Resumen teórico de los principales conceptos estadísticos
Muestreo aleatorio simple
Definiciones
Cuando el colectivo que se pretende estudiar
es muy extenso o inaccesible, se recurre a un subconjunto del mismo llamado
muestra, y al conjunto de técnicas
usadas se le denomina muestreo.
Población
Es el conjunto de referencia que
pretendemos estudiar, formado por elementos que comparten una misma
propiedad: Españoles adultos, alumnos de la Enseñanza
Privada de Madrid, fresnos existentes en la Sierra de Guadarrama.
Censo
Si es posible estudiar toda
la población, por ejemplo, los alumnos de un colegio, a este
estudio le llamaremos censo. Un censo no siempre es posible,
especialmente por motivos económicos.
Muestra
Una muestra es un subconjunto de la
población, y es el que verdaderamente se estudia en la inmensa
mayoría de los experimentos y estudios. Se debe acudir a
muestras cuando la población es demasiado numerosa
(población infinita), o bien resulta muy caro un estudio
exhaustivo. Otro motivo suele ser que el experimento requiera pruebas
destructivas, y no es caso de destruir la población.
Una muestra es representativa
cuando tiene una estructura y unos parámetros muy parecidos a la
población. Desgraciadamente, esta definición no es
útil, pues generalmente no se conoce con seguridad la
población, o existe la sospecha de que sus características hayan
cambiado. Llamaremos muestreo
al conjunto de técnicas que nos ayudan a
elegir una muestra representativa.
Muestreo
La operación de elegir una
muestra puede ser tan compleja que llena libros enteros. Aquí
sólo repasaremos las técnicas de muestreo más
frecuentes;
Aleatorio: Una muestra es aleatoria
cuando su elección se hace depender del azar. En concreto, si
todos los elementos de la muestra han tenido las mismas oportunidades
de ser elegidos, diremos que constituye una muestra aleatoria simple
(m.a.s.). Esta es la muestra que consideraremos aquí.
Intencional: Se llama así
cualquier técnica que dependa de la libre voluntad del
experimentador, sin recurso al azar.
Errática: Una muestra
errática es la que nos encontramos ya formada, sin
intervención nuestra, como puede ser el conjunto de alumnos
asignados al principio de curso.
Distribuciones en el muestreo
Es fácil confundir las
distintas distribuciones estadísticas que concurren en el
muestreo. Fundamentalmente son tres:
Distribución en la
población: Es el conjunto de frecuencias y medidas que se dan en
la población. Salvo mediante un censo, esta distribución
sólo se conoce aproximadamente. Las medidas tomadas en la
población se llaman parámetros. Los más
importantes son
* la media m
* la desviación típica
s
* cualquier proporción P
* su tamaño N
Distribución en la muestra
Es el conjunto de
características de la muestra concreta que hemos elegido. Su
parecido a la de la población depende totalmente del azar:
podemos elegir una muestra representativa sin saberlo, o elegir una
muestra sesgada por pura mala suerte. Sus medidas se llaman
estadísticos. Los más importantes son
* la media
* la desviación típica S
* cualquier proporción p
* su tamaño n
Distribución muestral
Es la resultante de considerar, de
forma teórica, todas las posibles muestras que se puedan elegir.
Es una distribución teórica, construida sobre variables
aleatorias, y sus elementos se obtienen mediante técnicas
matemáticas. A la media de cualquier estadístico
teórico D la representaremos por mD y a su desviación
típica sD. También usaremos el lenguaje de las variables
aleatorias: E(D) representa la media, VAR(D) a la varianza y DESV(D) a
la desviación típica.
Principales distribuciones muestrales
La teoría que sigue no
contiene justificaciones matemáticas de las propiedades que
figuran en ella. Todas se pueden demostrar, algunas con técnicas
elementales y otras mediante teoremas del límite. Remitimos a
textos especializados en Estadística Inferencial.
Distribución muestral de la media
Media: La media de todas las medias muestrales cocincide con la de la población. Es decir, si
elegimos muchas muestras distintas, no todas tendrán la misma
media que la población; incluso muchas de ellas la
tendrán muy alejada. No obstante, si pudiéramos
considerar todas las muestras, el promedio de todas las medias
coincidiría con la media de la población:
por tener esta propiedad, diremos que la media es un estimador insesgado.
