Grupos de clases laterales

Consideremos el conjunto de los números enteros Z, que como sabemos tiene estructura de grupo bajo la suma. Vamos a descomponer este conjunto en 3 subconjuntos de forma que cada elemento de Z esté en uno de sólo de los subconjuntos (a esto se llama partición).

S₀ = {...0,3,6,9,12,...}
S₁ = {...1,4,7,10,13...}
S₂ = {...2,5,8,11,14,...}

Vemos que todos los elementos del primer subconjunto se pueden obtener del elemento 0 (sumando o restando 3), todos los elementos del segundo subconjunto se obtienen a partir del 1 y todos los del tercero a partir del 2, por eso denominamos a esos elementos representantes.

En los tres subconjuntos está bien definida la operación suma (si sumamos cualesquiera números del subconjunto el resultado está en el subconjunto) pero sólo uno de los subconjuntos tiene estructura de grupo, el que tiene el cero, que es el elemento neutro para la suma.

Vemos también que si sumamos un elemento del primer subconjunto con un elemento del segundo subconjunto el resultado es un elemento del segundo subconjunto, si sumamos un elemento del primer subconjunto con otro del tercero el resultado está en el tercer subconjunto y si sumamos un elemento del segundo con otro del tercero el resultado está en el primero.

Consideremos ahora el conjunto formado por esos tres subconjuntos, esto es, {{...0,3,6,9,12,...},{...1,4,7,10,13...},{...2,5,8,11,14,...}} y definamos la suma como la operación de sumar un elemento de uno de los subconjuntos con un elemento de otro de los subconjuntos. Este conjunto de tres elementos con la suma definida tiene estructura de grupo, siendo el elemento neutro el elemento {...0,3,6,9,12,...}.

El subconjunto S₀ es el más importante porque tiene estructura de grupo y porque nos permite generar los otros. En efecto, si cogemos un elemento cualquiera (por ejemplo el 7) y lo 'sumamos' a S₀ obtenemos S₁ si hacemos lo mismo con el elemento 11 obtenemos S₂, si tomamos el 3 obtenemos S₀. O sea, tomando cualquier elemento siempre se genera uno de los tres subconjuntos.

El efecto de aplicar el subconjunto S₀ (que es subgrupo) a cualquiera de los elementos del conjunto es la obtención de otro subconjunto determinado. A esos subconjuntos obtenidos se les llama clases laterales del subgrupo S₀. 

Teorema: Si un grupo G se puede particionar de modo que la operación (que le da la estructura al grupo) está bien definida en cada uno de los subconjuntos y el conjunto formado por las particiones tiene estructura de grupo, entonces las particiones son las clases laterales de un subgrupo de G.