MATRICES Y
SISTEMAS
MATRICES
P.A.U. Cantabria
1.- (Cantabria, 1994) Una empresa
produce dos tipos de televisores A y B . Todos se fabrican en tres
terminaciones: N, L y S, a los siguientes precios, en pesetas, cada unidad:
N L S
A 10000 20000 30000
B 30000 45000 60000
Sabiendo que por año se producen las
unidades que figuran en la tabla:
A B
N 9000 3000
L 6000 2000
S 3000 1000
1) Dar la información anterior en dos
matrices P y Q. P será una matriz, con menor número de filas que de columnas,
que suministrará la producción por año y Q una matriz, con mayor número de
filas que de columnas, que suministrará información sobre los precios.
2) Calcular: P.Q y Q.P
3) ¿Qué información suministra la diagonal principal de P.Q
y de Q.P?.
2.- (Cantabria, 1994) Dadas las
matrices 
, 
y 
. Se pide:
1º.- Obtener C +
AB.
2º.- Calcular C -1+
(AB) -1 ; (C + AB) -1.
3.- (Cantabria, Junio 1996) Dada la
matriz 
.
- Hallar:
A2, A3, A -1.
- Determinar
si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz B tal que:
- Determinar
si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz c tal que:
.
4.- (Cantabria, septiembre 1997) Sea la matriz 
donde y es un número entero.
I.
Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa.
II.
Calcula la inversa de A en estos casos.
5.- (Cantabria, septiembre 1999). Si X e Y son matrices que
verifican el sistema
, 
Hallar X e Y.
Hallar, si es posible, X-1
e Y-1.
6.- (Cantabria, junio 2001) Un importador de globos los
importa de dos colores: de color naranja (N) y de color fresa (F). Todos ellos
se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que vende a los siguientes
precios:
|
|
2 unidades
|
5 unidades
|
10 unidades
|
|
Color N
|
4
|
8
|
12
|
|
Color F
|
3
|
5
|
8
|
Sabiendo que en un año vende el siguiente número de
paquetes:
|
|
Color N
|
Color F
|
|
De dos unidades
|
700000
|
50000
|
|
De cinco unidades
|
600000
|
40000
|
|
De diez unidades
|
500000
|
500000
|
Se pide:
1. Resumir la información anterior en dos matrices A y B. (A
será una matriz 2 x 3 que recoja las ventas en un año y B una matriz 3 x 2 que
recoja los precios).
2. Calcular los elementos de la diagonal principal “A por B”
y dar su significado.
3. Calcular los elementos de la diagonal principal “B por A”
y dar su significado.
7.- (Cantabria, septiembre 2001). Sean las matrices A y B
dadas a continuación:
Se pide:
I.
Hallar el producto A.B.
II.
Determina el valor o los valores de a para el que no existe inversa de A.B.
8.- (Cantabria, Junio 2002)
Dada la matriz 
. Se pide hallar:
1.
(A-1)2.
2.
(A2)-1.
9.- (Cantabria, Junio 2003). Sea la matriz, 
.
Hallar la matriz B, tal que 
.- (Castilla - León, 1998) Sea la
matriz 
.
a)
Comprueba que A-1 = AT (AT es la matriz traspuesta de A).
b)
Utilizando el resultado anterior, calcula (AT . A)1998.
Otras Autonomías
1.- (Extremadura, 1998) Determinar la
matriz X que satisface la ecuación 3X+I = A.B - A2, siendo:
, 
e I la matriz unidad de orden 3.
2.- (Baleares, 1998) Tres familias van
a una heladería. La primera pide dos helados grandes, uno mediano y uno
pequeño; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos pequeños y la
tercera dos grandes y tres pequeños.
a)
Escribe una matriz 3x3 que exprese el número de helados grandes medianos y
pequeños que pide cada familia.
b)
Si la primea, la segunda y la tercera han gastado en total en la heladería
700, 800 y 775 ptas, respectivamente, calcula el precio de un helado grande, el
de un helado mediano y el de un helado pequeño.
3.- (Zaragoza, 1998) Considerar una matriz A de orden m x n con m ¹n.
Razonar si se puede calcular la expresión A AT - AT A, siendo AT la matriz
traspuesta de A.
4.- (Cataluña, 1998) Considera la
matriz
. Comprueba que la traspuesta
de A coincide, en este caso, con la inversa de A.
