De igual modo que la distribución normal univariante está especificada por su media, , y su varianza, , la función de densidad de la variable aleatoria vectorial normal multivariante de p componentes X=(X₁, X₂, ..., X_p)^T, está determinada por el vector de media y la matriz de covarianzas , de acuerdo con la siguiente expresión:

Una muestra de tamaño n extraída de una población normal multivariante de dimensión p se guarda en una matriz de orden n×p:

Además de suponer que la población es efectivamente normal multivariante, lo que es costumbre representar como N_p(,), se da por supuesto que el muestreo ha sido completamente aleatorio.

Se quiere contrastar la hipótesis nula

H₀: "la población tiene media "

H₁: "la población no tiene media ".

Para ello se hará uso del estadístico

El estadístico T se distribuye según una F_{p, n-p} de Snedecor, lo que permite resolver el contraste una vez fijado el nivel de significación .

A un grupo de 20 mujeres sanas se les ha realizado un análisis químico del sudor, registrando en cada caso el nivel de sudoración y su contenido de sodio y potasio. Los datos son los siguientes:

Cantidad de sudor	Contenido de sodio	Contenido de potasio
3.7	48.5	9.3
5.7	65.1	8.0
3.8	47.2	10.9
3.2	53.2	12.0
3.1	55.5	9.7
4.6	36.1	7.9
2.4	24.8	14.0
7.2	33.1	7.6
6.7	47.4	8.5
...	...	...

Se quiere saber si una mujer con un nivel de sudoración de 4, y unos contenidos de sodio y potasio de 50 y 10, respectivamente, se puede considerar que tiene estos parámetros en sus rangos normales, con un nivel de significación (error tipo I) del 5%.

La ejecución del programa devuelve un vector de media muestral igual a (4.64, 45.40, 9.97), junto con un valor para el estadístico de contraste de 2.90, lo que nos permite aceptar la hipótesis de que la nueva paciente tiene los parámetros de transpiración normales. No obstante, esta afirmación debe tomarse con cuidado, ya que los nuevos datos están muy cerca de la región de rechazo; para comprobarlo, se sugiere hacer el contraste con el vector de media (4, 51, 10), se verá que los parámetros de la paciente no se considerarían normales con un nivel de significación del 5%.

(Fuente: R. A. Johnson, D. W. Wichern Applied Multivariate Statistical Analysis. Prentice Hall, New Jersey.)