Varianza: La varianza de la media tiene, en principio, una distribución más complicada;
La expresión se simplifica
si la población es infinita, pues en ese caso la raíz
cuadrada tiende a 1, y nos queda una expresión más simple.
Este resultado es muy interesante:
Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, más
pequeña será la varianza de la media, lo que
minimizará los errores.
Podemos deducir de la fórmula anterior la
expresión de la desviación típica del estimador media, y obtendríamos
también llamado error muestral
o error de estimación.
Distribución muestral: Para saber cómo se distribuye la media deberemos distinguir varios casos:
* Si la distribución de la
población es Normal, y se conoce la s de la población, la
de la media muestral también será normal.
* Si la muestra es de tamaño
mayor o igual que 30, y se conoce la s de la población,
aunque la población no sea normal, la media de la muestra
sí se comportará como normal. Este hecho fundamental se
conoce por el nombre de Teorema Central del Límite.
* Si la población es
aproximadamente normal, y no se conoce la s de la población, en
muestras grandes (n>120) puede usarse la distribución normal,
de forma aproximada, pero en muestras más pequeñas hay
que acudir a la Distribución T de Student.
Distribución muestral de la proporción
La proporciones p en las muestras forman una
distribución binomial. Si llamamos P a la proporción
equivalente en la población, la distribución muestral,
para poblaciones infinitas, queda:
E(p) = P
por tener esta propiedad, diremos que la proporción es un estimador insesgado.
Es decir, la media de la proporción de las muestras coincide con la proporción en la población.
VAR(p) = PQ/n , llamando Q a
1-P
Como en la media, el aumento del tamaño disminuye los errores.
Si n<30, la proporción sigue la distribución binomial.
Si n>=30, se puede aproximar a la normal.
Si P no se conoce, en la
fórmula de la varianza PQ/n podemos sustituir P y Q por p y q,
con un pequeño error. Más aún, en la
práctica se puede tomar como p y q el valor 1/2, que se puede
demostrar daría el error máximo. Así, la varianza
quedaría como VAR(p) < 1/(4n). Esta fórmula es muy
útil en la práctica.
Distribución muestral de la varianza
La varianza de las muestras sigue
un proceso distinto a los de la media y proporción. La causa es
que el promedio de todas las varianzas de las muestras no coincide con
la varianza de la población s2. Se queda un poco por debajo. En
concreto, se verifica que
Hemos usado el subíndice n para recordar que en la varianza se divide entre n.
Si deseamos que la media de la
varianza coincida con la varianza de la población, tenemos que
acudir a la cuasivarianza o varianza insesgada, que es similar a la
varianza, pero dividiendo las sumas de cuadrados entre n-1.
Su raíz cuadrada es la cuasidesviación típica o desviación estándar.
Si se usa esta varianza, si coinciden su media y
la varianza de la población
lo que nos indica que la cuasivarianza es un estimador insesgado, y la varianza lo es sesgado.
Distribución muestral de la varianza
La suma de cuadrados de la varianza, dividida entre la varianza de la población
se distribuye según una chi-cuadrado
c2
con n-1 grados de libertad
Estimación
Es la operación mediante la
cual identificamos el valor de un parámetro de la
población con el valor de un estadístico de la muestra.
Es como un acto de confianza: suponemos que la estructura de la muestra
permite que sus medidas sean también las de la población.
Puede ser una operación arriesgada.
Estimación puntual
La estimación se llama
puntual cuando identificamos, sin más, el parámetro con
el estadístico. En ese caso añadiremos un acento
circunflejo al parámetro para representar que estamos
estimando.
Un estimador es insesgado cuando su
media muestral coincide con el parámetro. Así, son
insesgadas (y recomendables) estas estimaciones:
El estimador insesgado de la media de la población es la media de la muestra
El estimador insesgado de la proporción es la proporción de la muestra
El estimador insesgado de la varianza no es la varianza de la población, sino la cuasivarianza.
