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Definiciones:
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En este tema vamos a desarrollar los conceptos reseñados en la Introducción En síntesis: Lo que se ha pretendido en la Introducción es conseguir ordenar y contar las distintas agrupaciones que puedan hacerse con los elementos de un conjunto, abstracción hecha de su naturaleza. Desde un punto de vista general, los diccionarios y la enciclopedia nos han ayudado poco para saber de qué trataba la combinatoria o análisis combinatorio. En ese proceso buscador y con la ayuda del libro de matemáticas nos hemos encontrado con la clasificación: CUADRO SINÓPTICO
Como puede apreciarse los distintos tipos de ordenaciones que podemos aplicar a un conjunto son las mismas tanto en la combinatoria ordinaria como con repetición; la diferencia esencial de un tipo u otro consiste en que en la primera, los elementos que forman la ordenación son distintos entre ellos y en la segunda los elementos pueden repetirse. La estrategia a seguir consistirá en ir desgranando cada tipo de ordenación considerando uno u otro caso; esto es: que sus elementos sean distintos o se repitan. En un caso tendremos la Combinatoria ordinaria y en el otro caso la Combinatoria con repetición. Los tres tipos de ordenaciones que vamos a estudiar son: * Variaciones * Permutaciones como un caso particular de las variaciones. (enlace) * Combinaciones. (enlace)
De todas ellas intentaremos conocer: - Concepto - Ordenación - Recuento - Fórmulas usuales - Campo de aplicación - Ejemplos y aplicaciones
Seguimos con el esquema adoptado en el estudio de la matemática elemental. Para penetrar en el concepto “Variaciones” y seguir después en su desarrollo conceptual, propiedades y aplicaciones, nos introduciremos en el tema a partir de lo que dicen los diccionarios: DRAE, CIRLEC, DIMAT y un libro de matemáticas. (Recordemos: DRAE es el diccionario de la Real Academia; CIRLEC es una enciclopedia y DIMAT un diccionario de Matemáticas). Analizaremos sus contenidos, lo semejante, lo distinto, lo olvidado y sus imprecisiones. Adquirido el concepto de variación lo que viene después es consecuencia de ello y por tanto generable por cualquier lector perspicaz.
No aparece tal concepto en el DRAE. Probemos con la enciclopedia CIRLEC: Variacion: MAT. Dados m elementos, cada uno de los distintos grupos de n elementos que pueden formarse de todas las maneras posibles con los m elementos dados, de forma que dos grupos cualesquiera difieran en algún elemento o, si constan de los mismos, en el orden de colocación. Si los n elementos son distintos entre sí (n < m, puesto que cuando n = m, se trata de permutaciones), el número de _ es Vm,n = m(m-1)(m-2).....(m-n+1): si entre los n elementos hay algunos que se repiten (en cuyo caso n puede ser mayor que m), el número de _ es Vrm,n = mn.
¿Qué dice sobre el asunto el diccionario especializado DICMAT? Variación ordinaria: de n objetos de k en k ( k £ n) son las aplicaciones inyectivas del conjunto de los números naturales, del 1 al k, en el conjunto de los n elementos. Variación de repetición: de n objetos tomados de k en k son las aplicaciones del conjunto de los números naturales, del 1 al k, en el conjunto de los n elementos.
¿Qué dice un libro de matemáticas al respecto? Variaciones, definición: Dados m elementos, a1, a 2, a3,...... am, llamaremos variación n-aria o de orden n de estos m elementos, a todo conjunto ordenado formado por n elementos elegidos entre aquellos, conviniendo en considerar distintas las variaciones si difieren en algún elemento, o si teniendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación. El número de variaciones n-arias formadas con m elementos se suele designar de los modos siguientes: Vm,n ó Vnm Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE? : Nada se puede decir al respecto, por cuanto no aparece en el texto.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice CIRLEC?: - Disponer de m elementos. (Nada se dice acerca de su naturaleza) - Formar grupos distintos de n elementos de todas las maneras posibles con los m elementos dados. - n, el número de elementos de cada variación £ m, número de elementos dados. - Dos grupos cualesquiera diferirán uno de otro, bien en algún elemento o, si constan de los mismos, en el orden de colocación.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DIMAT? : NOTA: Para seguir una notación común utilizaré los mismos símbolos del CIRLEC. - Clasificación en Variación ordinaria y Variación de repetición. - Las variaciones se toman con m objetos tomados de n en n (n£ m). - Las variaciones ordinarias son las aplicaciones inyectivas del conjunto de los números naturales, desde 1 al n, en el conjunto de los m elementos. - Las variaciones de repetición son las aplicaciones del conjunto de los números naturales, desde 1 al n, en el conjunto de los m elementos.
