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1. CILINDRO
Más adelante veremos cómo una MMC (Máquina de Medir por Coordenadas) puede resolver el cilindro, pero antes nos detendremos en un intento de desarrollo apoyado en su consideración de cuádrica degenerada: Ello es enormemente sugestivo porque responde de forma precisa al planteamiento teórico, si bien la práctica se encarga de negar su viabilidad.
La ecuación general de una cuádrica es:
Si se conocen 9 puntos contenidos en la cuádrica, su ecuación puede adoptar la forma siguiente:
Ya se ve la relación que existe entre los coeficientes de la ecuación (2) y los adjuntos de la primera fila de (3).
Obtenidos por medio de los adjuntos de (3) los coeficientes de (2) estamos en condiciones de conocer el plano tangente a la cuádrica en un punto 1, p.e:
es la derivada parcial de (2) respecto de x, en el punto 1.
Operando ya con la MMC, la sistemática sería la siguiente:
- Palpar 9 puntos del cilindro de manera que abracen al máximo la figura.
- Hallar dos planos tangentes según (4), por dos de los 9 puntos.
- Obtener la intersección de estos dos planos: su dirección será la del eje del cilindro.
- Por aquellos dos mismos puntos, trazar sendos planos perpendiculares a los planos tangentes hallados, de forma que sean paralelos al eje.
- La intersección de estos dos últimos planos será el eje del cilindro.
- Su radio será la media de las distancias a él, desde los 9 puntos.
Hasta aquí todo parece perfecto, pero analicemos las condiciones que han de cumplirse:
Siendo
Teniendo en cuenta:
- La imperfección de la superficie que se palpa.
- La de la bola del palpador.
- La de captación de las regletas.
- La del disparo del palpador.
- La de la rigidez de la transmisión mecánica desde el palpador a las regletas captadoras.
- La de elaboración y redondeo del visualizador (incluyendo la resolución de las regletas de captación).
- La de elaboración y redondeo del ordenador (observar particularmente la cantidad de operaciones que se precisan según (3) para obtener aij
Así no nos sorprenderá que al final no se cumpla el rigor de las condiciones anteriores.
Se han dado estas explicaciones para hacer más solidarios los principios con la práctica y así entender mejor por qué el recurso de aproximaciones sucesivas que veremos a continuación.
Al final es como hacer un uso analógico de un ordenador digital para poder escapar del corsé demasiado rígido y preciso que intentábamos imponer a la realidad: ni la enorme precisión del ordenador puede soslayar esta dificultad.
Veamos a continuación cómo resolver geométricamente el cilindro en las tres variantes que más comúnmente se presentan:
1.1 CILINDRO AUTÓNOMO: puede ofrecerse de estas tres formas:
- Un cilindro único, es decir, desligado de cualquier otro elemento geométrico. Ejemplo, un tubo recto del que sólo interesa su diámetro: ni siquiera preocupa la situación de su eje.
- Un cilindro asociado solamente a otros cilindros. Ejemplo, un tubo acodado en el espacio: en este caso interesa no sólo el diámetro sino la posición relativa de los ejes de los distintos tramos así como las longitudes de estos.
- Un cilindro asociado a otros elementos geométricos de manera que estos hayan de referirse a él y no al revés. Tal sería el caso de un agujero cilíndrico en una pieza por cuyo eje se quisiera hacer pasar un eje coordenado al que se referirá después (junto con los otros dos), la pieza entera.
El proceso de palpado y elaboración será el siguiente (FIG. 1):
- Palpar 6 puntos de la superficie del cilindro en dos secciones (3+3) lo más separadas posible entre sí.
- Los tres puntos de cada grupo estarán en un plano lo más perpendicular posible al eje del cilindro.
- Los dos primeros puntos palpados (uno de cada sección) estarán en situación lo más parecida posible a una generatriz del cilindro. En cualquier caso la recta 1-2 no formará con la generatriz un ángulo que exceda ±15o
- El orden de palpado será el de la FIG. 1.
- Obtención de la recta 1-2.
