos ejemplos por su cercanía, renunciando al rigor propio de otro tipo de curso.

Supuestos de la estimación:

• Estimador: La cuasivarianza (como estimador de la varianza de la población)
• Población: Podemos suponerla infinita, porque el profesor piensa en varios años. Tampoco se comete error suponiéndola normal.
• Muestra: La supondremos aleatoria, aunque no totalmente, ya que se ha elegido un examen al azar.

Abre de nuevo estima.ods y en su zona de datos copia las calificaciones del examen.

Aquí merece la pena detenerse en las cuatro medidas que contiene, además de la media de 4,43, más baja que la de su compañero:

Desviación típica: Es la desviación típica usual

y su valor en este caso es de 2,47, pero hemos explicado en la teoría, que no es un buen estimador de la desviación típica de la población, porque está sesgada.

Varianza: Es la varianza usual, el cuadrado de la anterior: 6,11 = 2,47^2. No nos vale, por la misma razón, su sesgo.

Desviación estándar o insesgada: Es la desviación típica en la que se divide entre n-1 en la fórmula, en lugar de entre n. Se puede calcular multiplicando la desviación típica usual por la raíz de n/(n-1). Este sí es un buen estimador de la desviación típica de los exámenes de ese profesor: 2,51

Cuasivarianza: Es el cuadrado de la desviación estándar, en este caso 6,32 = 2,51^2. Es el estimador insesgado de la varianza de la población.

Según estos resultados, su dispersión en las notas, tal como él sospechaba, puede ser mayor que la de su compañero, ya que ha obtenido una estimación de 2,51 y su compañero suele obtener 2,1.

Intervalo de confianza para la varianza

Para construir la horquilla o intervalo de confianza se suele usar mejor la cuasivarianza, pero existe una fórmula alternativa para el uso de la varianza. En el modelo estima.ods se usa la siguiente:

Intervalo para la varianza

 donde la chi-cuadrado se toma con n-1 grados de libertad

Abre el modelo estima.ods y abre la Hoja Varianza. Rellena la celda de tamaño de muestra con el número 30, número de exámenes que ha estudiado, y en la celda de varianza el valor 6,11. Puedes dejar como nivel de confianza el 95%.

Deberás obtener una horquilla de (2,00 ,  3,38) para la desviación típica de la población de alumnos que examina. Como el límite inferior es 2,00 y su compañero obtiene un 2,1, no tenemos absoluta seguridad de que sus variabilidades sean distintas.

Ejercicio 1

Deseamos estimar el número de hijos que por término medio tienen las familias que matriculan a sus hijos en nuestro colegio. Para ello elegimos al azar cuarenta alumnos matriculados en el presente curso y les preguntamos cuántos hermanos son en la familia. Obtenemos estos resultados:

¿Qué intervalo de confianza, al 95%, podemos construir para la media de hijos por familia entre los que tienen hijos en el colegio?

Solución: El número de familias es grande, luego la población es, en la práctica, infinita, pero si quieres ser más realista, escribe de 1.000 a 5.000, por ejemplo. La media de hijos por familia es de 2,18, la desviación típica de 1,07, y el intervalo de confianza al 95% considerando 1.000 familias, resulta ser (1,73 , 2,63), demasiado amplio, debido a la pequeñez de la muestra.

Ejercicio 2

En un centro desean establecer el horario del descanso a media mañana. Actualmente abarca desde las 11h hasta las 11h 30m. Se está pensando en cambiarlo al intervalo de 11h 15m a 11h 45m. Se pregunta a cuarenta alumnos si se mantiene el mismo horario (respuesta MANTENER) o se cambia (respuesta CAMBIAR). Se efectúa el recuento con el resultado de 28 respuestas MANTENER y 12 CAMBIAR.

(1) Construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción de la respuesta MANTENER, es decir, la opinión de todo el centro, cuya población, a efectos prácticos se puede considerar infinita, pues tiene una matrícula de más de 2000 alumnos. Evaluar el error cometido.