Nos encontramos con dos conceptos nuevos: - Aplicaciones inyectivas. - Aplicaciones. Utilizar en el estudio de la combinatoria estos conceptos exigiría una “artillería” que no disponemos, por ello obviaremos estas definiciones, si bien cuando nos introduzcamos en el álgebra de conjuntos volveremos a ellas.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el libro de matemáticas? - Se parte de m elementos. - Llama variación de orden n de estos m elementos, a todo conjunto ordenado formado por n elementos elegidos entre los m dados. - Se conviene en considerar distintas las variaciones si difieren en algún elemento, o si teniendo los mismos elementos difieren en el orden de colocación.
Concepto de variación Examinadas detenidamente las dos definiciones anteriores se observa que son equivalentes y que en esencia se dejó entreverar en la introducción y podemos definirla así: - Se parte de un conjunto de m elementos prescindiendo de su naturaleza. - Los elementos de tal conjunto lo podemos ordenar de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres,......, de n en n - Se pueden tomar todos los elementos del conjunto a la vez, en ese caso n = m - Se adopta el convenio de que una ordenación se distingue de otra en algún elemento o teniendo los mismos elementos en su orden de colocación.
Tales ordenaciones reciben el nombre de variaciones que serán: Variaciones ordinarias si los elementos de toda ordenación son distintos Variaciones con repetición si los elementos de toda ordenación pueden repetirse o no.
Como caso particular de las Variaciones, si el número de elementos de cada ordenación es igual al del conjunto; esto es, una ordenación de otra difiere en el orden de colocación de sus elementos, tales ordenaciones reciben el nombre de Permutaciones
¿Cómo se simbolizan las variaciones? Los símbolos Vm,n ó Vnm, expresan las variaciones ordinarias de un conjunto con m elementos tomadas de n en n. En este caso n£ m Los símbolos VRm,n ó VRnm, expresan las variaciones con repetición de un conjunto con m elementos tomados de n en n. En este caso n puede ser, >, < ó = que m OBSERVACIÖN: Cuando escribimos: Vm,n ó VRm,n expresamos indistintamente las variaciones como su número.
¿Cómo se ordenan y cómo se cuentan las variaciones ordinarias? Los criterios señalados En la introducción a la combinatoria para ordenar los elementos de un conjunto son de aplicación a las variaciones. Así para formar la variaciones unitarias, se escriben uno a continuación de otro, los elementos del conjunto. Para formar las variaciones binarias, se escriben en columna las variaciones unitarias y se le van añadiendo a la derecha los demás elementos del conjunto que no están colocados en la variación unitaria. Para formar las variaciones ternarias, se escriben en columna las variaciones binarias y se le van añadiendo a la derecha los demás elementos del conjunto que no están colocados en la variación binaria. Así, para formar las variaciones de orden n se escriben, una a continuación de otra las variaciones de orden (n-1) y se la añaden a la derecha de cada una de tales variaciones los elementos que faltan por colocar formándose así una matriz con un número de filas igual a las variaciones de orden (n - 1) y un número de columnas igual a los elementos no colocados; así:
En cada variación de las Vm,(n-1) supuestamente ordenadas, hay colocados (n - 1) elementos de entre los m dados; por tanto nos quedan por colocar:
m - (n - 1) elementos que es igual a (m - n + 1)
La matriz resultante tiene Vm,(n-1) filas y (m - n + 1) columnas; por tanto el número de variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n será:
Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1)
Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema.
Ejemplo 1º: ¿Cuántos números distintos podré formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 sin repetir ningún dígito?
