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- Conceptos
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En este tema vamos a desarrollar los conceptos reseñados en la Introducción En síntesis: Lo que se ha pretendido en la introducción es conseguir ordenar y contar las distintas agrupaciones que puedan hacerse con los elementos de un conjunto, abstracción hecha de su naturaleza. Desde un punto de vista general, los diccionarios y la enciclopedia nos han ayudado poco para saber de qué trataba la combinatoria o análisis combinatorio. En ese proceso buscador y con la ayuda del libro de matemáticas nos hemos encontrado con la clasificación:
Como puede apreciarse los distintos tipos de ordenaciones que podemos aplicar a un conjunto son los mismos tanto en la combinatoria ordinaria como con repetición; la diferencia esencial de un tipo u otro consiste en que en la primera, los elementos que forman la ordenación son distintos entre ellos y en la segunda los elementos pueden repetirse. La estrategia a seguir consistirá en ir desgranando cada tipo de ordenación considerando uno u otro caso; esto es: que sus elementos sean distintos o se repitan. En un caso tendremos la Combinatoria ordinaria y en el otro caso la Combinatoria con repetición. Los tres tipos de ordenaciones que vamos a estudiar son:
De todas ellas intentaremos conocer: - Concepto - Ordenación - Recuento - Fórmulas usuales - Campo de aplicación - Ejemplos y aplicaciones
Seguimos con el esquema adoptado en el estudio de la matemática elemental. Para penetrar en el concepto “Combinaciones” y seguir después en su desarrollo conceptual, propiedades y aplicaciones, nos introduciremos en el tema a partir de lo que dicen los diccionarios: DRAE, CIRLEC, DIMAT y un libro de matemáticas. (Recordemos: DRAE es el diccionario de la Real Academia; CIRLEC es una enciclopedia y DIMAT un diccionario de Matemáticas). Analizaremos sus contenidos, lo semejante, lo distinto, lo olvidado y sus imprecisiones. Adquirido el concepto de variación lo que viene después es consecuencia de ello y por tanto generable por cualquier lector perspicaz.
No aparece tal concepto en el DRAE. Sí aparece Combinación en cuya acepción séptima dice: Combinación: 7. Alg. Cada uno de los grupos que se pueden formar con letras en todo o partes diferentes, pero en igual número; v.gr.: abc, efg Definición incompleta que induce a error porque ¿Sólo se puede combinar las letras? ¿Los números no? En el caso de las letras abc y cba ¿Son combinaciones iguales o distintas? Y muchas más preguntas que se pueden hacer.
Probemos con la enciclopedia CIRLEC:
Combinacion: MAT. Cada uno de los distintos grupos que pueden formarse con los elementos de una serie (ver número combinatorio); según el número de que entren en la _. se llama esta monaria, binaria, ternaria, etc. Definición incompleta que induce a error porque ¿Sólo se puede combinar los elementos de una serie? ¿Los líquidos, por ejemplo no se pueden combinar? La palabra "combinado" Usada en los bares ¿Qué sentido tendría? Y muchas más preguntas que se pueden hacer.
¿Qué dice sobre el asunto el diccionario especializado DICMAT? Combinación: Número de grupos diferentes que pueden hacerse de cualquier número de objetos tomados en determinadas cantidades. Definición incompleta que aclara poco ¿Sólo se puede combinar los objetos? ¿Las letras y los números no?
¿Qué dice un libro de matemáticas al respecto? Combinaciones, definición: Dados m elementos, a1, a 2, a3,...... am, llamaremos combinación n-aria, o de orden n, a los conjuntos formados por n elementos elegidos entre ellos, de modo que dos conjuntos cualesquiera difieran en algún elemento. Su número se suele designar así: Cm,n ó Cnm. Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE? : - Tiene que haber letras para agruparlas. - Se pueden formar grupos en todo o partes diferentes, pero en igual número. ¿Qué conceptos se barajan en lo que dice CIRLEC?: - Disponer de una serie. - Se pueden formar los grupos de uno en uno, monarias; de dos en dos, binarias; de tres en tres, ternarias, etc.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DIMAT?