(2) A la vista del error anterior, se quiere realizar un sondeo más potente, cuyo error esperado sea del 5% ¿A cuántos alumnos se ha de preguntar?

Solución: Al ser una muestra tan pequeña, el intervalo de confianza no tiene apenas validez, pues volcando los datos en la hoja de cálculo estima.ods, resulta ser de (0558,0,842), o sea, entre el 55,8% y el 84,2% para la respuesta MANTENER. El sondeo ha sido inútil, pues nos da un error del 14%. Para obtener el tamaño de muestra adecuado usamos la Búsqueda de Valor Destino (ver Práctica 1) y nos resulta un tamaño de 321 alumnos al menos.

Ejercicio 3

Dos profesores intercambian opiniones sobre la variabilidad de los resultados de unas pruebas. El primero afirma que en su materia él suele obtener una desviación típica de 2,3 en pruebas puntuadas del 0 al 10. Lleva muchos años estudiando sus resultados y este valor resume la totalidad de los ejercicios propuestos a lo largo de su vida profesional. Su compañero cree que sus pruebas presentan más homogeneidad, pero no puede demostrarlo. Para estudiar esta cuestión resume en la siguiente tabla muchos resultados de 0 a 10 obtenidos en sus últimas pruebas.

¿Cómo podría estimar la desviación típica de la población formada por todas las pruebas propuestas?

Solución: Puedes usar la hoja de cálculo confrec.ods incluida en el Tema 2 para obtener la media y desviación típica de la muestra. Deberías obtener los resultados de una media igual a 4,95 y desviación típica de 1,69 (varianza 2,87) para una muestra de 942 datos.

Aparentemente esto le da la razón: sus pruebas son más homogéneas. Para realizar una estimación por intervalos se puede acudir, con esos datos, a la hoja de cálculo estima.ods en el apartado de varianza. Con un nivel de confianza del 95%, se obtiene el intervalo (1,62 , 1,78) para la desviación típica. Como ambos son inferiores al valor de 2,3 de su compañero, deberemos aceptar que sus resultados son más homogéneos.

Uso en el aula

Herramientas

estima.ods

Hoja de cálculo que permite realizar estimaciones mediante intervalos de confianza. para la media, la varianza y la proporción. Una vez conseguida la estimación, asigna una probabilidad (p-valor) a cualquier otro valor posible del estadístico.

medidas.ods

Calcula la precisión, mediante las técnicas de estimación, en el caso de medidas repetidas.

regresion.ods

Aunque esta herramienta pertenece al Tema 5, la inclusión de técnicas de estimación permite su uso también en este Tema. Estima el coeficiente de correlación y los de la regresión. También contiene el Análisis de la Regresión mediante la aplicación de las técnicas del Análisis de Varianza.

Para ampliar

Estimadores en la regresión y correlación

Este tema se ha considerado siempre como de nivel superior, pero existen situaciones reales que demandan la estimación de parámetros en el modelo de la regresión. Por esto se incluye en estos temas de carácter práctico. Su justificación teórica es más compleja, pero se puede consular en manuales específicos.

Un ejemplo de la necesidad de estas estimaciones es el hecho de que muchos docentes calculan coeficientes de correlación, pero cuando obtienen valores de tipo medio, como 0,55, 0,62, -0,4 no saben interpretar si estos valores indican que existe correlación significativa. Usaremos un ejemplo práctico para explicar algunas técnicas:

Supongamos que un orientador escolar está tratando el tema de la paz con un grupo de alumnos y alumnas. Les ha pasado una prueba en la que la puntuación depende más de los conocimientos previos, y otra, más inclinada a las actitudes. Llamémoslas A y B. La prueba A puntúa entre 0 y 20 y la B entre 0 y 10. Los resultados, ordenados según las puntuaciones en A han sido los siguientes:

¿Es significativamente distinta de cero la correlación entre los resultados de las dos pruebas?

