El problema de la regresión lineal simple entre dos variables X y Y se reduce a calcular la recta de regresión que mejor represente su distribución conjunta. Los datos se presentan como una matriz de dos columnas:

Se pretende ajustar un modelo de la forma

1. La variable respuesta y_i depende de la variable explicativa x_i de forma lineal (con pendiente a y ordenada en origen b), más un factor residual aleatorio e_i.
2. Los residuos tienen distribución normal de media 0 y varianza desconocida.
3. Estos factores aleatorios son independientes entre sí.

Los parámetros de la recta de regresión, a y b, se calculan siguiendo el criterio de los mínimos cuadrados, lo que lleva a los siguientes resultados:

La varianza residual es desconocida, siendo su estimador insesgado

Definiendo el coeficiente de correlación como

,

• Si r es próximo a -1: el ajuste es aceptablemente bueno, distribuyéndose las observaciones (x_i, y_i) alrededor de una recta de pendiente negativa.
• Si r es próximo a 0: el ajuste no es aceptable, indicando que no existe relación lineal entre las variables.
• Si r es próximo a +1: el ajuste es aceptablemente bueno, distribuyéndose las observaciones (x_i, y_i) alrededor de una recta de pendiente positiva.

El contraste de independencia entre las variables es más objetivo que la simple observación del coeficiente de correlación r. Así se plantea comprobar si los datos observados corroboran o no la hipótesis nula:

H₀: "la variable explicativa X no influye en la respuesta Y".

H₁: "la variable explicativa X influye linealmente en la respuesta Y".

Se dispone de los datos de ocho anestesias de diferente duración, efectuadas con un anestésico volátil y del tiempo en que se restablece la conciencia suficiente como para contar hacia atrás desde un número determinado sin error:

Duración anestesia (min)	Duración despertar (min)
150	13
127	16
160	21
210	20
250	16
130	13
60	12
55	14

Se intenta probar la hipótesis de que la duración del despertar no está influida por la de la anestesia.

El coeficiente de correlación para esta muestra es de 0.562231, a medio camino entre el 0 y el 1, no permitiendo dar una respuesta segura sobre el contraste; en cambio, el estadístico A toma un valor de 1.66531, del que se puede deducir que la hipótesis no puede rechazarse al nivel del 5%; en conclusión, no hay indicios de que la duración del despertar esté linealmente relacionada con el tiempo de duración de la anestesia. Si se hubiese rechazado la hipótesis de independencia, se podrían ajustar los datos a la recta de ecuación

y = 0.03 x + 11.62, siendo x la duración de la anestesia e y la del despertar.

(Fuente: J. Gil Cebrián (1995) Estadística no paramétrica. RA-MA, Madrid.)