Estimación por intervalos
Al ser la estimación una
operación arriesgada (¿cuándo aciertan totalmente
las encuestas políticas?), en lugar de apostar por una
estimación puntual, se rodea esta de un intervalo de seguridad,
lo que la prensa llama "la horquilla", que técnicamente es el
Intervalo de confianza.
Para construir un intervalo de
confianza, además de la elección del estimador, debemos
fijar el nivel de confianza, que para no correr riesgos, se suele tomar
como una probabilidad grande: 95%, 96%, 99%…
A este nivel de confianza lo representaremos
por 1 -a.
Su significado intuitivo es que si repitiéramos muchas veces un experimento con
un nivel de confianza, pongamos el 95%, sólo corremos el riesgo de equivocarnos
en la estimación un 5% de las veces, mientras acertaríamos un 95%. Así, el
símbolo a representa el riesgo de que la estimación sea errónea.
Una vez elegido el nivel, sabiendo
las distribuciones muestrales, se puede rodear al estimador de todo un
intervalo en el que existe una probabilidad 1 - a de que se encuentre
en su interior el parámetro estimado.
Los intervalos más populares son (para muestras con n>=30)
Intervalo para la media
Los valores de z son uno negativo y otro positivo, por lo que rodean la media.
Corresponden a la distribución normal.
σ es la desviación típica de la población, supuesta conocida y
n el número de elementos de la muestra.
Si no es conocida, recurriríamos a la t de Student o a la normal si la
muestra es mayor que 120.
Estos casos los puedes consultar en los manuales.
Intervalo para la proporción
Los significados de z, p, q y n
ya están explicados con anterioridad.
Intervalo para la varianza
donde la chi-cuadrado se toma con n-1 grados de libertad
Distribuciones en la Regresión y
Correlación
En las estimaciones correspondientes a la
Regresión lineal se admite como hipótesis el siguiente modelo teórico:
Se supone que en la población se han
medido dos variables X e Y, que están relacionadas siguiendo estas hipótesis:
(1) -
Yi = a
+ bXi + ei
, donde
a
y b
son parámetros de la población (ordenada en
el origen y pendiente) y ei
es el error de cada observación
respecto al modelo lineal
(2) La media de los errores
ei
es cero. La varianza de los
errores ei
coincide con la de la población y
la representaremos por s2
(3) Los errores de las observaciones son independientes
entre sí.
Designaremos por
r al coeficiente
real de correlación entre X e Y que presenta la población estudiada.
Estimadores
Llamaremos A al estimador de
a , B al de b
, y R al del coeficiente de correlación r
Estimador B de la pendiente
b
La fórmula del estimador B de la pendiente
presenta es:
que en realidad es un desarrollo de la que se estudió en
el Tema 5
que equivale al cociente entre la covarianza y la
varianza de X
Estimador de la ordenada en el origen
a
La fórmula del estimador A de la ordenada en el origen
es, como en el Tema 5:
Estimador de la varianza
La varianza se estima mediante
N-2 son los grados de libertad y el numerador equivale a
la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de Y y sus
pronósticos.
Estimador del coeficiente de correlación r
También nos vale la clásica fórmula de Pearson.
que equivale al cociente de la covarianza entre las dos
desviaciones típicas (X e Y).
Distribuciones de los estimadores
Estimador B
La varianza del estimador de la pendiente B viene dada
por la expresión
Si suponemos que la población es normal y su varianza
conocida, el estimador B también seguirá una distribución normal. Si la varianza
es desconocida, su distribución será la T de Student, y se deberá sustituir la
varianza por su estimador S2.
Estimador A
El estimador A posee una varianza algo más complicada de
calcular
También A se distribuye normalmente o mediante la T de Student, según sea conocida o no la varianza de la
población. En este último caso se deberá sustituir la varianza por su estimador
S2.
Estimador S2
El cociente
se distribuye según una χ2 con N-2 grados de libertad
Estimador r
El cociente
sigue una T de Student con N-2 grados de libertad. El
valor de T puede dar una idea de si r es
significativamente distinto de cero.
Si se aplica al coeficiente r la
transformación de Fisher
el estadístico resultante se distribuye de forma aproximadamente normal con
una varianza igual a 1/(N-3)
Se puede usar esta transformación para construir un intervalo de confianza
para el coeficiente de correlación.