- Trazar por 1 y 2 respectivamente, sendos planos perpendiculares a la recta 1-2.
- Proyectar ortogonalmente sobre dichos planos, respectivamente, los puntos 3,4 y 5,6. Así tendremos los puntos 30, 40 y 50, 60.
- Hallar los centros de las circunferencias determinadas, respectivamente, por los puntos 1, 50, 60 y 2, 30, 40. Ellos serán los puntos 01 y 02.
- Obtener la recta determinada por los puntos 01 y 02.
- Trazar por 1 y 2, respectivamente, sendos planos perpendiculares a la recta 01-02.
- Sobre dichos planos, proyectar los mismos puntos 3,4 y 5,6. Así estaremos nuevamente en el anterior punto 7 para seguir sucesivamente hasta terminar el bucle de iteraciones que el programa tenga establecido.
- Las rectas del tipo 01-02 que se van obteniendo convergen hacia el eje del cilindro. Cada vez que se obtenga una se hallarán las distancias a ella desde los 6 puntos de partida. Si la diferencia entre los valores mayor y menor de esas distancias fuera inferior a un valor preestablecido (0,001, p.e si la resolución de las regletas captadoras fuera de 0,01), se interrumpirá el proceso tomando como eje del cilindro a la recta 01- 02 correspondiente.
- En general es suficiente limitar la iteración a un bucle de 7 pasadas. Si en ninguna de ellas se obtuviera la condición 0,001 del punto anterior (ello depende de la precisión del cilindro palpado), retener como solución aquella pasada que dé la menor diferencia entre los radios mayor y menor.
- La ecuación del eje del cilindro será la de la recta 01- 02 adoptada. Su radio será la media de las 6 distancias a ella desde los 6 puntos palpados.
- Si la superficie cilíndrica palpada es convexa, restar al radio hallado en 14, el radio de la bola del palpador. Sumárselo si es cóncava.
1.2 CILINDRO ASOCIADO A UN PLANO: Su definición se apoya en aceptar de antemano su relación con un plano previamente definido. En este caso puede estar el cilindro resultante de punzonar una chapa gruesa (FIG. 2).
La relación que se establece es que el plano p cuyos 4 parámetros son conocidos de antemano, es perpendicular al eje E del cilindro.
El proceso de palpado y elaboración será el siguiente:
- Obtener el plano p por 3 ó por n puntos.
- Palpar los 3 puntos 1, 2, 3 a cualquier altura de su generatriz y lo más separados circunferencialmente entre sí.
- Proyectar los puntos 1, 2, 3 ortogonalmente sobre el plano p para tener los puntos 10, 20, 30.
- Determinar la circunferencia definida por los puntos 10, 20, 30 (su centro y su radio). Tener en cuenta el punto 15 de 1.1 a efectos de concavidad o convexidad de la superficie cilíndrica.
- Obtenido ya el radio del cilindro, su eje es la recta perpendicular al plano p por el centro de la circunferencia recién determinada.
1.3 CILINDRO ASIMILABLE A UNA CIRCUNFERENCIA: Un punzonado circular en una chapa fina no deja de ser un cilindro aunque no pueda palparse como en el caso anterior por falta de espesor. Para una precisión suficiente, la sistemática será ésta (FIG. 3):
- Obtener el plano p.
- Palpar el agujero en tres puntos procurando asentar la bola del palpador lo más posible en el plano medio de la chapa.
- Obtener la circunferencia que determinan estos tres puntos: su centro y su radio. Aplicar lo dicho ya para superficies cóncavas y convexas.
- El eje del agujero es la recta perpendicular al plano p (no al plano de la circunferencia, que es distinto) por el centro de dicha circunferencia.
En ocasiones bastará con aplicar sólo los anteriores puntos 1, 2 y 3. Si en un posterior cambio de planos coordenados se lleva el plano p a ser z = 0, las coordenadas del centro de la circunferencia, referidas al nuevo sistema se transformarán para dar su X,Y (nos desinteresaremos de su Z).
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