Dominios enteros

Un dominio entero es un anillo conmutativo unitario que no contiene divisores de cero. Esto es, es un anillo en el que la operación multiplicación tiene la propiedad conmutativa y que además 1x = x1 = x para todos los x del anillo.

Ahora explicaremos qué son los divisores de cero.

Cuando tenemos que resolver una ecuación del tipo (x - 2)(x - 3) = 0 rápidamente decimos que las soluciones son x = 2 y x = 3, porque esos valores hacen cero uno de los factores de la ecuación. Esto es así porque, sin ser conscientes, estamos resolviendo la ecuación en todo Z (el conjunto de los números enteros), pero si nos dicen que resolvamos la ecuación en Z₁₂,  el subconjunto de Z {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}, la situación es diferente.  En Z₁₂ no sólo el 0 multiplicado por algo da cero, en  Z₁₂  6*2 = 0 y también 3*4 y 3*8 y 6*10 y algunos más.

Los divisores de cero son aquellos números, distintos de cero, en los que se cumple a*b = 0. En el ejemplo anterior son divisores de cero 2, 3, 4, 6, 8, 9 y 10, esto es, los primos relativos con 12, o sea, aquellos cuyo mcd con 12 no es 1.

De lo anterior se deduce una conclusión importante: en Z_p (p número primo) no hay divisores de cero. Esto es importante porque porque nos permite resolver una ecuación en Z_n si n es primo.

Ejemplo: resolver en Z₃ la ecuación x³ + x + 1 = 0. En Z₃ las soluciones posibles son 0, 1 y 2. Dando estos valores a la ecuación vemos para x = 1 la ecuación toma el valor 1³ + 1 + 1 = 3 = 0 , entonces 1 es una solución de esa ecuación en Z₃.

El dominio entero es algo menos que un cuerpo pero algo más que un anillo conmutativo unitario.

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