P.A.U. CANTABRIA 1994

Ejercicio 1

a.- (Cantabria, 1994) Una empresa tiene dos centros de producción que producen tres tipos de productos: A, B y C. Sus compromisos comerciales consisten en entregar semanalmente 18 unidades de l tipo A, 16 del tipo B y 6 del tipo C. El primer centro de producción le cuesta diariamente 10 ⁶ pesetas y produce, diariamente, las siguientes unidades: 9 de A, 4 de B y 1 de C. El segundo centro de producción le cuesta diariamente 8.10 ⁵ pesetas y produce, diariamente, las siguientes unidades: 3 de A, 4 de B y 3 de C. ¿Cuántos días por semana debe trabajar cada centro de producción para que, cumpliendo los compromisos comerciales, se reduzcan al máximo los costos de producción?.

SOLUCIÓN:

Se organizan los datos en la siguiente tabla donde x representa el número de días semanales que trabaja el centro 1 e y el número de días semanales que trabaja el centro 2.

	A	B	C	Costo
Centro 1	9x	4x	x	x10^6
Centro 2	3y	4y	3y	y.8.10^5
Compromisos	18	16	6

De donde se obtiene:

Función objetivo: f(x,y) = x.10 ⁶ + y.8.10 ⁵

Restricciones:

9x + 3y $ 18

4x + 4y $ 16

x + 3y $ 6

x $0

y $ 0

Representando las restricciones en un sistema de coordenadas cartesianas se obtiene la siguiente figura:

de donde, sustituyendo las coordenadas de los vértices en la función objetivo, se obtiene:

f(0,6) = 4'8.10 ⁶

f(1,3) = 3'4.10 ⁶

f(3,1) = 3'8.10 ⁶

f(6,0) = 6.10 ⁶

Luego el costo será mínimo cuando el centro 1 trabaje un día a la semana y el centro 2 tres días semanales.

b.- (Cantabria, 1994) Dadas las matrices ; y Se pide:

1º.- Obtener C + AB.

2º.- Calcular C ^-1 + (AB) ^-1 ; (C + AB) ^-1.

SOLUCIÓN:

1º) ;

2º) Para calcular C ^-1 obtenemos *C* = 1 y luego que coincide con AB, de donde deducimos que (AB) ^-1 = C.

Por lo tanto: ;

Ejercicio 2

a.- (Cantabria, 1994) Resolver el sistema de ecuaciones lineales .

SOLUCIÓN:

Se halla el determinante de la matriz de los coeficientes: , al no ser nulo el rango de la matriz de los coeficientes será 3, igual al rango de la matriz ampliada e igual al número de incógnitas. Se trata, por lo tanto, de un sistema de Cramer, luego:

; ; .

b.- (Cantabria, 1994) Sea un segmento de longitud a que se divide en dos partes, que van a servir de base a sendos rectángulos. En uno de los rectángulos su altura es el doble de la base y en el otro su altura es el triple de la base. Determinar el punto de división de modo que la suma de sus áreas sea mínima.

SOLUCIÓN:

Al dividir el segmento en dos partes, una será de longitud x y la otra de longitud a - x.

De donde el área de base x y de altura 3x vendrá dada por A = 3x ²

Y la de base a - x y altura 2(a-x) vendrá dada por:

A’ = 2(a - x) ²

De donde el área total A(x) será:

A(x) = 3x ² + 2(a - x) ²

Cuya derivada primera será:

A’(x) = 10x - 4a que se anula para . Como A’‘(x) = 10 corresponde a un mínimo. Luego, y la otra base medirá .

Ejercicio 3

a.- (Cantabria, 1994) Un municipio ofrece dos posibilidades para facturar el agua consumida. En la primera, el importe del recibo del agua se calcula de la siguiente forma: si el usuario consume hasta 40 m ³, se le factura 40 m ³, independientemente del consumo, a 50 pta/m ³, y cada m ³ de exceso se factura con un recargo del 30 %; además, se le facturan en concepto de alquiler de contador 240 pta.

En la segunda posibilidad hay una cantidad fija de 1000 pta y el m ³ consumido se factura a 35 pta.

Determinar, en función del consumo, a qué tipo de facturación le interesa acogerse al usuario.

SOLUCIÓN:

En la primera posibilidad en importe del recibo, y, vendrá dado, cuando el consumo, x, en metros cúbicos sea menor o igual que 40 por y = 2240 pta. Si el consumo supera los 40 m³ vendrá dado por y = 2240 + (x - 40)(50 . 1'3) = 65x - 360

Luego:

En la segunda posibilidad, tendremos que y = 1000 + 35x

Si hallamos los puntos de corte de ambas funciones tendremos que son (35'4, 2240) y (45'33, 2586'55). De donde, la primera posibilidad es la mejor para un consumo comprendido entre 35'4 y 45'33 m ³. Para el resto de consumos es más conveniente la segunda posibilidad.

b.- (Cantabria, 1994) Las pérdidas o ganancias, y, de una empresa siguen la una ley , siendo x los años de vida de la empresa.

1º Determina el año en que la empresa dejó de tener pérdidas.

2º ¿Están sus beneficios limitados?. Si lo están, ¿cuál es su límite?.

3º ¿Cuánto son los beneficios o pérdidas acumulados los tres primeros años?

SOLUCIÓN:

1. Teniendo en cuenta que la empresa tendrá pérdidas si y < 0 y ganancias cuando y > 0, para contestar la primera pregunta bastará estudiar el signo de y :

	- 2 2
2x - 4	-	-	+
x + 2	-	+	+
y	+	-	+

Luego a partir de x = 2, es decir a partir del segundo año, la empresa deja de tener pérdidas y comienza a obtener beneficios.

2. La función tiene una asíntota horizontal y = 2 ya que , por lo tanto los beneficios tendrán como límite superior 2.

3. Vendrá dado por . Luego registra una pérdida.

Ejercicio 4

a.- (Cantabria, Junio, 1994) Al controlar la cantidad de un producto envasado, se eligen tres al azar de una caja que contiene 50 envases. Por término medio, sabemos que en cada caja hay 5 cuya calidad es deficiente. Determinar las probabilidades siguientes:

1º.- De que entre los tres no haya ninguno, uno o dos deficientes.

2º.- Si el primero resulta deficiente, ¿cuál es la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes?

SOLUCIÓN:

Designamos por DDD al suceso “los tres sean deficientes”

1) La probabilidad que se pide viene dada por 1 - p(“los tres sean deficientes”).

Luego la probabilidad pedida será: p = 1 - 0'0005 = 0'9995

2) La probabilidad de que los otros dos sean deficientes viene dada por:

Luego la probabilidad de que entre los tres haya uno o dos deficientes vendrá dada por 1 - 0'005 = 0'995.

b.- (Cantabria, Junio, 1994) Se sabe que el cociente intelectual de los alumnos de una universidad se distribuye según una ley normal de media 100 y varianza 729.

1º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 81 alumnos tenga un cociente intelectual medio inferior a 109.

2º.- Hallar la probabilidad de que una muestra de 36 alumnos tenga un cociente intelectual medio superior a 109.

SOLUCIÓN:

La población viene caracterizada por la normal . La distribución muestral de medias seguirá también una normal caracterizada por: siendo n el tamaño de la muestra.

1) En consecuencia:

2)

3) El intervalo de confianza vendrá dado por: siendo z_c el valor crítico para el nivel de confianza del 97%, de donde: luego .z_c = 2'17 y el intervalo será: (96'1, 103'9).