Seguiré el proceso diseñado:
(1) Cuando se toman los elementos de uno en uno, las variaciones se obtienen transcribiendo los elementos del conjunto. El recuento en este caso es inmediato: el Nº de elementos del conjunto: 4.
(2) Cuando se toman los elementos de dos en dos o binarias, las variaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones tomadas de uno en uno o unitarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las variaciones de uno en uno los elementos que le faltan; así:
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto menos el que está colocado de la ordenación anterior. En nuestro caso 4 - 1 = 3 El número total de variaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso: Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de una en una = 4 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto que hemos añadido al que estaba colocado en la anterior ordenación = 4 - 1 = 3 Número de ordenaciones = Número de filas x Número de columnas = 4 x 3 = 12
(3) Cuando se toman los elementos de tres en tres o ternarias, las variaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones tomadas de dos en dos o binarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las ordenaciones de dos en dos los elementos que le faltan; así:
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto menos los que están colocados de la ordenación anterior. En nuestro caso 4 - 2 = 2 El número total de variaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso: Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de dos en dos = 12 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto que hemos añadido al que estaba colocado en la anterior ordenación = 4 - 2 = 2 Número de variaciones = Número de filas x Número de columnas = 12 x 2 = 24
(4) Cuando se toman los elementos de cuatro en cuatro o cuaternarias, las variaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones tomadas de tres en tres o ternarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las variaciones ternarias de tres en tres los elementos que le faltan; así:
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto menos los que están colocados de la ordenación anterior. En nuestro caso 4 - 3 = 1 El número total de variaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso:
Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de tres en tres = 24 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto que hemos añadido al que estaba colocado en la anterior ordenación = 4 - 3 = 1 Número de variaciones = Número de filas x Número de columnas = 24 x 1 = 24
Fórmulas derivadas de los desarrollos anteriores: Se ha dicho: En cada variación de las Vm,(n-1) supuestamente ordenadas, hay colocados (n - 1) elementos de entre los m dados; por tanto nos quedan por colocar: m - (n - 1) elementos que es igual a (m - n + 1)
La matriz resultante tiene Vm,(n-1) filas y (m - n + 1) columnas; por tanto el número de variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n será: Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1) Si vamos dando a n, valores desde 1 hasta n resultarán las siguientes igualdades: Vm,1 = (m - 1 + 1) Vm,(1-1) = m Vm,0 = m (1) (enlace) Vm,2 = (m - 2 + 1) Vm,(2-1) = (m - 1) Vm,1 Vm,3 = (m - 3 + 1) Vm,(3-1) = (m - 2) Vm,2 Vm,4 = (m - 4 + 1) Vm,(4-1) = (m - 3) Vm,2 . . . Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1) = (m - n + 1) Vm,(n-1)
Si se multiplican miembro a miembro estas igualdades, resultará: Vm,1Vm,2Vm,3Vm,4......Vm,n = = m(m - 1)Vm,1(m - 2)Vm,2(m - 3) Vm,3(m - n + 1) Vm,(n-1) Simplificando los elementos comunes en el primer y segundo miembro resulta: {n factores} Vm,n = m(m - 1)(m - 2)(m - 3).......(m - n + 1)
El número de variaciones de orden n de un conjunto de m elementos se obtiene por el producto de n factores decrecientes, números naturales, empezando por m.
Ejemplos: Calcular: a) V7,5 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520 La estrategia seguida es: escribir 5 factores naturales (el orden) decrecientes empezando por 7 (Número de elementos del conjunto). Luego se calcula su producto.
b) V11,3 = 11 x 10 x 9 = 990 La estrategia seguida es: escribir 3 factores naturales (el orden) decrecientes empezando por 11 (Número de elementos del conjunto). Luego se calcula su producto.
En (1) se ha afirmado que: m Vm,0 = m Para que ello sea así, ha debido de convenirse que Vm,0 = 1 Es evidente que no existe ninguna variación de orden cero; esa única posibilidad es la que autoriza el convenio anterior.
