Disquisitiones aritmeticae

Este libro consta de siete secciones:

1. Números congruentes.
2. Congruencias de primer grado.
3. Residuos de potencias.
4. Congruencias de segundo grado.
5. Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado.
6. Aplicaciones.
7. Ecuaciones de las secciones de un círculo.

En las dos primeras secciones se inventa las congruencias.

En la secciones 3ª y 4º demuestra el Pequeño Teorema de Fermat: Si p es un número primo que no divide a a, a p -1 – 1 es siempre divisible por p.

Y el de Wilson: El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número

En la sección 4ª Gauss está el Theorema aureum: Si p es primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n + 3, -p tiene la misma propiedad.

Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el propio Gauss en el art. 151. Sólo por esta demostración Gauss ya debería ser considerado como uno de los matemáticos más potentes de la época. Pero habría más, dentro de la misma obra.

Las secciones 6ª y 7ª tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones.

Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax 2 + 2bxy + cy 2 = M, donde a, b, c, x e y son números enteros.

A la expresión F = ax 2 + 2bxy + cy 2 Euler la denominó forma cuadrática.

Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los valores de x e y que representan a M.

Para Gauss el objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de 1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo

La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él. Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat:

Todo número entero positivo se puede escribir como suma de tres números triangulares
La demostración de este resultado aparece en el art. 293 y es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias.

Sección 7ª. De las ecuaciones que definen las secciones del círculo

¿Qué relación existe entre las secciones del círculo y la teoría de números? Para poder dividir, geométricamente, una circunferencia en N partes iguales es imprescindible que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez.

Estos son los valores de N menores que 300:

2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272.

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