5.- (Madrid, 1998) En un colegio se
imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas enseñanzas. Los profesores tienen
asignado un número de horas de clase, tutorías y guardias a cubrir, de acuerdo
con la siguiente matriz: 
El colegio paga cada hora de clase a 2000 pesetas, cada hora
de guardia a 500 pesetas y cada hora de tutoría a 1000 ptas, según el vector:
. El colegio dispone de 5
profesores para primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero, representados
por el vector:
. Calcúlese cada uno de los
siguientes productos de matrices e interprétense los resultados:
a)
PM b)
MC c) PMC
6.- (Zaragoza, 1998) a) Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠
n.
Razonar si se puede calcular la
expresión A At - At A, siendo At la matriz
traspuesta de A.
Considerar la matriz 
. Resolver por el método de
Gauss:
1) El sistema de
ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es At A.
2) El sistema de
ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A At.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
P.A.U. Cantabria
1.- (Cantabria, junio 1996) Sea un número A un número de cuatro cifras tal que la cifra
de las unidades de millar y la cifra de las decenas es la misma. La suma de las
cuatro cifras de A es 27. La diferencia entre el número A y el que resulta de
invertir el orden de sus cifras es 3546. La suma de las cifras de las unidades
y de las centenas de A es un número igual a la cifra de las decenas de A.
1. Plantear un sistema de ecuaciones que permita determinar el número A.
2. Determinar el número A.
2.- (Cantabria, septiembre 1996) Un supermercado tiene en oferta aceite, leche y
galletas. Un consumidor compra dos litros de aceite, cuatro de leche y una caja
de galletas y gasta 1800 ptas; otro compra cuatro litros de aceite, un litro de
leche y dos cajas de galletas, gastando 3075 ptas. y un tercero compra un litro
de aceite, dos de leche y cuatro cajas de galletas, gastando 1600 ptas.
1. Plantear
el sistema de ecuaciones que permita determinar los precios de los tres
productos.
2.
Resolverlo.
3.-
(Cantabria, junio 1997) Un determinado inversor dispone de un capital C que
invierte en tres productos financieros: a, b y c. Se desea saber cuál es el
interés de a, cuál el de b y cuál el de c, sabiendo que:
S
Si invierte el 25% en a, el 45% en b y el resto en c
obtiene una rentabilidad del 4'6 %.
S
Si invierte el 50% en a, el 40% en c y el resto en b
obtiene una rentabilidad del 4'8 %.
S
Si invierte exclusivamente y a partes iguales en b y
en c obtiene una rentabilidad del 6'5%.
Se pide:
1.
Plantear el sistema de ecuaciones
correspondiente.
2.
Resolverlo.
4.- (Cantabria, Junio 1998) Estudiar el sistema que se expresa a
continuación de dos ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro
n. 
5.-
(Cantabria, septiembre 1998) Estudiar el sistema que se expresa a continuación,
de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro a.
6.- (Cantabria, Junio 1999) Si se mezclan 60 litros de vino blanco
con 20 litros
de vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10% de alcohol). Si, por el
contrario, se mezclan 20
litros de vino blanco con 60 litros de vino tinto,
se obtiene un vino de 11 grados. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco
y 40 litros
de vino tinto?
7.- (Cantabria, Junio 1999) Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas, x e y, y un parámetro n.
1.
Expréselo en forma matricial siendo los elementos de una de las matrices que
intervienen las variables.
2.
Discútalo según los valores del parámetro.
3.
Determine su solución para n = 3.
8.- (Cantabria, Junio 2000) Se considera el siguiente sistema de dos ecuaciones:
1. Estudiar
el sistema en función del parámetro n.
2. En
aquellos casos que sea posible, resolverlo.
9.- (Cantabria, Junio 2000) La distancia de tres playas (A, B y C) del lugar de veraneo de una
familia es tal que el doble de la distancia a A es el triple de la distancia a
B.
La suma de
las distancias a A, B y C es de 90 000 m. y el doble de la distancia a B más el
triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130 000 m. ¿Cuál es la
distancia a cada playa?.
10.- (Cantabria, Septiembre 2000) ¿Cuántos litros de leche con 35% de
materia grasa han de mezclarse con leche de 4% de materia grasa para obtener 20 litros con 25% de
materia grasa?
11.- (Cantabria,
Septiembre de 2001) Hallar los coeficientes a, b c del polinomio 
para que sea divisible
por x
– 3, tenga resto -6 al dividirlo por x
– 1 y resto -4 al dividirlo por x + 1.
12.- (Cantabria, Septiembre 2002) De un
número de tres cifras se conoce que la suma de éstas es 13. Si se intercambian
las cifras de las unidades y de las centenas, el número disminuye en 198, y si
se intercambian las de las unidades y decenas, el número aumenta en 36.
