Superficies de Riemann

Euler y Laplace utilizaron la variable compleja sin preocuparse en su justificación, Cauchy, en su trabajo Memoria sobre la teoría de las integrales definidas, comenzó el estudio de las funciones de variable compleja y Riemann lo completó.

Uno de los problemas que plantean las funciones complejas es que muchas no son inyectivas (esto quiere decir que varios valores de la variable independiente producen el mismo valor de la función).

Sea la función de variable compleja f(z) = e^z, siendo z = cos(t) + i sen(t). Esta función no es inyectiva pues para múltiplos de t de 2π la función f tiene el mismo valor.

Otro ejemplo es la función f(z) = √z, siendo z = r(cos(t) + i sen(t)). La raíz cuadrada de z es √r(cos(t/2) + i sen(t/2)). Pero en el caso de z = r(cos(t + 2π) + i sen(t+ 2π)), la raíz cuadrada será √r(cos(t/2 + π) + i sen(t/2 + π)), que no es lo mismo que √r(cos(t/2) + i sen(t/2)). Sin embargo para z = r(cos(t + 4π) + i sen(t+ 4π)), la raíz cuadrada es √r(cos(t/2 + 2π) + i sen(t/2 + 2π)) que sí es lo mismo que √r(cos(t/2) + i sen(t/2)).

Esto es un problema, pues en el caso de funciones que representen curvas cerradas en cuyo interior esté el origen de coordenadas, la imagen del punto inicial será distinta de la imagen del mismo punto en la gráfica, después de girar 2π.

Esto tiene importancia pues cuando integramos con variables reales lo hacemos a lo largo de un segmento de recta (la recta de los números reales) pero en variables complejas integramos, en general, a lo largo de una curva (pues los números complejos son puntos del plano complejo).

Si integramos a lo largo de una curva, tan rara como esta, desde un punto inicial hasta otro punto final, coincidente con el de inicio, la imagen del punto inicial y final no serán las mismas (aunque gráficamente lo parezcan). 

Obsérvese que en el caso de que el camino cerrado no incluya el cero no tenemos este problema, pues el ángulo nunca supera los 2π. Imaginar que el segmento r recorre toda la curva desde el punto inicial hasta el mismo punto.

Dada una función, determinada, en el plano complejo, habrá una región del plano en que no tengamos este problema. En el caso de la imagen primera el problema se plantea cuando el ángulo t llega a t + 2π. 

La idea genial de Riemann fue considerar varias capas en la imagen (separadas una distancia infinitesimal), de tal manera que cuando el ángulo llegue a t + 2π (a ese punto se llama punto de ramificación) se pasa a la capa superior (sería algo parecido a una superficie helicoidal de pendiente infinitesimal)

En el caso de la función f(z) = √z sólo hay dos capas, pero otras funciones pueden tener más capas.

Entonces podemos considerar que el dominio de una función de variable compleja no está en el plano complejo sino en una superficie. A esa superficie se llama superficie de Riemann.

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