Sea G un conjunto con estructura de grupo respecto a una operación denotada por *. Si en el conjunto existe un elemento g (generador) tal que cualquier elemento de G se puede obtener operando con g (o su inverso), entonces el grupo se denomina grupo cíclico.

Los grupos cíclicos se suelen representar por el generador entre ángulos. Así: <g>.

Ejemplos:

El grupo <Z,+> es un grupo cíclico. Todos los números se obtiene a partir del 1.

El conjunto generado por los múltiplos de cualquier entero, n, es un grupo cíclico y se denota como nZ. 3Z serían los múltiplos de 3. en este caso el generador sería el 3.

Definamos en el conjunto de los números naturales (más el cero) la operación suma módulo n. Pues bien, el conjunto {0,1,2,3... n-1} es un grupo cíclico bajo la suma módulo n. El generador sería el 1.

El conjunto Q (números fraccionarios) no es cíclico bajo la suma.

Todo grupo cíclico es abeliano.

Todo grupo cíclico infinito es isomorfo al conjunto Z bajo la suma.

Un subgrupo de un grupo cíclico es cíclico.

Subgrupos de grupos cíclicos

Si tenemos un grupo cíclico podemos generar subgrupos muy fácilmente.

Sea G un grupo cíclico, de n elementos, generado por b; tomemos otro elemento, c, de G. Por la definición de grupo cíclico c = b^s. Pues bien, c genera un subgrupo cíclico de G con n/m elementos, siendo m el máximo común divisor de n y s.

Ejemplo: Sea el grupo <Z₁₂,+> generado con a = 1. Tomemos un elemento del conjunto inicial, por ejemplo 5, como el máximo común divisor de 12 y 5 es 1, el número 5 genera el subgrupo cíclico {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Si tomamos el elemento 4, como el m.c.d de 12 y 4, es 4, el subgrupo cíclico generado es {0,4,8}. 

Ejemplo: Sea el grupo Z₂₉.

Construyamos el cuadro inferior: la primera fila (llamamos a sus elementos a) y la primera columna (llamamos a sus elementos b) son los elementos del conjunto Z₂₉. El resto de las celdas son el resultado de calcular la operación a^b dividir por 29 y quedarnos con el resto.

Vemos en el cuadro que en todas las columnas existe el 1 esto ocurre porque los números 1 a 28 no tiene factores con 29 (excepto el 1), o sea, son inversibles. Todos los inversibles tienen un número b tal que a^b == 1 mod 29. Como 29 es primo todos sus elementos {0,1,2,3... 28} son inversibles (no tienen factores con 29).

También vemos que sólo algunas columnas tienen todos los números (en las otras se repiten). Cuando ocurre esto al número b se le llama raíz primitiva (porque genera todos los números).

Las raíces primitivas de 29 son {2,3,8,10,11,14,15,18,19,21,26,17} 

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