Se pide: encontrar el número.
13.- (Cantabria, Junio 2003) Comprar: dos refrescos, un bocadillo y dos
dulces, nos cuesta 14 euros. Si compramos: siete refrescos, tres bocadillos y
cuatro dulces, el importe es 17 euros.
- Determinar
el precio de un bocadillo y de un refresco en función del precio de un
dulce.
- Hallar
lo que nos cobrarían si adquirimos: tres refrescos, dos bocadillos y seis
dulces.
14.- (Cantabria, septiembre 2003) La edad de una madre es, en la
actualidad, el triple que la edad de su hijo. La suma de las edades de padre,
madre e hijo es de 80 años. Dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre
y del hijo será 5 años más que la del padre. ¿Cuántos años tienen el padre, la
madre y el hijo en la actualidad?.
Otras Autonomías
1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales: 
. Se pide:
a) discutir
el sistema en función de los valores de a.
b) resolver
el sistema para el valor a = 2.
2.- Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a:
a) discutir el sistema según los valores de a.
b) Resolver
el sistema para a = - 1.
3.- Dada el
sistema homogéneo 
Se pide:
a) Determinar para qué valores del parámetro m
tiene otras soluciones además de la trivial.
b) Hallar, para el valor de m calculado en el
apartado a), las soluciones del sistema.
PROGRAMACIÓN LINEAL
P.A.U. Cantabria
1º.-
(Cantabria, septiembre 1996) Una empresa fabrica dos productos A y B. Se sabe
que la producción de B no supera en 1000 unidades a la de A; además la producción
de ambos no supera las 5000 unidades, y del producto B se elaboran, como
mínimo, 2000 unidades. El coste de la elaboración de A es un tercio mayor que
el de B. ¿Cuántas unidades ha de elaborar de cada producto si se desea que el
coste sea mínimo?. Para responder a estas cuestiones:
1 Expresar
mediante inecuaciones el recinto definido.
2. Dar la
función objetivo.
3.
Determinar el número de unidades que elabora en cada caso.
2º.-
(Cantabria, septiembre 1997) Una entidad financiera capta depósitos y presta
dinero. La captación de depósitos lleva una hora para convencer al cliente y
otra hora de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una hora para
convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de
horas de trabajo disponible es de 40 horas para convencer a los clientes y 60
horas para el trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es
1/3 mayor que el de captar depósitos. ¿Cuántas operaciones de cada tipo le
conviene realizar para obtener el máximo beneficio?. Seguir los siguientes
pasos:
1. Expresar
mediante inecuaciones el recinto definido.
2. Dar la
función objetivo.
3. ¿Cuántas
operaciones realiza de cada tipo?.
3º.-
(Cantabria, junio 1997) Los precios de venta de dos productos A y B están en la
misma relación que 7 y 6. La producción de estos productos está definida por
las siguientes condiciones:
- La
producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble
de B.
- La
producción es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce
B, se producen 15 kg.
Y sis se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta
que une los puntos anteriores.
1. Dar la
función objetivo de la venta de ambos productos.
2. Expresar
mediante inecuaciones el recinto definido.
3.
Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el
máximo beneficio.
4º.-
(Cantabria, junio 1998) Se desea realizar una mezcla de dos sustancias A y B,
que ha de contener como mínimo 15 unidades de cada una de ellas. Estas
sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes.
El lote del
primer proveedor es tal que los contenidos de A y B están en relación de 5 a 1 y contienen una unidad de
A.
El lote del
segundo proveedor es tal que los contenidos de A y B están en relación de 5 a 1 y contiene una unidad de
B.
El primer
proveedor vende cada lote a 1000 ptas. precio que es un tercio de a lo que
vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o
fracciones de ellos.
¿Qué número
de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. ¿Cuál es el coste
mínimo?
5º.-
(Cantabria, septiembre 1998) Maximizar y minimizar la función z = 3x + 4y en el
recinto definido por :
6º.-
(Cantabria, septiembre 1999) Un comerciante desea comprar dos tipos de
lavadoras, A y B. Las tipo A cuestan 45000 pta. y las de tipo B, 75000. Dispone
de 1050000 pta. y de sitio para 20 lavadoras y, al menos, ha de comprar una de
cada tipo.
- ¿Cuántas
lavadoras ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su
venta posterior, sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del precio de
compra?
