Geometría Analítica: La circunferencia
Definiciones de:
Otros conceptos:
Posiciones
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MATEMÁTICA
ELEMENTAL
GEOMETRÍA ANALÍTICA: LA CIRCUNFERENCIA
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué es una circunferencia?
¿Qué propiedades tiene?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más.
¿Qué dice el DRAE acerca de la circunferencia?
Circunferencia. Geom. Curva plana cerrada. cuyos puntos equidistan de otro, situado en el mismo plano. 2// Contorno de una superficie, territorio, mar, etc.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- La circunferencia es una curva plana y cerrada.
- Los puntos de la circunferencia equidistan de otro del mismo plano llamado centro.
Circunferencia: Límite del círculo.
Circunferencia: Curva plana, lugar geométrico de los puntos equidistantes de un punto del plano llamado centro. Límite de la superficie plana llamada círculo. La distancia entre cualquier punto de la _ y el centro se llama radio; su duplo se llama diámetro.
El CIRLEC introduce conceptos que dispersarían nuestra atención en este momento.
De acuerdo con lo escrito anteriormente la circunferencia es una curva plana cerrada con una propiedad que sirve para definirla: Todos sus puntos equidistan de otro llamado centro.
Los puntos de la circunferencia tienen una propiedad común a todos ellos. Según dijimos en Las conicas, el conjunto de puntos que tienen una propiedad común se llama lugar geométrico de ahí que el CIRLEC lo defina así.
Hasta ahora nos hemos circunscrito a la definición de la circunferencia. La Geometría Analítica ha de expresar en forma de ecuación las propiedades que hemos definido para lo cual partimos de las propiedades y las expresamos con ecuaciones.
Sea un sistema cartesiano y en él trazamos una circunferencia con centro en C(a b) y de radio r
NOTA: Recuérdese que (a b) son las coordenadas del centro.
Sea P(x y) las coordenadas de un punto genérico de la circunferencia. Para que P pertenezca a la circunferencia su distancia a C tiene que ser constante e igual a r . Ver figura
Tracemos por C una paralela a OX y por P una paralela a OY. Ambas rectas se cortan en A de coordenadas A(x b). El triángulo CAP, es rectángulo al ser sus catetos paralelos a los ejes y tiene por hipotenusa a r y por catetos: (x -a) el horizontal e (y - b) el vertical. Ver figura
Aplicando el teorema de Pitágoras resultará (x -a)2 + (y - b)2 = r2 (1)
Que es la ecuación de la circunferencia de Centro C(a b) y de radio r.
Ejemplo: Escribir la ecuación de una circunferencia cuyo radio es 1 y su centro se haya situado en el punto C(2,3)
Sustituyendo los valores en la ecuación (1) obtendremos: (x -2)2 + (y - 3)2 = 12 Desarrollando la ecuación resultaría:
x2 -4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 1 ⇒ x2 - 4x + y2 - 6y + 9 + 4 - 1 = 0 ⇒
⇒ x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0
Obsérvese que se trata de una ecuación de segundo grado en x e y que no tiene términos en xy
De forma general la ecuación anterior podría expresarse así:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 (2)
que recibe el nombre de ecuación general de la circunferencia
Estas dos formas de expresar, analíticamente, la circunferencia nos sugiere dos problemas:
1) Dadas las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, escribir su ecuación.
2) Dada la ecuación general de una circunferencia determinar su centro y su radio.
El problema 1) es el que hemos resuelto
El 2) se resolvería así:
La ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 desarrollada se escribiría así:
x2 + y2 - 2ax - - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 Comparándola con la ecuación (2)
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 al ser expresiones idénticas se ha de cumplir que:
- 2a = A ⇒ a = - A/2 - 2b = B ⇒ b = - B/2 C = a2 + b2 - r2 ⇒ r2 = a2 + b2 - C
Se trata de resolver las tres ecuaciones precedentes. En el ejemplo anterior sea la ecuación general de la circunferencia; x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 Determinar las coordenadas del centro y su radio
Comparándola con la ecuación general tendremos:
A = - 4 luego -2 a = - 4 a = 2
B = -6 luego -2 b = - 6 b = 3
C = 12 luego r2 = a2 + b2 - C r2 = 4 + 9 - 12 = 1 ⇒ r = ± √1
Como el radio tiene una longitud positiva la solución será r = 1 y el centro C(2 3) como tenía que ser.
Ecuaciones de la circunferencia que tienen una posición particular:
¿Cuai es la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas O(0 0)?
si en la ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 sustituimos a y b por sus valores (0 0) resultará:
x2 + y2 = r2
que se llama también ecuación reducida o ecuación canónica de la circunferencia
Ver figura
¿Cual es la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje de abscisas?
Si la circunferencia tiene su centro en el eje de abscisas, de coordenadas O(a 0) en la ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 sustituimos a y b por sus valore (a 0) resultará:
(x -a)2 + y 2 = r2 operando tendremos x2 + y2 -2ax + a2 - r2 = 0
Ver figura
¿Cual es la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje de ordenadas?
