Pgs.  1    2    3    4

Seguidamente vamos a desentrañar las dificultades que comporta el acceso a un plano por palpado.

Al estudiar el cilindro ya vimos la influencia de la bola del palpador según se tratara de superficies cóncavas o convexas. Algo parecido ocurre con el plano, pero con la peculiaridad de que para él no es válido el criterio de concavidad / convexidad.

Si no se incorpora ningún artificio, lo que se obtiene al definir un plano por palpado de puntos no es el plano físico propiamente dicho, sino el que determinan los centros de bola de los palpadores.

Vamos a describir tres maneras de resolver esta dificultad tal como son utilizadas por las MMC. La 1 y 2 operan de la misma forma y sólo se diferencian en la manera de introducir la señal discriminatoria. La tercera es completamente distinta y será desarrollada con detalle al final.

Lo común en todos los casos es que el palpado de un punto se hace siempre por aproximación del palpador al plano según una dirección coordenada exclusivamente: nunca por combinación de varias. Siendo esto así, basta, en las MMC no motorizadas, dar, cada vez que se palpa un punto, una señal indicadora de si el palpado se produce según incremento o decremento de la coordenada X, de la Y, o de la Z. Se dará, además, naturalmente, señal definidora del palpador, que incluirá el diámetro de su bola y su calificación (cómo dicho palpador "ve" las coordenadas del centro de la esfera patrón de referencia).

El proceso de las maneras 1 y 2 es el siguiente (FIG. 5):

• Obtener el plano MN ... por palpado (3 ó n puntos)
• Al palpar M se habrá dicho al ordenador que ello se hizo disminuyendo Z, y al palpar N, que se aumentó X.
• Se trata, pues, de sustituir el plano MN ... por el M1N1 ... , las coordenadas de cuyos puntos serán, respectivamente x(M1) = x(M)                     y(N1) = y(N) y(M1) = y(M)                     z(N1) = z(N)
• Veamos cómo se obtienen las coordenadas que faltan. Si el plano MN ... resulta ser (ABCD), formará con el eje Z un ángulo tal que

  Análogamente con el eje X:

  

  Siendo R el radio de la bola del palpador se deduce que:

  
• Se obtendrá por fin el plano por los puntos M1 N1 ...

Es evidente que la solución óptima es esta última. Sin embargo, si la máquina no está motorizada, el proceso puede resultar engorroso en cuanto a aporte de datos. Por ello describimos a continuación, en todo su detalle, la que hemos dado en llamar 3^a manera.

El plano p (ABCD) (FIG. 6) que deseamos definir divide al espacio en dos semiespacios. Normalmente, para ser palpado, p es accesible sólo desde uno de esos semiespacios. Al palpar 3 ó n puntos definitorios del plano lo que estamos determinando en cada caso es el plano pE o el pF, no el p: hay que hacer intervenir convenientemente el radio R de la punta del palpador.

Inversamente, cuando después del palpado disponemos de las 3 ó n tripletas de coordenadas correspondientes al plano p, no estamos seguros de si hemos de referirnos al plano físico p3 ó al p4 (FIG. 7).

Una vez que se trabaja en el espacio es difícil ver la posición del plano en relación con el origen de coordenadas. Por ello es preferible actuar a ciegas y automáticamente, de la siguiente manera:

Si el plano es accesible, p.e desde el semiespacio 3, hacer en cualquier punto (el 1) de dicho semiespacio, un palpado al aire en el camino del palpador hacia p3. A continuación, palpar p3 para definirlo por 3 ó n puntos (Fig. 7).

• p(A,B,C,D)
• Los planos p3, p4, aún no discriminados, serán:
  
• Hallar después los puntos 3, 4 (aún indiscriminados) que son las proyecciones ortogonales del punto 1 sobre los planos p3 y p4.
• Si imaginamos el punto 0 proyección ortogonal de 1 en p, podemos establecer el valor de la razón simple de los puntos (013) y (014) que se expresa: Por tratarse de unos vectores orientados y tal como se ve en la FIG. 7, es: De las igualdades (6) se deduce: Como (x0; y0; z0) es un punto de p, satisfará su ecuación: Por tanto, la razón simple λ3 vale:
• Llegados aquí, y obtenidos los valores de λ3 y λ4 , sólo queda retener aquel de ellos que sea negativo. Y retener asimismo como plano definitivo el p3 si se retuvo λ3 ó el p4 si se retuvo λ4 . En nuestro caso concreto ocurrirá que el plano físico real será el p3.

Los desarrollos que anteceden han sido aplicados en el trabajo llevado a cabo por el autor para la completa informatización de un gramil tridimensional que con una planta de 4.000x4.000 y 2.800 mm de altura ha sido equipado con: 3 regletas de captación optoelectrónica con visualizador AURKI; interface y palpadores RENISHAW; teclado / pantalla y adaptador ERICCSON; conexión a ordenador IBM4381; esfera patrón de referencia ZEISS. Con el fin indicado, el autor ha desarrollado un total de 70 programas entre operativos y operacionales.

4. PRECISIÓN

La precisión del aparato matemático expuesto queda obviamente al margen de la precisión de su aplicación. En la aplicación desarrollada por el autor se partía de un gramil con resolución de décimas; para no degradarla en la transformación, las regletas captadoras tienen resolución de centésimas y en el caso del cilindro, como ya se indicó, se da como bueno el diámetro cuando la diferencia entre el valor mayor y el menor de los 6 manejados es menor de una milésima.

En cuanto al plano por n puntos, el programa admite hasta 50 de ellos dando sus distancias al plano obtenido. Como contraste se puede rodar el programa completo obteniendo el plano por 3 puntos; en este caso, la distancia máxima a él desde cualquiera de los 3 puntos, no es 0: resulta ser del orden de E-13.

La precisión, por tanto, no depende tanto de la base matemática cuanto de la precisión en la transmisión mecánica entre palpadores y captadores de regleta.

5. BIBLIOGRAFÍA

• A. G. Worthing y J. Geffner: Treatment of experimental data.
• Jesús Lasala Millaruelo: Geometría Proyectiva.
• Sixto Cámara Tecedor: Geometría Analítica.
• Jesús de la Peña Hernández: Máquinas tridimensionales de medir por coordenadas. Fundamentos geométricos y consideraciones prácticas.