Grupos

Para qué sirven todo esto de los grupos se habrán preguntado la mayoría de los que lleguen a esta página. El desconocimiento de la utilidad de una teoría supone una dificultad añadida a la comprensión de los conceptos, por eso citaré un par de aplicaciones importantes de la teoría de grupos. En Teoría de Números (muy de moda actualmente debido a las aplicaciones de cifrado, que han llegado al público como consecuencia de las transacciones por internet) es fundamental, tambíen se utiliza en Geometría para estudiar las traslaciones, totaciones y reflexiones a las que se somete una figura geométrica, también en la resolución de ecuaciones y en Análisis, en el estudio de las funciones. 

Supongamos que tenemos un conjunto A y que en ese conjunto definimos una operación, que llamaremos *, sobre los elementos del conjunto. Si la operación * tiene las propiedades:

interna para todo x e y, el elemento x * y pertenece al conjunto A
asociativa x*(y*z) = (x*y)*z
elemento neutro: x*1 = x 
elemento inverso: x*x' = 1

para todos los elementos de A, entonces se dice que A tiene estructura de grupo para la operación *.

Es importante darse cuenta que * no significa la operación producto y que 1 no es el número 1 sino que representa un elemento del conjunto. No obstante, pensar que * es la operación producto y 1 el número uno puede ayudar a comprender el concepto de grupo.

Un conjunto con un sólo elemento puede ser un grupo, si ese elemento, es el elemento neutro para la operación definida. Por ejemplo el conjunto {0} con la operación suma, es un grupo, también el conjunto {1} con la operación multiplicación.

Se llama orden de un grupo al número de elementos de un conjunto que tiene estructura de grupo respecto a una operación. El número de elementos del conjunto debe ser finito. Cuando veáis representado Z₅ se refiere al conjunto de los enteros de orden 5 y está formado por los elementos {0,1,2,3,4}. Cuando se hagan operaciones en este tipo de conjuntos hay que tener en cuenta que el resultado hay que convertirlo a un número dentro del conjunto, esto es, si sumamos 2 + 3, el resultado es 0 y si multiplicamos 2*4 el resultado es 3 (o sea, se calcula el módulo de la operación respecto al orden).

Ejemplo: Sea A el conjunto de los números enteros (Z), y la operación * sea la suma (+). Repasemos ahora la definición: El conjunto de los números enteros y la suma cumple la propiedad asociativa (dados varios números, podemos sumarlos en cualquier orden) , el cero es el elemento neutro y todos los números tienen inverso (el inverso del número a es -a), por lo tanto el conjunto de los números enteros y la operación suma tiene estructura de grupo.

También tiene estructura de grupo el conjunto de los números reales (R) y la operación multiplicación.

En cambio, el conjunto de los enteros positivos, Z⁺ , junto con la operación suma, no tiene estructura de grupo porque no hay elemento neutro (el cero no está dentro de Z⁺).  Aunque incluyésemos el cero tampoco tendría estructura de grupo porque no habría elemento inverso, porque en Z⁺ nos están los números negativos.

El conjunto de los enteros positivos, Z⁺ , junto con la operación multiplicación, no tiene estructura de grupo porque aunque existe elemento neutro (el 1) no hay inversos (porque serían número fraccionarios del tipo 1/n).

Grupos con nombre propio

Si la operación * tiene la propiedad conmutativa x*y = y*x, entonces el grupos se llama conmutativo (o abeliano) .

Subgrupos

Si un subconjunto B, del conjunto A (que es grupo respecto a una operación) es, a su vez, grupo respecto a la misma operación, entonces se dice que B es un subgrupo.

Un subgrupo de un grupo abeliano (en honor de Abel) es un subgrupo normal (o invariante)

Otro ejemplo nos aclarará este concepto. El subconjunto de los múltiplos de 2 (en realidad de cualquier número) es un subgrupo.

[ Principal ] [ Grupos de clases laterales ] [ Grupos ciclicos ] [ Grupos factores ] [ Homomorfismo de grupo ] [ Isomorfismo de grupo ] [ Semigrupos ]