Si la circunferencia tiene su centro en el eje de ordenadas, de coordenadas O(0 b) en la ecuación (1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 sustituimos a y b por sus valore (0 b) resultará:
(x -0)2 + (y - b) 2 = r2 operando tendremos x2 + y2 -2ay + b2 - r2 = 0
Ver figura
¿Cual es la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas?
Si la circunferencia pasa por el origen de coordenadas, la ecuación
(1) (x -a)2 + (y - b)2 = r2 debe cumplirse para las coordenadas (0 0) del punto de la circunferencia: Si sustituimos x e y por sus valore (0 0) resultará:
(0 -a)2 + (0 - b) 2 = r2 operando tendremos a2 + b2 - r2 = 0 si en la ecuación (1) desarrollada x2 + y2 - 2ax - - 2ay + a2 + b2 - r2 = 0 sustituimos a2 + b2 - r2 por su valor 0 resultará la ecuación
x2 + y2 - 2ax - - 2ay = 0
Una circunferencia que pase por el origen de coordenadas. su ecuación carece de término independiente. Ver figura
Problema que combina, ecuaciones de la recta con las propiedades de ellas, el concepto de lugar geométrico y la circunferencia.
Rodrigo es un joven lector de mi página que me ha brindado, con su generosidad, ocasiones para enriquecerla enviándome problemas sumamente interesantes. El que se desarrolla a continuación me ha parecido conveniente incluirlo aquí, más que en "Mensajes cruzados".
Me decía el 16-04-07:
Por favor te pido ayuda para que me resuelvas este ejercicio que no entiendo yo trate de hacer algo y GRÁFICAMENTE ME SALE QUE EL LUGAR GEOMÉTRICO ES UNA CIRCUNFERENCIA PERO REALMENTE NO ENTIENDO QUÉ NECESITA EL PROBLEMA PARA QUE ESTE COMPLETO.
Lo
enunciaba así:
Por A=(4,3) pasa un haz de rectas; desde B=(-2,-5) se traza una
perpendicular a cada recta o rayo del haz que pasa por A. determinar el
lugar geométrico de las intersecciones de los rayos y sus perpendiculares.
Por favor respóndeme y ayúdame lo antes posible muchas gracias de ante
mano.
Respuesta del 17-04-07
Rodrigo me dice lo transcrito más arriba:
Respuesta. Estimado Rodrigo: Muchas gracias por volverme a preguntar. Supongo que la consulta que sobre inducción me hiciste te serviría, cuando, amablemente vuelves a consultarme. Espero corresponder a tus expectativas.
Una sugerencia. Lo que escribas hazlo de forma meditada cuidando las formas. Una forma precipitada, desordenada y mal expresada no dice mucho en favor del que lo escribe.
Te adjunto la cuestión resuelta desde dos perspectivas. Una geométrica y otra analítica. Espero que te sirva.
Un cordial saludo de MR
A continuación la resolución:
Problema: Lugar geométrico de los puntos de un plano intersección de las perpendiculares trazadas desde un punto del plano al haz de rectas trazado por otro punto de ese plano.
Solución geométrica:
Sea A, el punto de intersección del haz y B el punto desde el que se trazan las perpendiculares al haz. Sea P uno de los planos que contiene a A y B. Cada recta del haz que concurre en A del plano P, con su perpendicular trazada desde B forma un ángulo recto de vértice X. El punto de intersección de ambas rectas, la del haz y su perpendicular es el vértice X del ángulo recto. El lugar geométrico de esos puntos de intersección, X, será el arco capaz del ángulo recto que pasa por A y B. (1) Una semicircunferencia. Por simetría la otra semicircunferencia. Por tanto: El lugar geométrico de los puntos de un plano intersección de las perpendiculares trazadas desde un punto del plano al haz de rectas trazado por otro punto de ese plano será una circunferencia de diámetro AB.
Recíprocamente. Sea una circunferencia de diámetro A y B. Sea X un punto cualquiera de la circunferencia. Si trazamos por X, sendas rectas que pasen por A y B son perpendiculares. (Medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. En esta caso 90º, mitad de 180º, arco central de una semicircunferencia).
Gráficamente:
(1) Nota agregada para la página:
Aunque esta cuestión corresponde a la Geometría, no desarrollada aún, parece aconsejable hacer una breve exposición del concepto: Arco capaz de un ángulo que se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano desde el que se ve un segmento bajo el mismo ángulo. Ese lugar geométrico es un arco de circunferencia que pasa por los extremos A y B del segmento.
En efecto: El punto X al recorrer el arco de circunferencia siempre marca el mismo ángulo por ser inscrito a la circunferencia..
La solución no es única. Otro arco de circunferencia simétrico del anterior respecto al segmento AB cumpliría la definición de arco capaz. Por tanto la figura representativa sería la siguiente:
Solución analítica:
Sean A(a, b) y B (c, d) las coordenadas de los puntos A y B. Toda recta r que pase por A tiene de ecuación y - b = m(x – a) (1). Esta es la ecuación del haz que pasa por A. Para cada valor del parámetro m, pendiente de la recta, nos dará una recta que pasará por A.