Otras fórmulas del cálculo de las variaciones: Se ha dicho (enlace) que el número de variaciones que se pueden formar con un conjunto de m elementos tomados n a n, sin que ningún elemento del conjunto se repita en la ordenación se calcula con las fórmulas siguientes:
Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1) = (m - n + 1) Vm,(n-1)
Que relaciona el número de variaciones de un cierto orden con el número de variaciones del orden anterior.
{n factores} Vm,n = m(m - 1)(m - 2)(m - 3).......(m - n + 1) (*)
Si se multiplican los dos miembros de la igualdad anterior por el producto de los números naturales consecutivos desde 1 hasta (m - n) obtendríamos:
Vm,n (m - n)(m –n - 1) (m –n - 2)......5.4.3.2.1 = m(m - 1)(m - 2)(m - 3).......... (m - n + 1) (m - n)(m –n - 1) (m –n - 2)......5.4.3.2.1 (**)
Observación: El segundo miembro de (**) lo constituye el producto de m factores naturales desde 1 hasta m. Ese producto recibe el nombre de factorial de m y se simboliza así: Factorial de m = m!
De la misma manera los factores del primer miembro de (**) lo constituye el producto de (m – n) factores naturales desde 1 hasta m. De acuerdo con lo anterior ese producto recibe el nombre de factorial de (m - n) y se simboliza así:
Factorial de (m – n) = (m – n)!
De acuerdo con esto la (**) la podemos escribir así: Vm,n (m – n)! = m! Despejando resultaría: m! Vm,n = ------------ (m – n)!
Tenemos por tanto tres fórmulas para el cálculo del número de variaciones ordinarias:
Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1) = (m - n + 1) Vm,(n-1) La más recurrente (1) {n factores} Vm,n = m(m - 1)(m - 2)(m - 3).......(m - n + 1) La más útil y eficaz (2)
m! Vm,n = ------------ La más nemotécnica y útil para el cálculo simbólico (3) (m – n)! El cálculo de las variaciones ordinarias se hace mediante una fracción en cuyo numerador se escribe el factorial del número de elementos del conjunto y en el denominador el factorial de la diferencia entre el número de elementos del conjunto y el orden de la variación. Se han expuesto dos ejemplos de cálculo por aplicación de la fórmula (2). Calculémoslo ahora por aplicación de la fórmula (3) Calcular: 7! 7! 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 5040 a') V7,5 = ------- = ---- = ---------------------------- = ------ = 2520 (7 - 5)! 2! 2 x 1 2
11! 11! 11 x 10 x 9 x 8! b') V11,3 = -------- = ---- = ------------------- = 11 x 10 x 9 = 990 (11 - 3)! 8! 8! Comparando los desarrollos de los ejemplos a') y b') con los a) y b) se ve que los cálculos de a') y b') son más largos y farragosos que los a) y b). En el b') hemos seguido la estrategia de expresar el 11! en función de 8! y simplificando la fracción, nos lleva a la solución obtenida con la fórmula (2)
Variaciones con repetición: Recordemos las definiciones y simbolización de las variaciones con repetición: Variaciones con repetición si alguno de los elementos de toda ordenación pueden repetirse o no. ¿Cómo se simbolizan las Variaciones con repetición? Los símbolos VRm,n ó VRnm, expresan las variaciones con repetición de un conjunto con m elementos tomados de n en n. En este caso n puede ser, >, < ó = que m OBSERVACIÖN: Repito de nuevo Cuando escribimos: Vm,n ó VRm,n expresamos indistintamente tanto las variaciones como su número. ¿Cómo se ordenan y cómo se cuentan las variaciones ordinarias? Los criterios señalados para la ordenación y recuento de las variaciones ordinarias es válido para la variaciones con repetición. Así para formar la variaciones unitarias con repetición, se escriben uno a continuación de otro, los elementos del conjunto. Para formar las variaciones binarias con repetición, se escriben en columna las variaciones unitarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha todos y cada uno de los elementos del conjunto. Para formar las variaciones ternarias con repetición, se escriben en columna las variaciones binarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha todos y cada uno de los elementos del conjunto. Así, para formar las variaciones de orden n con repeticiónse escriben, una a continuación de otra las variaciones con repetición de orden (n-1) y y se le van añadiendo a la derecha todos y cada uno de los elementos del conjunto formándose así una matriz con un número de filas igual a las variaciones de orden (n - 1) y un número de columnas igual a los m elementos del conjunto; así: La matriz resultante tiene VRm,(n-1) filas y m columnas; por tanto el número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n será: VRm,n = mVRm,(n-1)
Si en la fórmula anterior vamos dándole valores a n desde 1 hasta n, resultará: VRm,1 = mVRm,(1-1) = mVRm,0 = m Para que eso sea posible se ha de cumplir que VRm,0 = 1 Ver Notas Para n= 2 resultará: VRm,2 = mVRm,1 Sustituyendo VRm,1 por su valor m, resultará VRm,2 = mVRm,1 = m x m = m2 Para n= 3 resultará: VRm,3 = mVRm,2 Sustituyendo VRm,1 por su valor m2, resultará VRm,3 = mVRm,2 = m x m2 = m3 Obsérvese que el valor de las variaciones con repetición resulta una potencia cuya base es m y cuyo exponente es n. Así pues las VRm,n = mVRm,(n-1) = mn
Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema.
