Análisis de supervivencia. Método de Kaplan-Meier

Análisis de supervivencia
Método de Kaplan-Meier

Disponemos de un conjunto de n pares de datos

en donde, si d_i = 1, x_i es el tiempo que ha sobrevivido el i-ésimo sujeto de la muestra, y si d_i = 0, x_i es el instante en el que dicho sujeto fue visto con vida por última vez. (Nótese que al hablar de tiempo de supervivencia no nos referimos necesariamente a la vida biológica, sino que en sentido amplio debe interpretarse como el tiempo necesario hasta que ocurre cierto acontecimiento; también se utiliza el término tiempo de fallo.)

Cuando x_i es un tiempo de supervivencia observado, caso d_i = 1, entonces será la realización de la variable aleatoria T_i, la cual tendrá una función de distribución F(t) desconocida.

Como se supone que en todos los individuos de la muestra el tiempo de supervivencia, T_i, tiene la misma distribución, utilizaremos los datos para estimar

o mejor aún, la función de supervivencia definida como S(t) = Pr{T > t} = 1 - F(t), que es la probabilidad de que un elemento muestral sobreviva, o que permanezca activo, después de transcurrido un tiempo t.

El método de Kaplan-Meier para estimar S(t) consiste en obtener una función escalonada, continua por la derecha, con saltos en aquellas abscisas x_i correspondientes a observaciones no censuradas, con d_i = 1. En concreto,

donde f_i es el número de fallos observados en el instante x_i y n_i el de individuos muestrales supervivientes justo antes de x_i. Para cada t, el producto se calcula para todos los índices que verifican

El applet que se acompaña calcula y representa gráficamente el estimador Kaplan-Meier de la función de supervivencia asociada a la población de la cual se extrae la muestra.

Una cantidad de interés es el tiempo mediano de vida para los individuos de la población, el cual se define como aquel instante t_m en el que se espera que la mitad de los individuos hayan fallado, es decir,

S(t_m) = 1/2. Nótese que es posible que este valor no se podrá estimar si el número de fallos observados no es suficiente.

Caso

En una investigación sobre tratamientos contra el cáncer, 21 ratas fueron inoculadas con el carcinogén DMBA, registrándose a continuación el número de días transcurridos hasta su muerte por cáncer vaginal. Los datos registrados para uno de los tratamientos se exponen a continuación, acompañados con una cruz aquellos que por alguna causa fueron censurados. 142, 156, 163, 198, 204+, 205, 232, 232, 233, 233, 233,
233, 239, 240, 261, 280, 280, 296, 296, 323, 344+ Al objeto de comparar entre diversos tratamientos, interesa estimar tanto la función de supervivencia como el tiempo de vida mediano.
El tiempo mediano de vida es de 233 días, lo que se interpreta como que transcurrido este periodo de tiempo, se espera que la mitad de las ratas tratadas hayan muerto. A efectos comparativos, sería necesario disponer de los datos para el otro tratamiento. Aunque existen métodos de contraste más objetivos, la comparación de los gráficos correspondientes ayudará a evaluar si existen diferencias significativas entre los tratamientos.
(Fuente: M.C. Pike (1966) A method of analysis of certain class of experiments in carcinogenesis. Biometrics, 22: 142-161.)

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