Homomorfismo de grupo

Sean B y C dos conjuntos con estructura de grupo y sea f una aplicación de  B en C, f es un homomorfismo si cumple esta condición:

f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)

Esto quiere decir que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.

Si construimos el homomorfismo sobre el mismo conjunto, esto es, desde  B hasta B, entonces al homomorfismo se le llama endomorfismo.

Es preciso tener en cuenta que el signo + no representa la operación suma, sino la operación que se ha definido en el conjunto para que tenga estructura de grupo.
 

Ejemplo 1: Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 3Z (el conjunto de los enteros múltiplos de 3. La aplicación f que consiste en multiplicar por 3 es un homomorfismo de grupo porque cumple la condiciones. La operación definida en B y C es la suma. Veamos la condición 2: El elemento 2 de B se convertiría en el elemento 6 de C (f(2) = 6), el elemento 3 en el 9 (f(3) = 9), el elemento 5 en el 15 (f(5) = 15). Ahora observemos que 2 + 3 = 5 y que 6 + 9 = 15, o sea, para calcular la imagen de 5 podemos aplicar la transformación al número 5, o, si no es más fácil, sumar el resultado de las transformaciones de 2 y 3.

Teorema: Si D es un subgrupo normal (subgrupo normal = subgrupo de un grupo abeliano) de un grupo B, y B/D un grupo factor, entonces la transformación que hace corresponder elementos de B a elementos de B/D, es un homomorfismo.

Ejemplo 2: 3Z (el conjunto de los enteros multiplos de 3) es un subgrupo normal de Z, Z/3Z es un grupo factor (el grupo {{...0,3,6,9...},{...1,4,7,10...},{...2,5,8,11...}}, luego la transformación que hace corresponder los elementos de Z a los correspondientes de Z/3Z es un homomorfismo.

Nucleo de un homomorfismo de grupo es el conjunto de elementos de B cuya imagen es el elemento neutro del grupo C.

Ejemplo 3: En el ejemplo 1 sólo hay un elemento cuya imagen nos da el elemento neutro en C, es el número 0, luego el nucleo o kernel del homomorfismo es {0}. En el ejemplo 2 el kernel es el conjunto 3Z (pues el elemento neutro es {...0,3,6,9...}.

Teorema: Bajo un homomorfismo, subgrupos corresponden a subgrupos y subgrupos normales a subgrupos normales.

Teorema fundamental de homomorfismo

Teorema: Sea f un homomorfismo con núcleo (kernel) K, entre dos grupos B y C. Entonces la imagen del homomorfismo, es un grupo, y existe un isomorfismo natural entre C y B/K.

Si no sabes lo que es B/K visita esta página.

Ejemplo: Z el conjunto de los enteros, 3Z el conjunto de los múltiplos de 3, Z/3Z el conjunto {{...0,3,6,9...},{...1,4,7...},{...2,5,8,...}}. entonces f(Z) es un grupo, f y g son homomorfismos y h isomorfismo y entre ellos existe la relación: f = g.h.

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