En caso afirmativo, ¿se pueden ajustar estos datos a un modelo lineal B = a+bA?

Procedimiento práctico

En primer lugar, mediante una hoja de cálculo, por ejemplo  regresion.ods (tema 5)  , calculamos la estimación de los parámetros a, b y r

Los resultados son:

Coeficiente de correlación r = 0,575
Pendiente estimada B = 0,319
Ordenada en el origen A = 2,080

¿Son significativos estos valores?

En el resumen teórico puedes repasar los estimadores y las distribuciones muestrales de los parámetros en la Regresión y Correlación

Coeficiente de correlación

El coeficiente obtenido 0,575 nos plantea dos cuestiones. La primera es si es significativamente distinto de cero. Para ello puedes usar la herramienta

Si has mantenido escritos los datos, pasa a la hoja Estimación. Junto al valor 0,575 figura el valor de T obtenido de la fórmula contenida en la teoría

con un resultado de 3,716. Este valor es muy alto, y si lees la probabilidad de su aparición (p-valor=0,001) te darás cuenta de que es muy improbable una correlación así por puro azar, luego podemos aceptar que

El coeficiente de correlación 0,575 es significativamente distinto de cero, luego podemos concluir que verdaderamente existe una correlación entre las dos pruebas por el orientador.

La segunda cuestión es la de estimar ese mismo coeficiente en la población. El intervalo de confianza requiere para su cálculo la transformada de Fisher, explicada en la teoría. Aquí usaremos el intervalo propuesto por la herramienta regresión.ods sin profundizar más. En la misma hoja puedes leer el intervalo propuesto: (0,27 , 0,77). Es tan amplio porque la muestra es muy pequeña, pero nos da una orientación.

Coeficientes A y B

En los casos como el anterior, en los que existe correlación significativa, se pueden estimar mediante intervalos los coeficientes a y b mediante sus estimadores A y B, que en el ejemplo anterior presentaban los valores B=0,319 y A=2,080. En la teoría puedes consultar sus distribuciones muestrales.

En la herramienta regresion.ods se utilizan estas distribuciones muestrales para construir intervalos de confianza, resultando:

Para A: (0,16 , 4)

Para B: (0,14 , 0,49)

En estos temas no profundizaremos más en estas técnicas. Tan sólo se desea presentar sus posibilidades.

Un caso práctico

Existen muchos métodos aproximados para estimar el error en una serie de medidas. Aunque la estimación de la medida verdadera se suele efectuar a partir de la media, en el cálculo de la incertidumbre de una medida se pueden usar diversos estadísticos, como la desviación media, la desviación estándar, el error típico, etc. Nosotros usaremos este último, que es el que mejor clasifica, a posteriori, las distintas medidas como fiables o desechables. Además, está relacionado fuertemente con el tema de la estimación.

La estimación de la medida verdadera se efectúa a través de la media, pues cada clavo puede presentar un pequeño error en su fabricación y es aceptable la hipótesis de que la media de los errores no instrumentales sea cero.. Para la estimación de la incertidumbre se suele usar el error de estimación de la media, que, según la teoría, es

Si la precisión del instrumento de medida está representada por un número mayor que este error, se tomará esa precisión como medida de incertidumbre.

Estas ideas están contenidas en la hoja de cálculo medidas.ods.

Copia las medidas del ejemplo en la zona de datos de esta hoja, y rellena la precisión con el valor

Los resultados que nos da la hoja son:

Valor estimado de la media: 55,0462, que podemos tomar como estimación de la longitud del clavo.

Error típico de estimación: 0,0526. Como es más pequeño que la precisión del instrumento 0,1, tomaremos este último  como medida de la incertidumbre de la medida.

Luego el resultado se puede expresar como

que sería la expresión más correcta en la caja de clavos.

Esta herramienta de hoja de cálculo, una vez calculada la incertidumbre, califica cada medida según su grado de fiabilidad con tres símbolos: