Anillos

Supongamos que tenemos un conjunto A y que en ese conjunto definimos dos operaciones (que llamaremos + y *) sobre los elementos del conjunto, de tal manera que para cualquier par de elementos del conjunto A, los elementos resultantes de las operaciones x+y, y,  x*y  también pertenece al conjunto A.

Si la operación + tiene, para todos los elementos de A, las propiedades:

interna para todo x e y, el elemento x + y pertenece al conjunto A
asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z
conmutativa: x + y = y + x
elemento neutro:  0 + x = x
elemento inverso: x + x' = 0

y la operación * tiene las propiedades:

interna para todo x e y, el elemento x * y pertenece al conjunto A
asociativa x*(y*z) = (x*y)*z
distributiva x*(y + z) = x*y + y*z

entonces se dice que A tiene estructura de anillo para las operaciones + y *.

Ejemplo: El conjunto de los números enteros con las operaciones suma y producto es un anillo, esto se representa así: <Z, +, ·>. También son anillos <Q, +, ·> , <R, +, ·> y <C, +, ·>

Ejemplo: Sea el conjunto de los números enteros menor que uno dado y definamos la suma y el producto como el resto respecto a n del resultado. Esto es, si el conjunto es {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}, y sumamos 8 + 10 = 18 = 5, si multiplicamos 3 * 10 = 30 = 4. Pues bien ese conjunto junto con esas operaciones es un anillo. La representación matemática es <Z_n, +, ·>

Anillos con nombre propio

Si para la operación *, además, existe un elemento 1 que cumple x*1 = x se dice que es un anillo unitario o que tiene una unidad.

Si para la operación *, además, tiene la propiedad conmutativa, entonces se dice que es un anillo conmutativo.

Si para la operación *, además, todos los elementos de A, excepto el 0, tienen inverso entonces se dice que es un anillo de división o semi cuerpo.

Subanillos

Un subanillo de un anillo A, es un subconjunto de A que tiene la propiedad interna para las operaciones + y *. O sea, un subanillo en un anillo dentro de otro anillo.

Ideales

 Un ideal es a un anillo lo que un subgrupo normal es a un grupo.

Característica de un anillo

Sea b un elemento de un anillo. Si existe algún número n, número natural, que cumpla que n.b = 0 para todos los b, entonces el menor de dichos n se le llama característca del anillo. si no existe tal n se dice que el anillo es de característica cero.

Como estamos acostumbrados a trabajar con el conjunto de los números enteros (Z), racionales (Q) y reales (R) nos puede parecer extraño que exista un número que satisfaga esa condición, pero si operamos en el conjunto Z_n formado por los números enteros desde el cero hasta el n, (estas operaciones se producen cuando trabajamos con congruencias) entonces existe ese número. La característica de Zn es n, Z, Q y R tienen característica cero.

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