SELECTIVIDAD LOGSE CANTABRIA 1996-2003

MATEMÁTICAS II. CIENCIAS DE LA NATURALEZA Y LA SALUD /TECNOLOGÍA

1.- Dada la función donde a es un número real, A) Demostrar que cualquiera que sea el valor de a, f tiene un mínimo, y no tiene máximo. B) Demostrar que si a¹0, f tiene un punto de inflexión y una asíntota vertical. ¿qué ocurre si a=0? C) Representar gráficamente el caso a=1. (J 96)

2.- Dada la función , A) Determina el dominio, las asíntotas y la simetría. B) Determinar los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes y con las asíntotas. C) Determinar los máximos y los mínimos. D) Determinar la gráfica de f y las asíntotas. (S-96)

3.- Dada la función , donde a>0 es un número fijo, se pide estudiar:

A) Dominio y asíntotas. B) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

C) Concavidad y convexidad. D) Representar gráficamente la función. (J-97)

4.- Dada la función , donde a>0 es un número fijo, se pide estudiar:

A) Dominio y asíntotas. B) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

B) Concavidad y convexidad. D) Representar gráficamente la función. (S-97)

5.- Dada la función , se pide estudiar:

A) Dominio y asíntotas. B) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

C) Concavidad y convexidad. D) Dibujar la gráfica de f(x) y sus asíntotas. (J-98)

6.- Dada la función , donde a y b son dos número positivos fijos, se pide determinar los valores de a y b para que f tenga un extremo en (0, -1/4). Estudiar si ese extremo es máximo o mínimo. (S-98)

7.- Dada la función , se pide estudiar: A) Dominio, asíntotas y posición de la curva respecto de estas. B) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos. C) Curvatura D) Gráfica a partir de los resultados anteriores. (J-99)

8.- Sea . Se pide: A) Determinar los máximos y mínimos relativos de f(x) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. B) Calcular los valores máximo y mínimo que toma la función f(x) en el intervalo [0, 3]. (S-99)

9.- Sea siendo n cualquier número entero distinto de 0 y de 1.

a) Comprobar que, para cualquier valor de n (≠ 0, 1), f(x) tiene un extremo relativo en x = 1. Averiguar si depende o no del valor de n, el que el extremo sea máximo o mínimo.

b) Suponiendo ahora que n>1, determinar, según los valores de n, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

c) Utilizar ésto para probar que para todo y para todo n>1. (J-00)

10.- Si , se pide: A) Dominio, cortes con los ejes y asíntotas.

B) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos. C) A partir de los resultados anteriores, obtener el menor valor de c para que se cumpla , para todo x>2. (J-01)

11.- Sea . Se pide: A) Dominio y cortes con los ejes. B) Asíntotas.

C) Intervalos de crecimiento y decrecimiento y gráfica de la función. (S-01)

12.- Sea . Se pide: A) Dominio, cortes con los ejes y asíntotas.

B) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. C) A partir de los datos obtenidos, representar gráficamente la función. (J-02)

13- Considera la función , calcula : A) Su dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento y decrecimiento. B) Sus asíntotas. C) A partir de los datos anteriores, representa la función. (J-03)

14.- Considera la función . Calcula : A) Su dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento y decrecimiento. B) Sus asíntotas. C) A partir de los datos anteriores, representa la función. (S-03)

1.- El coste de producir x unidades de un producto está dado por la función . Si p es el precio por unidad, el número de unidades vendidas a ese precio es . Expresar la ganancia obtenida en función de x, y determinar: a) Para qué valores de x la ganancia es positiva. b) Para qué valores de x la ganancia es máxima. (J-96)

2.- Un barco B está anclado a 9 km del punto más cercano P de una costa que forma una línea recta. A 15 km del punto P, en la costa, hay un campamento C.

Un mensajero debe ir desde el barco al campamento; teniendo en cuenta que puede remar a una velocidad de 4 km/h, y andar a una velocidad de 5 km/h, hallar el punto Q de la costa, entre P y C, en el que debe tomar tierra, para llegar al campamento lo antes posible. (S-97)

3.- Expresar el número 60 como suma de tres enteros positivos de forma que el segundo sea doble del primero y su producto sea máximo. Determinar el valor de dicho producto. (J-02)

4.- Se consideran todos los pares de números reales positivos x , y tales que xy = 2002. se pide: A) determinar el par x , y cuya suma x +y es mínima y calcular el valor de dicha suma. B) Probar que entre todos los pares existentes, puede elegirse x , y de forma que x + y sea tan grande como se quiera. (S-02)

5.- Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de 2 cm. de radio. (S-03)

1.- Para cualquier número real a, se considera la función:

a) Determinar los valores de a para los cuales f(x) es continua en todo R. Estudiar la derivabilidad de f(x) para cada uno de esos valores.

b) Determinar un valor de b para el cual la función sen(bx) tenga exactamente 40 mínimos en el intervalo (0, π). (S-00)

2.- Sea . Se pide: A) Dominio y cortes con los ejes. B) Estudio de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. C) Hacer una gráfica representando los datos obtenidos antes. Si es posible, completar la definición de f(x) en los puntos en que sea necesario para obtener una nueva función que sea continua en todo R o en todo R salvo un número finito de puntos. (S-00)

3.- Se considera la función . Se pide:

a) Puntos de corte con los ejes. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo que toma la función f(x)?

b) Estudio de la continuidad y derivabilidad de f(x) en el intervalo (0, π). (J-01)

4.- Determinar el área encerrada entre las gráficas de las funciones e .

Dibujar el recinto. (S-96)

5.- Calcular: (J-97)

6.- Obtener una función f(x) que verifique: f ´(x) = (x-1).e^x y f(x) tiene un extremo en el eje OX.

Determinar si ese extremo es máximo o mínimo (J-98)

7.- La gráfica de la derivada f´(x) de una función continua es la que se indica en la figura.

Se pide, razonando las respuestas:

a) Escribir la ecuación de f´(x).

b) Dibujar la gráfica de f(x), si f(0) =1.

c) Dibujar la gráfica de f´´(x). (S-98)

8.- Determinar la función f(x) sabiendo que f´´(x) = x L(x), f´(1) = 0 y f(e) = e/4 (J-99)

9.- Si y

a) Dibujar los dos gráficas en un mismo plano y calcular sus puntos de intersección.

b) Determinar el área del recinto encerrado entre ambas gráficas. (S-99)

10.- Se considera la función . Se pide:

a) Dominio y cortes con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Calcular el área encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas. (J-00)

11.- Determinar los valores de a y b para los cuales la función tiene extremos relativos en los puntos x=1 y x=2. Averiguar si estos extremos son máximos o mínimos. Con los valores obtenidos de a y b, calcular razonadamente el área del recinto limitado por la función, el eje OX y las rectas x=1 y x=2. (S-01)

12.- Dada la función , se pide:

a) Dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b) Área del recinto limitado por la función, el eje OX y las rectas x = 0, x = 3. (S-02)

13.- A) Calcula la expresión analítica de la función f que cumple las siguientes condiciones:

i) Es un polinomio de grado 3

ii) Corta al eje OX en tres puntos que tienen por abscisas, respectivamente, x=2, x=4, x=6.

iii) Su valor en x=0 es f(0) = - 48

B) Haz un esquema gráfico de la función f obtenida en el apartado anterior.

C) Calcula el área del recinto limitado por: La gráfica de f, el eje OX, la recta

de ecuación x= 2 y la recta de ecuación x= 4. (J-03)