- Disponer de un número cualquiera de objetos
- Esos objetos han de ser tomados en determinadas cantidades.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el libro de matemáticas? - Se parte de m elementos. - Llama combinación a los conjuntos formados de orden n de estos m elementos, a todo conjunto ordenado formado por n elementos elegidos entre los m dados. - Se conviene en considerar distintas las variaciones si difieren en algún elemento, o si teniendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación. Dados m elementos, a1, a 2, a3,...... am, llamaremos combinación n-aria, o de orden n, a los conjuntos formados por n elementos elegidos entre ellos, de modo que dos conjuntos cualesquiera difieran en algún elemento. Su número se suele designar así: Cm,n ó Cnm. Examinadas detenidamente las definiciones anteriores se puede concluir lo que en esencia se dejó entreverar en la introducción y podemos definirla así: - Se parte de un conjunto de m elementos prescindiendo de su naturaleza. - Los elementos de tal conjunto lo podemos ordenar de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres,......, de n en n - Se pueden tomar todos los elementos del conjunto a la vez, en ese caso n = m - Se adopta el convenio de que una ordenación se distingue de otra en algún elemento .
Tales ordenaciones reciben el nombre de Combinaciones que serán: Combinaciones ordinarias si los elementos de toda ordenación son distintos Combinaciones con repetición si los elementos de toda ordenación pueden repetirse o no.
¿Cómo se simbolizan las Combinaciones? Los símbolos Cm,n ó Cnm, expresan las Combinaciones ordinarias de un conjunto con m elementos tomadas de n en n. En este caso n£ m Los símbolos CRm,n ó CRnm, expresan las Combinaciones con repetición de un conjunto con m elementos tomados de n en n. En este caso n puede ser, >, < ó = que m OBSERVACIÖN: Cuando escribimos: Cm,n ó CRm,n expresamos indistintamente las combinaciones como su número.
¿Cómo se ordenan y cómo se cuentan las Combinaciones ordinarias? Los criterios señalados En la introducción a la combinatoria para ordenar los elementos de un conjunto son de aplicación a las Combinaciones. Así para formar las Combinaciones unitarias, se escriben uno a continuación de otro, los elementos del conjunto. Para formar las Combinaciones binarias, se escriben en columna las Combinaciones unitarias y se le van añadiendo a la derecha los elementos del conjunto que siguen al último elemento colocado en la Combinación unitaria. Para formar las Combinaciones ternarias, se escriben en columna las Combinaciones binarias y se le van añadiendo a la derecha los elementos del conjunto que siguen al último colocado en la Combinaciones binaria. Así, para formar las Combinaciones de orden n se escriben, una a continuación de otra las Combinaciones de orden (n-1) y se la añaden a la derecha de cada una de tales Combinaciones los elementos que siguen al último colocado formándose así una matriz triángular con un número de filas igual a las combinaciones de orden (n - 1):
Comparación de las definiciones entre variaciones y combinaciones: La transcribimos en la siguiente matriz:
Examinando ambas columnas se observa que las condiciones de una y otra son equivalentes salvo la última. En las variaciones, "una variación se distingue de otra en algún elemento o teniendo los mismos elementos en su orden de colocación". En las combinaciones "una ordenación se distingue de otra en algún elemento". Por tanto en las variaciones Vm,n están comprendidas las combinaciones Cm,n y las permutaciones Pn de ahí que podamos escribir: Vm,n = Cm,n x Pn por lo que el número de combinaciones será: Vm,n Cm,n = -------- (1) Pn
Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema.
Ejemplo 1º: ¿Cuántos colores distintos podré formar con los colores rojo, r, azul, a, verde v, negro, n.
Seguiré el proceso diseñado:
(*) Cuando se toman los elementos de uno en uno, las Combinaciones se obtienen transcribiendo los elementos del conjunto. El recuento en este caso es inmediato: el Nº de elementos del conjunto: 4.
(**) Cuando se toman los elementos de dos en dos o binarias, las combinaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz triangular cuyo número de filas es igual al Nº de combinaciones tomadas de uno en uno o unitarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las combinaciones de uno en uno los elementos que le siguen así:
OBSERVACION: Para hacer la matriz triangular, rectangular, habría que añadirle las permutaciones de cada una de las combinaciones reseñadas. El número total resultaría las variaciones binarias de cuatro elementos. De ahí que, para el cálculo de las combinaciones binarias hay que dividir el número de variaciones binarias por el número de las permutaciones binarias (***) Cuando se toman los elementos de tres en tres o ternarias, las combinaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz triangular cuyo número de filas es igual al Nº de combinaciones tomadas de dos en dos o binarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las ordenaciones de dos en dos cada uno los elementos que le siguen así:
(****) Cuando se toman los elementos de cuatro en cuatro o cuaternarias, las combinaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de combinaciones tomadas de tres en tres o ternarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las variaciones ternarias de tres en tres los elementos que le siguen así:
Calcular: V7,5 7 x 6 x 5 x 4 x 3 2520 a) C7,5 =------- = --------------------- = --------- = 21 P5 5 ! 120
11 x 10 x 9 990 b) C11,3 = ------------- = ------- = 165 3! 6 La estrategia seguida es: Aplicar las fórmulas del cálculo de las variaciones y permutaciones. Después hacer los cálculos numéricos
Otras fórmulas del cálculo de las Combinaciones: Se ha dicho que el número de variaciones que se pueden formar con un conjunto de m elementos tomados n a n, sin que ningún elemento del conjunto se repita en la ordenación se calcula, entre otras, por esta fórmula:
m! Vm,n = ------------ (m – n)!
