Diseño bifactorial completo sin réplicas

Diseño de experimentos y análisis de la varianza
Diseño bifactorial completo sin réplicas

Ciertas observaciones se suponen influenciadas por dos factores diferentes, a y b, admitiendo el primero k niveles diferentes y n el segundo. Para cada una de las k n combinaciones posibles de ambos factores se realiza una única observación, obteniéndose una matriz de resultados de la forma

( (y_{1 1} ,	*y_{1 2}* ,	... ,	*y_{1 n}*	),
(y_{2 1} ,	*y_{2 2}* ,	... ,	*y_{2 n}*	),
...	...	...	...
(y_{k 1} ,	*y_{k 2}* ,	... ,	*y_{k n}*	) )

donde y_ij es el valor observado en la variable respuesta al aplicar el i-ésimo nivel de a, factor fila, y el j-ésimo de b, factor columna.

El modelo que se ajusta es

y_{i j} = m + a_i + b_j + u_{i j}, siendo m la media global, a_i y b_j los coeficientes asociados a sus respectivos niveles y u_{i j} los errores aleatorios independientes, distribuidos normalmente, con media nula y varianza común

Hipótesis adicionales son:

y que ambos factores actúan independientemente, sin interacción alguna que afecte el comportamiento de la variable respuesta y_ij. En caso de sospechar interacción, acudir al diseño bifactorial con réplicas.

El modelo propuesto incorpora ciertos parámetros que es necesario estimar:

La media global m, cuyo estimador es
Los coeficientes a_i asociados al factor fila:
Los coeficientes b_j asociados al factor columna:
La varianza común , cuyo estimador insesgado es la varianza residual:

Los contrastes de interés se reducen a chequear si realmente las respuestas se ven influenciadas por los factores fila y columna, a y b.

En el primer caso, la hipótesis nula es

H_0a: "el efecto fila es nulo: a_i= 0, para todo i"

frente a la alternativa:

H_1a: "alguno de los niveles del efecto fila no es nulo".

El estadístico de contraste es

que se distribuye como una F_{k-1, (k-1)(n-1)} de Snedecor.

Por otro lado, para contrastar si existe efecto columna, se plantea la hipótesis nula

H_0b: "el efecto columna es nulo: b_j= 0, para todo j"

frente a la alternativa:

H_1b: "alguno de los niveles del efecto columna no es nulo".

El estadístico de contraste en este caso es

que se distribuye como una F_{n-1, (k-1)(n-1)} de Snedecor.

Caso

Clasificados los pacientes en tres grupos (G₁, G₂ y G₃), se han seleccionado al azar dentro de cada grupo cuatro individuos y se les ha suministrado cuatro medicamentos diferentes (M₁, M₂, M₃ y M₄), midiéndose para cada combinación paciente/medicamento cierta variable indicadora de la mejora experimentada por el paciente:

M₁ M₂ M₃ M₄

G₁ 15 18 20 20

G₂ 10 8 12 15

G₃ 17 15 20 22

Se quiere saber si los pacientes de cada grupo responden de igual manera a los tratamientos y si existen diferencias entre las efectividades de los medicamentos.
Los coeficientes asociados a los grupos de pacientes son 2.25, -4.75 y 2.5, dando a entender que el grupo G₂ parece responder peor durante la experiencia. En cuanto a los medicamentos, los dos primeros son menos efectivos al tener coeficientes negativos (-2.00 y -2.33). Esto sugiere que efectivamente tanto la pertenencia a los grupos de enfermos como el medicamento suministrado actúan sobre la mejora de los pacientes; tal conclusión se ve ratificada por los dos contrastes de nulidad de los factores, ya que ambos rechazan las hipótesis nulas con niveles de significación del 5%.

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