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Supongamos ahora (Fig. 14) el mismo bloque ADGO referido al triedro ya mencionado pero que aquí llamaremos (X’Y’Z’)0. Las coordenadas de A respecto de O se obtendrían de las fórmulas (2) (ver pag. 3 Fig. 13).

Fig. 14

Si deseamos averiguar el valor de las coordenadas de A respecto del nuevo triedro XYZ no tenemos más que aplicar las fórmulas del cambio de ejes.
Al nuevo triedro XYZ se llega desde el X’Y’Z’:

- Girando el triedro prima un ángulo igual a βn-2 en torno a Ln-2.
- Girando a continuación el mismo triedro en torno a OZ’ un ángulo igual a αn-3.
- Trasladando por último el triedro a lo largo de X en una magnitud igual a Ln-3.
Así volvemos a tener un triedro de referencia con el mismo criterio inicial:
- Eje X coincidente con Ln-3.
- Plano XY coincidente con Ln-3 / Ln-2.
- Eje Z normal al plano XY.
Las ecuaciones de conversión por cambio de ejes son:

(3)  (Xn)n-3 = a1(Xn)n-2 + b1(Yn)n-2 + c1(Zn)n-2 + Ln-3
(Yn)n-3 = a2(Xn)n-2 + b2(Yn)n-2 + c2(Zn)n-2
(Zn)n-3 = a3(Xn)n-2 + b3(Yn)n-2 + c3(Zn)n-2

Por (Xn)n-3 queremos representar el valor de la coordenada X del extremo exterior del tramo n respecto del origen del tramo n-3.

Como es sabido, ai, bi, ci son los cosenos directores de unos ejes coordenados respecto de los otros:

a1 = cos X’X        b1 = cos Y’X        c1 = cos Z’X
a2 = cos X’Y        b2 = cos Y’Y        c2 = cos Z’Y
a3 = cos X’Z        b3 = cos Y’Z        c3 = cos Z’Z
Veamos sobre la Fig. 13 cómo obtener estos cosenos directores en función de los datos del tabulado:

cos X’X = cos αn-3
cos X’Y = sen αn-3
cos X’Z = 0
El valor de cos(Y’X) se deduce de la región de Fig. 14 que se ha resaltado en el detalle de la derecha.

Para aclarar la deducción, mostraremos antes, apoyándonos en la Fig. 15, el valor que en un triedro tiene el ángulo plano γ opuesto a un diedro recto en función de los otros dos ángulos planos α y β que constituyen el triedro:

Fig. 15

f2 = e2 + d2 = b2 + c2 - 2bc cos γ
0 = 2a2 - 2bc cos γ
Dividiendo por 2a2 se tiene:
cos γ = cos α cos β
Según lo anterior:
cosY’X = cos (π- ε) = -cos ε
cosε = cos βn-2 cos (π/2 - αn-3) = cos βn-2 sen αn-3
cosY’X = -cos βn-2 sen αn-3
El valor de cos(Y'Y) se deduce de la Fig. 14 observando especialmente el detalle de la izquierda:
cosY’Y = cos αn-3 cos βn-2
Resulta inmediato que
cosY’Z = cos (π/2 - βn-2)
cosY’Z = sen βn-2
Conviene hacer la observación de que al hablar del coseno director de cualquier pareja de ejes nos referimos al ángulo que forman las direcciones positivas de dichos ejes.

cos Z’X = cos (π/2 - βn-2) cos (π/2 - αn-3)
cos Z’X = sen βn-2 sen αn-3
Para obtener cos Z’Y nos apoyaremos en el triedro recto en a cuyas otras dos aristas son Z’ y -Y con vértice en I:
cos Z’Y = cos (π - γ) = -cos γ
cos γ = cos αn-3 cos (π/2 - βn-2) = cos αn-3 sen βn-2
cos Z’Y = -cos αn-3 sen βn-2
Por último, observando DIZ’, se tiene:
cos Z’Z = cos βn-2
Sustituyendo los valores obtenidos para los cosenos directores en las fórmulas (3), obtenemos:

Así llegamos a valorar las coordenadas del extremo exterior del tramo n respecto del origen del tramo 1.

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