Se tiene un conjunto de n pares ordenados

Cuando x_i es un tiempo de supervivencia observado, caso d_i = 1, entonces será la realización de la variable aleatoria T_i, la cual, bajo el modelo de Weibull, tiene la función de densidad de probabilidad

.

Hay varias maneras alternativas de especificar un modelo de probabilidad para el tiempo de supervivencia. El primero, y parece que el más directo, es mediante la función de densidad, como se acaba de hacer, o su correspondiente función de distribución

.

El segundo método es mediante la llamada función de riesgo

,

Conocida cualquiera de estas tres funciones, F, h o S, es posible calcular las otras dos.

El primer problema que se plantea es ajustar los parámetros y del modelo de Weibull a los datos, lo cual se hace bajo el criterio de máxima verosimilitud. Al contrario de lo que ocurre con el modelo exponencial, no es posible extraer de forma exacta los estimadores de estos parámetros, por lo que es necesario recurrir a un método iterativo del tipo Newton-Raphson.

Una vez calculados los estimadores y , queda por saber si el ajuste es bueno, si la población bajo estudio sigue realmente el modelo Weibull de supervivencia. Tomando dos veces logaritmos a ambos lados de la definición de la función de supervivencia, tenemos que

,

(log x_i, log(-log (x_i))),

(x_i)

Finalmente, verificado que el modelo se ajusta bien a la hipótesis del modelo Weibull, es tiempo de extraer conclusiones sobre el comportamiento del tiempo de fallo del fenómeno de interés. Por ejemplo, podemos estar interesados en conocer el tiempo mediano de supervivencia, t_m, que verifica S(t_m) = 1/2, que en este caso es

En un seguimiento de 16 semanas de duración realizado a 14 pacientes afectados de hepatitis vírica severa y sometidos a un tratamiento basado en esteroides, los datos registrados, en semanas, fueron los siguientes, siendo los valores acompañados del símbolo + las lecturas censuradas: 1, 1, 1, 1+, 4+, 5, 7, 8, 10, 10+, 12+, 16+, 16+, 16+ Queremos saber si estos datos siguen un modelo de Weibull.

Juzgue el lector si los puntos están lo suficientemente alineados para admitir este modelo. En caso de que el ajuste le parezca aceptable, el tiempo mediano de fallo es de 10.8 semanas, resultado similar al obtenido mediante el ajuste exponencial.

(Fuente: P.B. Gregory et al.(1976) Steroid therapy in severe viral hepatitis. New England Journal of Medicine, 294: 681-686.)