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Análisis de supervivencia
Método actuarial

Se hace un seguimiento de supervivencia a un cierto número de sujetos muestrales durante el intervalo de tiempo [0, xm], registrándose los datos en los instantes x1, x2, ..., xm - 1, siendo

0 < x1 < x2 < ...< xm - 1 < xm.
De esta forma, el intervalo temporal durante el que se realizan las observaciones se divide en los m subintervalos disjuntos
I1 = [0, x1], I2 = (x1, x2], I3 = (x2, x3], ..., Im = (xm - 1, xm]

Partiendo de un tamaño muestral de n individuos a quienes se les va a hacer el seguimiento, los datos observados se guardan en la matriz

donde xi es el extremo superior del i-ésimo intervalo, fi el número de fallos observados y ci el de censuras durante este periodo. (Nótese que hablamos de tiempo de supervivencia o tiempo de fallo indistintamente, para referirnos a un dato que es el tiempo transcurrido hasta que cierto evento ocurre, siendo un tiempo de censura el momento a partir del cual ya no es posible realizarle el seguimiento a un individuo.)

El objetivo que se persigue es obtener información probabilística de la variable aleatoria T, asociada al tiempo de supervivencia para un individuo cualquiera de la población. En lugar de hacerlo a través de su función de distribución, en el análisis con datos censurados es habitual hacerlo mediante la función de supervivencia

S(t) = Pr{T > t} = 1 - F(t),
que se interpreta como la probabilidad de que un elemento muestral sobreviva, o que permanezca activo, después de transcurrido un tiempo t.

El método actuarial para estimar S(t) consiste en obtener una función escalonada, continua por la derecha, con saltos en aquellas abscisas xi correspondientes a los extremos de los subintervalos Ii; en concreto, este estimador se define como

donde el producto se calcula para todos los índices que verifican y ni es el número de supervivientes al comienzo de cada subintervalo Ii; obsérvese que n1 = n y ni = ni-1 - fi-1 - ci-1.

El applet que se acompaña calcula y representa gráficamente el estimador actuarial de la función de supervivencia asociada a la población de la cual se extrae la muestra.

Una cantidad de interés es el tiempo mediano de vida para los individuos de la población, el cual se define como aquel instante tm en el que se espera que la mitad de los individuos hayan fallado, es decir,

S(tm) = 1/2.
Nótese que es posible que este valor no se podrá estimar si el número de fallecimientos observados no es suficiente.

Caso

En intervalos de un año, y durante un periodo de cinco, se van registrando los fallecimientos y censuras que se van produciendo de 126 pacientes a quienes se les ha diagnosticado cierta enfermedad:

Años tras diagnóstico Fallecimientos registrados Sujetos perdidos
0 - 1 47 19
1 - 2 5 17
2 - 3 2 15
3 - 4 2 9
4 - 5 0 6
Se desea una estimación de la función de supervivencia y del tiempo mediano de vida para esta enfermedad.

El tiempo mediano de vida es de 3.05 años, lo que se interpreta como que transcurrido este de tiempo, se espera que la mitad de los pacientes diagnosticados hayan fallecido.

(Fuente: S.J. Cutler, F. Ederer(1958) Maximum utilization of the life table method in analyzing survival. Journal of Chronic Diseases, 8: 699-712.)

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