Homomorfismo de anillo

Definición

Sean B y C dos conjuntos con estructura de anillo y sea f una aplicación de  B en C, f es un homomorfismo si cumple estas condiciones:

1- f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)
2- f(x · y) = f(x) · f(y) (para todo x, y)

Esto quiere decir que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y. De manera similar para la operación que hemos representado con un punto.

Es preciso tener en cuenta que los signos + y · no representan la operaciones suma y producto, sino las operaciones que se han definido en el conjunto para que tenga estructura de anillo.
 

Ejemplo: Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 2Z (el conjunto de los enteros pares) En B Y C se definen las operaciones suma y producto tal como las conocemos. La aplicación f que consiste en multiplicar por 2 no es un isomorfismo de anillo porque no cumple la condición 3: f(2) = 4, f(3) = 6, f(6) = 12 pero si multiplicamos f(2).f(3) = 24

Nucleo

Nucleo de un homomorfismo de anillo es el conjunto de elementos de B cuya imagen es el elemento neutro del grupo C.

Ejemplo: En el ejemplo anterior sólo hay un elemento cuya imagen nos da el elemento neutro en C, es el número 0, luego el nucleo o kernel del homomorfismo es {0}.

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