Isomorfismo de grupo

El concepto que está detrás del isomorfismo es definir cuándo dos grupos son estructuralmente iguales (independientemente de que sus elementos sean diferentes).

Sean B y C dos conjuntos con estructura de grupo y sea f una aplicación de  B en C, f es un isomorfismo si cumple estas condiciones:

1- f es inyectiva (uno a uno).
2- f(x + y) = f(x) + f(y) (para todo x, y)

Esto quiere decir que la imagen del elemento x + y del conjunto B es igual que la imagen del elemento x + la imagen del elemento y.

Es preciso tener en cuenta que el signo + no representa la operación suma, sino la operación que se ha definido en el conjunto para que tenga estructura de grupo.
 

Ejemplo: Sean B = Z (el conjunto de los enteros) y C = 2Z (el conjunto de los enteros pares. La aplicación f que consiste en multiplicar por 2 es un isomorfismo de grupo porque cumple las condiciones. La operación definida en B y C es la suma. Veamos la condición 2: El elemento 2 de B se convertiría en el elemento 4 de C (f(2) = 4), el elemento 3 en el 6 (f(3) = 6), el elemento 5 en el 10 (f(5) = 10). Ahora observemos que 2 + 3 = 5 y que 4 + 6 = 10, o sea, para calcular la imagen de 5 podemos aplicar la transformación al número 5, o, si no es más fácil, sumar el resultado de las transformaciones de 2 y 3.

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