Asimismo la fórmula para el cálculo de las permutaciones de un conjunto de n elementos es: Pn = n! La fórmula (1) para el cálculo de las Cm,n es: Vm,n Cm,n =-------- sustituyendo obtendríamos: Pn
Vm,n m! Cm,n =-------- = -------------- (2) Pn n! (m – n)!
Se han expuesto dos ejemplos de cálculo por aplicación de la fórmula (1). Calculémoslo ahora por aplicación de la fórmula (2) Calcular: 7! 7! 7x6x5x4x3x2x1 5040 a') C7,5 = --------- = -------- = ------------------ = ------ = 21 5!(7 - 5)! 5! 2! 1x2x3x4x5x 2x1 240
11! 11! 11 x 10 x 9 x 8! 11x10x9 b') C11,3 = ----------= ---- = ------------------- = ---------- = 165 3!(11-3)! 3! 8! 1x2x3 8! 6 Comparando los desarrollos de los ejemplos a') y b') con los a) y b) se ve que los cálculos de a') y b') son más largos y farragosos que los a) y b). En el b') hemos seguido la estrategia de expresar el 11! en función de 8! y simplificando la fracción, nos lleva a la solución obtenida con la fórmula (1)
Recordemos de nuevo el concepto de factorial.
¿Qué dice el DRAE acerca del factorial? Factorial (de factor) f. Mat. Producto de todos los términos de una progresión aritmética.
¿Y el CIRLEC? Factorial. Mat. Se llama _ de un número n al producto de los n primeros números naturales; se representa por n! Así el _ de 6 será 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720. Quizá le falta decir, aunque parece implícito, que n ha de ser un número natural
¿Y el DICMAT? Paradójicamente ¡No dice nada al respecto!
¿Qué dice el libro de Matemáticas? Factorial de un número natural n es el producto que resulta de multiplicar todos los números naturales desde el n hasta el 1, ambos incluidos. Las definiciones del libro de Matemáticas y del CIRLEC, son coincidentes. La que no se sostiene es la del DRAE que es rigurosamente falsa ya que, los números naturales constituyen uno, y sólo uno de los múltiples ejemplos que pueden proponerse de progresión aritmética. La lectura de la definición de factorial del DRAE me hace recordar la que, de Asnografía, propuso Juan Ramón Jiménez en su “Platero y Yo” en sustitución de la que aparecía en el Diccionario. (Escribo de memoria). Asnografía: Debe decirse, claro está, por descripción del hombre necio que escribe diccionarios. Definición de factorial de un número natural m: Factorial de un número natural lo constituye el producto de m factores naturales desde 1 hasta m o de m hasta 1 y se simboliza así: m! Expresión del factorial de un número en función del factorial de otro número mayor o menor: Generalizando el caso particular del ejemplo b') podemos escribir: m! = m(m - 1)(m - 2)! Expresión del factorial de un número en función del factorial de otro menor. (m + 3)! m! = --------------------------- (m + 3)(m + 2)(m + 1) Expresión del factorial de un número en función del factorial de otro mayor.
Son aquellas combinaciones cuyos elementos pueden repetirse
¿Cómo se ordenan las Combinaciones con repetición? Los criterios señalados En la introducción a la combinatoria para ordenar los elementos de un conjunto son de aplicación a las Combinaciones con repetición. Así para formar las Combinaciones unitarias con repetición, se escriben uno a continuación de otro, los elementos del conjunto. Para formar las Combinaciones binarias con repetición, se escriben en columna las Combinaciones unitarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha el último elemento colocado y los elementos del conjunto que siguen al último elemento colocado en la Combinación unitaria con repetición. Para formar las Combinaciones ternarias con repetición, se escriben en columna las Combinaciones binarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha el último elemento colocado y los elementos del conjunto que siguen al último colocado en la Combinaciones binaria con repetición. Así, para formar las Combinaciones con repetición de orden n se escriben, una a continuación de otra las Combinaciones con repetición de orden (n-1) y se la añaden a la derecha de cada una de tales Combinaciones con repetición el último elemento colocado y los elementos que siguen al último colocado formándose así una matriz triangular con un número de filas igual a las combinaciones con repetición de orden (n - 1):
Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema. Ejemplo 1º: ¿Escribir todas las combinaciones con repetición que se pueden formar con las letras r, a, v, n.