Nota: Se
recuerda que el número de lavadoras de cada tipo ha de ser entero.
7º.-
(Cantabria, septiembre 2000) Un empresario tiene dos centros en los que sirve
“comida rápida”. En uno de los centros tardan 14 minutos en preparar los platos
precocinados y 4 minutos en hacer bocadillos y ño abre 10 horas al día. En el
otro centro tardan 6 minutos tanto en la preparación de platos precocinados
como en la de los bocadillos, abriéndolo 9 horas al día. Si el empresario
obtiene una ganancia de 240 pesetas por plato precocinado y 80 por bocadillo,
¿cuántos platos precocinados y cuántos bocadillos debe vender para obtener la
máxima ganancia?
8º.-
(Cantabria, junio 2001) Las siguientes desigualdades definen un recinto en el
plano 
1. Determinar los vértices del recinto.
2. Si la función objetivo es
, ¿alcanza un máximo?, ¿es
único?, ¿alcanza un mínimo?, ¿es único?.
9º.- (Cantabria, junio 2002) En una pequeña empresa se
fabrican sólo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo pueden fabricarse 3
aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos uno de tipo B. Se quieren
obtener unas ventas superiores a 600 euros, teniendo en cuenta que los precios
a los que vende los artículos A y B son 300 y 100 euros, respectivamente. Se
pide:
Todas las posibilidades de fabricación.
10º.- (Cantabria, septiembre 2002) Una empresa fabrica agua
de colonia de dos tipos: A y B. La colonia A lleva un 10% de extracto de rosas,
un 20% de alcohol y el resto de agua. La
B lleva un 30% de extracto de rosas, un 120% de alcohol y el
resto agua. Se dispone de 1800
litros de extracto de rosas y 1600 de alcohol. La
empresa vende a 1 euro el litro del producto B y a medio euro el litro de
producto A.
Se pide hallar:
- el número de litros de cada producto que ha de fabricar
para que el importe de la venta sea máximo.
11º.- (Cantabria, septiembre 2003) Maximice la función
, sujeta a las siguientes
restricciones:
represente el conjunto de
soluciones factibles.
Otras Autonomías
1º.- Se desea realizar una mezcla con dos sustancias A y B,
que ha de contener como mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas
sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes.
El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B
y A están en la relación de 4 a
1 y contiene una unidad de A.
El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A
y B están en la relación de 4 a
1 y contiene una unidad de B.
El primer proveedor vende cada lote a 1000 pesetas, precio
que es la mitad de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos
venden lotes enteros o fracciones de ellos.
¿Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea
mínimo?. ¿Cuál es ese coste?.
2º.- Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles:
“clásico” ( C) y “funcional” (F). Para su fabricación, los muebles requieren
tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una
unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional
requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. la situación
actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de
construcción y quince de pintura.
a) Plantear el problema y representar gráficamente el
conjunto de soluciones.
b) Indicar cuál es la región factible.
c) Si el beneficio empresarial B es función del número de
unidades fabricadas de acuerdo con la relación: B = 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada
línea deben fabricarse para maximizar los beneficios?. ¿Cuál es el beneficio
máximo?.
3º.- Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de
vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 12 unidades vitamina C cada día. Hay dos
productos P1 y P2 que en cada frasco contienen las siguientes unidades de esas
vitaminas:
Si el precio de un bote de P1 es de 50 pts. y el de un bote P2
es de 80 pts.
averigua cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con
el mínimo precio.
4º.- Una confitería es famosa por sus dos especialidades en
tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima.
La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de
azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 1200 pta. La tarta de Lima
necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 1500 pta.
Debido a una mala previsión, se encuentran con la
imposibilidad de realizar pedidos de huevos y de azúcar y les quedan en el
almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas
tartas.
a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?.
Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.
b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse
para obtener el mayor ingreso por
ventas?. ¿A cuánto asciende dicho ingreso?.
5º.- Un empresario posee dos restaurantes. En el primero se
emplea una hora en elaborar una comida y otra hora en servirla. En el segundo
se emplea una hora en elaborar una comida y dos en servirla. El máximo número
de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para elaborar comidas y 60 para
servirlas. El beneficio obtenido en el segundo restaurante es 1/3 mayor que en
el primero.
¿Cuántas comidas le conviene elaborar y servir en cada
restaurante para obtener el máximo beneficio?. Seguir los siguientes pasos:
1.- Expresar mediante
inecuaciones el recinto definido.
2.- Dar la función objetivo.
3.- ¿Cuántas comidas elabora y
sirve cada restaurante?