Ejemplo 1º: ¿Cuántos números de tres cifras podré formar con los dígitos 1, 2, 3?
Seguiré el proceso diseñado:
(*) Cuando se toman los elementos de uno en uno, las variaciones se obtienen transcribiendo los elementos del conjunto. El recuento en este caso es inmediato: el Nº de elementos del conjunto: 3.
(**) Cuando se toman los elementos de dos en dos o binarias, las variaciones con repetición se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones con repetición tomadas de uno en uno o unitarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las variaciones con repetición de uno en uno todos y cada uno de los elementos del conjunto
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto . En nuestro caso = 3 El número total de variaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso: Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de una en una = 3 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto = 3 Número de ordenaciones = Número de filas x Número de columnas = 3 x 3 = 9
(***) Cuando se toman los elementos de tres en tres o ternarias, las variaciones con repetición se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones con repetición tomadas de dos en dos o binarias y el Nº de columnas es igual a los elementos del conjunto; así:
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto En nuestro caso = 3 El número total de variaciones con repetición sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso: Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de dos en dos = 9 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto que hemos añadido al que estaba colocado en la anterior ordenación = 4 - 2 = 2 Número de variaciones = Número de filas x Número de columnas = 12 x 2 = 24
(****) Cuando se toman los elementos de cuatro en cuatro o cuaternarias, las variaciones se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones tomadas de tres en tres o ternarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las variaciones ternarias de tres en tres los elementos que le faltan; así:
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto menos los que están colocados de la ordenación anterior. En nuestro caso 4 - 3 = 1 El número total de variaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso:
Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de tres en tres = 24 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto que hemos añadido al que estaba colocado en la anterior ordenación = 4 - 3 = 1 Número de variaciones = Número de filas x Número de columnas = 24 x 1 = 24
Fórmulas derivadas de los desarrollos anteriores: Se ha dicho: En cada variación de las Vm,(n-1) supuestamente ordenadas, hay colocados (n - 1) elementos de entre los m dados; por tanto nos quedan por colocar: m - (n - 1) elementos que es igual a (m - n + 1)
La matriz resultante tiene Vm,(n-1) filas y (m - n + 1) columnas; por tanto el número de variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n será: Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1) Si vamos dando a n, valores desde 1 hasta n resultarán las siguientes igualdades: Vm,1 = (m - 1 + 1) Vm,(1-1) = m Vm,0 = m (1) (enlace) Vm,2 = (m - 2 + 1) Vm,(2-1) = (m - 1) Vm,1 Vm,3 = (m - 3 + 1) Vm,(3-1) = (m - 2) Vm,2 Vm,4 = (m - 4 + 1) Vm,(4-1) = (m - 3) Vm,2 . . . Vm,n = (m - n + 1) Vm,(n-1) = (m - n + 1) Vm,(n-1)
Si se multiplican miembro a miembro estas igualdades, resultará: Vm,1Vm,2Vm,3Vm,4......Vm,n = = m(m - 1)Vm,1(m - 2)Vm,2(m - 3) Vm,3(m - n + 1) Vm,(n-1) Simplificando los elementos comunes en el primer y segundo miembro resulta: {n factores} Vm,n = m(m - 1)(m - 2)(m - 3).......(m - n + 1)
El número de variaciones de orden n de un conjunto de m elementos se obtiene por el producto de n factores decrecientes, números naturales, empezando por m.
