Grupos factores

Si H es un subgrupo normal (invariante) de un grupo G, el grupo de las clases laterales de H, es el grupo factor de G módulo H. Se escribe así: G/H

Ejemplo: Consideremos el conjunto de los números enteros Z, que como sabemos tiene estructura de grupo abeliano (conmutativo) bajo la suma. Consideremos ahora el subconjunto de Z de los múltiplos de 3 {... 0, 3, 6, 9, ....} que nombramos como 3Z. Este subconjunto, 3Z, es un subgrupo normal (porque Z es abeliano). Z/3Z está formado por los elementos siguientes:

{...0,3,6,9,12,...} = 0 + 3Z
{...1,4,7,10,13...} = 1 + 3Z
{...2,5,8,11,14,...} = 2 + 3Z

y es el grupo factor de las clases residuales.

En vez de representar el grupo como {{...0,3,6,...},{...,1,4,7,10...},{...2,5,8,...}} podemos hacerlo como {0,1,2} utilizando el 0, el 1 y el 2 como representante de {...0,3,6,...},{...,1,4,7,10...} y {...2,5,8,...} respectivamente y llamar a este conjunto Z₃.

Como el orden del grupo (el número de elementos) es 3 (número primo) el grupo es cíclico y es isomorfo a Z₃ (el conjunto {0,1,2})

Si un grupo no tiene subgrupos normales (no triviales) se le llama grupo simple.