Toda recta r’ que pase B tiene de ecuación y - d = m’(x – c) (2). Esta es la ecuación del haz que pasa por B. Para cada valor del parámetro m’, pendiente de la recta, nos dará una recta que pasará por B.
La condición del problema exige que r y r’ sean perpendiculares luego sus pendientes han de ser recíprocas y opuestas esto es: m = - 1/m’ (3)
Despejando m’ en (2) sustituyendo en (3) y luego en (1) tendremos
y – d x - c
m’ = ------ sustituyendo en (3) resultará m = - ------
x – c y – d
x - c
sustituyendo en (1) tendremos y - b = - -------(x – a) (4)
y – d
El punto de intersección de las rectas del haz que pasa por A y las perpendiculares a ellas que pasan por B, han de cumplir la ecuación (4)
Efectuando las operaciones indicadas nos resultará, finalmente:
x2 + y2 + x(-a – c) + y(-b – d) + ac + bd = 0 (5)
Ecuación de una circunferencia de la forma:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0; en la que:
A = - (a +c) B = - (b + d) C = ac + bd
Como las coordenadas del centro O son (-A/2, - B/2) y el radio ha de cumplir la condición:
C = a2 + b2 - r2
a + c b + d
Tendremos que – A/2 = ------ y - B/2 = --------
2 2
r2 = a2 + b2 – (ac + bd)
El centro de la circunferencia está en el punto medio del segmento AB, al ser sus coordenadas las medias aritméticas de las coordenadas de esos puntos.
Los puntos A y B pertenecen a la circunferencia por cuanto sus coordenadas satisfacen la ecuación (5)
NOTA FINAL: Es un problema muy bonito que hemos resuelto con elegancia. Vale.
Posiciones de una recta y una circunferencia
Desde el punto de vista métrico una recta y una circunferencia en el mismo plano pueden adoptar estas posiciones: Ser exterior, tangente o secante.
En el primer caso, ser exterior, la circunferencia y la recta no tienen ningún punto común. En el segundo caso, ser tangente, la circunferencia y la recta tienen un punto común. En el tercer caso, ser secante, la circunferencia y la recta tienen dos puntos comunes. Ver figuras más abajo.
¿Cómo resolvemos el problema desde el punto de vista analítico?
Recordemos que en Geometría Analítica no hay figuras, solo ecuaciones. Así
Una circunferencia se expresa por su ecuación: x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Una recta se expresa por su ecuación A'x + B'y + C' = 0
Resolviendo el sistema de segundo grado formado por ambas ecuaciones nos dará dos soluciones que, según sean, significarán su posición relativa: Así:
Si las raíces de la ecuación son reales y distintas la recta y la circunferencia se cortan
Si las raíces de la ecuación son reales e iguales la recta y la circunferencia son tangentes.
Si las raíces de la ecuación son imaginarias la recta y la circunferencia son exteriores.
Desde un punto de vista teórico quizá resultara más rigurosa la solución del sistema propuesto que nos llevaría a expresiones largas y complejas. Entiendo que resolviendo algún ejemplo será más asequible al lector.
Determinar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 y la recta de ecuación x + y + 1 = 0
Para resolver el sistema aplicamos el método de sustitución para lo cual despejamos la y en la recta y se sustituye en la circunferencia.
Así y = -x -1 sustituyendo en la circunferencia tendremos
x2 + (-x -1)2 - 4x - 6(-x -1) + 12 = 0 desarrollando
x2 + x2 + 2x + 12 - 4x + 6x + 6 + 12 = 0 reduciendo términos semejantes
2x2 - 4x + 19 = 0 Resolviendo la ecuación Tendremos:
_______ _______ _____
4 ± √16 - 152 4 ± √16 - 152 4 ± √- 136
x = ----------------------- = -------------------- = --------------------
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como las raíces son imaginarias la recta y la circunferencia son exteriores. Ver figura.
Determinar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0 y la recta de ecuación y = x + 1
Para resolver el sistema aplicamos el método de sustitución para lo cual como y está despejada en la recta y se sustituye en la circunferencia.
Así sustituyendo en la circunferencia tendremos
x2 + (x + 1)2 - 4x - 6(x + 1) + 12 = 0 desarrollando
x2 + x2 + 2x + 1 - 4x - 6x - 6 + 12 = 0 reduciendo términos semejantes
2x2 - 8x + 7 = 0 Resolviendo la ecuación después de hacer las operaciones oportunas y simplificar tendremos:
_______ __ __ __
8 ± √64 - 56 8 ± √ 8 8 ± 2√ 2 4 ± √ 2
x = ----------------------- = ------------ = --------------- = -----------
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Como tiene dos raíces reales la recta y la circunferencia son secantes.
Ver figura
De forma semejante sería el ejemplo de la recta y la circunferencia cuya posición sean tangentes dando origen a la figura siguiente:
Propiedades de la circunferencia
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