Ejemplos: Calcular: a) V7,5 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 = 2520 La estrategia seguida es: escribir 5 factores naturales (el orden) decrecientes empezando por 7 (Número de elementos del conjunto). Luego se calcula su producto.
b) V11,3 = 11 x 10 x 9 = 990 La estrategia seguida es: escribir 3 factores naturales (el orden) decrecientes empezando por 11 (Número de elementos del conjunto). Luego se calcula su producto.
NOTAS: En (1) se ha afirmado que: m Vm,0 = m Para que ello sea así, ha debido de convenirse que Vm,0 = 1 Es evidente que no existe ninguna variación de orden cero; esa única posibilidad es la que autoriza el convenio anterior.
¿Qué dice el DRAE acerca del factorial? Factorial (de factor) f. Mat. Producto de todos los términos de una progresión aritmética.
¿Y el CIRLEC? Factorial. Mat. Se llama _ de un número n al producto de los n primeros números naturales; se representa por n! Así el _ de 6 será 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720. Quizá le falta decir, aunque parece implícito, que n ha de ser un número natural
¿Y el DICMAT? Paradójicamente ¡No dice nada al respecto!
¿Qué dice el libro de Matemáticas? Factorial de un número natural n es el producto que resulta de multiplicar todos los números naturales desde el n hasta el 1, ambos incluidos. Las definiciones del libro de Matemáticas y del CIRLEC, son coincidentes con la expresada en la OBSERVACIÓN (enlace). La que no se sostiene es la del DRAE que es rigurosamente falsa ya que, los números naturales constituyen uno, y sólo uno de los múltiples ejemplos que pueden proponerse de progresión aritmética. La lectura de la definición de factorial del DRAE me hace recordar la que, de Asnografía, propuso Juan Ramón Jiménez en su “Platero y Yo” en sustitución de la que aparecía en el Diccionario. (Escribo de memoria). Asnografía: Debe decirse, claro está, por descripción del hombre necio que escribe diccionarios. Definición de factorial de un número natural m: Factorial de un número natural lo constituye el producto de m factores naturales desde 1 hasta m o de m hasta 1 y se simboliza así: m! Expresión del factorial de un número en función del factorial de otro número mayor o menor: Generalizando el caso particular del ejemplo b') podemos escribir: m! = m(m - 1)(m - 2)! Expresión del factorial de un número en función del factorial de otro menor. (m + 3)! m! = --------------------------- (m + 3)(m + 2)(m + 1) Expresión del factorial de un número en función del factorial de otro mayor.
Recordemos las definiciones y simbolización de las variaciones con repetición: Variaciones con repetición si alguno de los elementos de toda ordenación pueden repetirse o no. ¿Cómo se simbolizan las Variaciones con repetición? Los símbolos VRm,n ó VRnm, expresan las variaciones con repetición de un conjunto con m elementos tomados de n en n. En este caso n puede ser, >, < ó = que m OBSERVACIÖN: Repito de nuevo Cuando escribimos: Vm,n ó VRm,n expresamos indistintamente tanto las variaciones como su número. ¿Cómo se ordenan y cómo se cuentan las variaciones con repetición? Los criterios señalados para la ordenación y recuento de las variaciones ordinarias es válido para la variaciones con repetición. Así para formar la variaciones unitarias con repetición, se escriben uno a continuación de otro, los elementos del conjunto. Para formar las variaciones binarias con repetición, se escriben en columna las variaciones unitarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha todos y cada uno de los elementos del conjunto. Para formar las variaciones ternarias con repetición, se escriben en columna las variaciones binarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha todos y cada uno de los elementos del conjunto. Así, para formar las variaciones de orden n con repetición se escriben, una a continuación de otra las variaciones con repetición de orden (n-1) y y se le van añadiendo a la derecha todos y cada uno de los elementos del conjunto formándose así una matriz con un número de filas igual a las variaciones de orden (n - 1) y un número de columnas igual a los m elementos del conjunto; así: La matriz resultante tiene VRm,(n-1) filas y m columnas; por tanto el número de variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n será: VRm,n = mVRm,(n-1)
Si en la fórmula anterior vamos dándole valores a n desde 1 hasta n, resultará: VRm,1 = mVRm,(1-1) = mVRm,0 = m Para que eso sea posible se ha de cumplir que VRm,0 = 1 Ver Notas Para n= 2 resultará: VRm,2 = mVRm,1 Sustituyendo VRm,1 por su valor m, resultará VRm,2 = mVRm,1 = m x m = m2 Para n= 3 resultará: VRm,3 = mVRm,2 Sustituyendo VRm,1 por su valor m2, resultará VRm,3 = mVRm,2 = m x m2 = m3 Obsérvese que el valor de las variaciones con repetición resulta una potencia cuya base es m y cuyo exponente es n. Así pues las VRm,n = mVRm,(n-1) = mn
Un ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema.
