El diseño basado en cuadrados latinos de orden cuatro se utiliza cuando el número de factores es tres y todos ellos tienen exactamente n = 4 niveles.
Se trata de un diseño fraccional porque no es necesario ensayar durante la fase experimental las 43 = 64 combinaciones posibles de los niveles de los tres factores, siendo suficiente utilizar únicamente 42 = 16 de ellas. En consecuencia, este diseño se hace especialmente útil cuando el número de niveles hace impracticable o encarece un diseño completo.
Un cuadrado latino de orden 4 es una disposición de cuatro símbolos diferentes en un cuadrado 4x4, de manera que cada uno de ellos aparezca una sola vez en cada fila y en cada columna:
| b1 | b2 | b3 | b4 | |
| a1 | c1 | c2 | c3 | c4 |
| a2 | c3 | c4 | c1 | c2 |
| a3 | c4 | c3 | c2 | c1 |
| a4 | c2 | c1 | c4 | c3 |
En el esquema anterior, las filas están etiquetadas con los símbolos a1, a2, a3 y a4, representando los cuatro niveles diferentes del factor fila; a su vez, cada columna va encabezada con los símbolos b1, b2, b3 y b4, asociados a los cuatro niveles del factor columna. Finalmente, cada una de las 16 casillas están marcadas con c1, c2, c3 y c4, formando un cuadrado latino y representando los cuatro niveles del factor casilla o tratamiento.
Los datos muestrales se guardan en una matriz de la forma
| ( (y1 1 (1) , | y1 2 (2) , | y1 3 (3) , | y1 4 (4) | ), |
| (y2 1 (3) , | y2 2 (4) , | y2 3 (1) , | y2 4 (2) | ), |
| (y3 1 (4) , | y3 2 (3) , | y3 3 (2) , | y3 4 (1) | ), |
| (y4 1 (2) , | y4 2 (1) , | y4 3 (4) , | y4 4 (3) | ) ) |
El modelo formal es aditivo sin interacciones:
.
Hipótesis adicionales son:
Para asegurar aleatoriedad y disminuir sesgos, los cuatro niveles de cada factor debe asignarse aleatoriamente a cada fila, columna y casilla.
Llamando yi j (k) al valor de la casilla situada en la fila i y en la columna j y haciendo n = 4, se defienen:
Por último, la varianza residual o estimador insesgado de
viene dado por
El objetivo del experimento es investigar hasta qué punto los factores intervienen en las respuestas observadas yi j (k). Así se plantean los tres contrastes siguientes.
En el primer caso, la hipótesis nula es
H0a: "el efecto fila es nulo: ai = 0, para todo i"frente a la alternativa:
H1a: "alguno de los niveles del efecto fila no es nulo".
El estadístico de contraste es
Por otro lado, para contrastar si existe efecto columna, se plantea la hipótesis nula
H0b: "el efecto columna es nulo: bj = 0, para todo j"frente a la alternativa:
H1b: "alguno de los niveles del efecto columna no es nulo".
El estadístico de contraste en este caso es
Y ya para terminar, para contrastar si existe en las casillas o tratamientos, se plantea la hipótesis nula
H0c: "el efecto casilla es nulo: c(k) = 0, para todo k"frente a la alternativa:
H1c: "alguno de los niveles del efecto casilla no es nulo".
El estadístico de contraste en este caso es
Para comparar cuatro variedades de avena se dividió una finca en 16 parcelas y se dispusieron las variedades de acuerdo con un diseño de cuadrado latino. La producción ha sido la siguiente:
c1=12 c2=18 c3=15 c4=20 c3=17 c4=22 c1=13 c2=14 c4=24 c3=14 c2=20 c1=12 c2=12 c1=15 c4=31 c3=18 Se quiere saber si hay diferencias entre filas, entre columnas y entre variedades.
Puesto que no se rechazan las hipótesis nulas H0a ni H0b , se concluye que las localizaciones de los cultivos no inciden sobre la producción. En cambio sí lo hace la variedad plantada, ya que se rechaza H0c , que es la hipótesis nula asociada al tratamiento o variedad.
(Fuente: C. M. Cuadras. Problemas de Probabilidades y Estadística. PPU, Barcelona.)
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