Seguiré el proceso diseñado:
¿Cómo se cuentan las Combinaciones con repetición? CR4,1 = C5,1 = C(4 + 1-1),1 CR4,2 = C5,2 = C(4 + 2-1),2 CR4,3 = C6,3 = C(4 + 3-1),3 CR4,4 = C7,4 = C(4 + 4-1),4 Inductivamente podemos concluir que CRm,n = C(m + n -1),n (3) Por tanto, para calcular el número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n, en n, CRm,n se calculan las combinaciones ordinarias de (m + n - 1) elementos tomados de n en n.
Ejerccios y aplicaciones de Combinaciones ordinarias y de repetición:
1º Calcular el número de colores distintos que pueden formarse con los siete colores del arco iris. Número de elementos del conjunto: 7 Los colores pueden formarse, tomándolos de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres y así sucesivamente hasta de siete en siete. Es evidente que al mezclar los colores el orden en que se coloquen es irrelevante y como no se puede repetir color, se trata de combinaciones ordinarias. El problema se resuelve calculando y sumando: n= 7 C7,1 + C7,2 + C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = ∑ C 7, n n = 1 El símbolo
∑ (sigma mayúscula) indica que hay que sumar todas
las combinaciones que se pueden formar con siete elementos desde n = 1
hasta n = 7 Aplicando a cada uno de los sumandos la fórmula de cálculo (1),
Vm,n m(m -1)(m-2).......(m-n+1) Cm,n = -------- = --------------------------------- Pn n!
En la que m = 7 y n, varía desde 1 hasta 7. Tendríamos:
(7-1+1) C7,1 =---------- = 7 1!
7 ( 7-2+1) 7 x 6 C7,2 =------------- = -------- = 21 2! 2
7x6(7-3+1) 7x6x5 C7,3 =--------------- =---------- = 35 3! 6
7x6x5(7-4+1) 7x6x5x4 C7,4 =--------------- =--------------- = 35 4! 1x2x3x4
7x6x5x4(7-5+1) 7x6x5x4x3 C7,5 =-------------------- =-------------- = 21 5! 1x2x3x4x5
7x6x5x4x3(7-6+1) 7x6x5x4x3x2 C7,6 =-------------------- =----------------- = 7 6! 1x2x3x4x5x6
7x6x5x4x3x2(7-7+1) 7x6x5x4x3x2x1 C7,7 =-------------------------- =-------------------- = 1 7! 1x2x3x4x5x6x7 Luego: n= 7 C7,1 + C7,2 + C7,3 + C7,4 + C7,5 + C7,6 + C7,7 = ∑ C 7, n = n = 1 7 +21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 127
2º Un obrador de confitería tiene tres clases de bombones y los empaqueta en cajas de diez unidades ¿Cuantas cajas distintas podrá ofrecer a sus clientes? Número de elementos del conjunto: 3 el número de bombones distintos Las cajas han de montarse con 10 bombones. luego los bombones podrán repetirse o no dentro de las posibilidades que den las cajas. Es evidente dos cajas serán distintas si difieren en algún tipo de bombón, por lo que el orden en que se coloquen los bombones no altera a la caja. Se trata por tanto de combinaciones con repetición de tres elementos, los bombones que se distribuyen de dien en diez, los huecos de la caja. El problema se resuelve calculando CR3,10
Recuérdese que en la combinatoria con repetición, m puede ser <, =, ó > que n Aplicando la fórmula de cálculo (3),
CRm,n = C(m + n -1),n
Donde m = 3 y n = 10
será: CR3,10 = C(3 + 10 -1),10 = C12,10
Utilizando laa fórmula
Vm,n m! Cm,n = -------- = --------------------------------- Pn n!(m-n)!
Para m = 12 y n = 10
12! 12! 12x11x 10! C12,10 =--------------- =-------- = --------------- = 66 10!(12-10)! 10! 2! 10! 2!
La estrategia seguida ha sido expresar 12! en función de 10!, simplificar y operar
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