Ejemplo 2º: ¿Cuántos números de tres cifras podré formar con los dígitos 1, 2, 3?
Seguiré el proceso diseñado:
(*) Cuando se toman los elementos de uno en uno, las variaciones se obtienen transcribiendo los elementos del conjunto. El recuento en este caso es inmediato: el Nº de elementos del conjunto: 3.
(**) Cuando se toman los elementos de dos en dos o binarias, las variaciones con repetición se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones con repetición tomadas de uno en uno o unitarias y el Nº de columnas se obtienen añadiéndole a cada una de las variaciones con repetición de uno en uno todos y cada uno de los elementos del conjunto
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto . En nuestro caso = 3 El número total de variaciones sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso: Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de una en una = 3 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto = 3 Número de ordenaciones = Número de filas x Número de columnas = 3 x 3 = 9
(***) Cuando se toman los elementos de tres en tres o ternarias, las variaciones con repetición se obtienen de la siguiente manera: Se forma una matriz cuyo número de filas es igual al Nº de variaciones con repetición tomadas de dos en dos o binarias y el Nº de columnas es igual a los elementos del conjunto; así:
OBSERVACION: El número de columnas es igual al número de elementos del conjunto En nuestro caso = 3 El número total de variaciones con repetición sería igual al número de filas por el número de columnas. En este caso: Nº de filas = Nº de variaciones de orden anterior; esto es de dos en dos = 9 Nº de columnas = Nº de elementos del conjunto = 3 Número de variaciones = Número de filas x Número de columnas = 9 x 3 = 27
1º Simplificar y calcular las siguientes expresiones con factoriales:
La estrategia que se sigue es expresar el factorial de un nº en función del factorial de otro y calcular después de la simplificación.
6! 6x5x4! a) ---- = -------- simplificando queda 6 x 5 = 30 4! 4!
5! 5! 1 1 b) --- = -------- simplificando queda ------ = ----- 7! 7x6x5! 7x6 42
15! 4! 15x14x13x12x11x10! 4! c) -------- = ----------------------------- simplificando factoriales 7! 10! 7x6x5x4! 10!
queda
15x14x13x12x11 ------------------- Simplificando factores comunes queda 7x6x5
13 x 12 x 11 = 1716
2º Calcular las variaciones de segundo orden de un conjunto de cuatro elementos. Escribirlas.
La fórmula de aplicación sería:
n factores decrecientes Vm,n = m(m-1)(m-2).....(m-n+1)
En el ejemplo m = 4 y n = 2 por tanto dos factores decrecientes empezando por 4 luego: V4,2 = 4 x 3 = 12 Formación: Supongamos que los cuatro elementos sean a, b, c, d Se escriben en vertical las variaciones de orden n-1 en este caso como n es 2 habrá que escribir las variaciones unitarias de cuatro elementos y escribir a su derecha todos los elementos que no estén colocados, esto es 4-1 = 3 resultando una matriz de cuatro filas, V,1 y 3 columnas, así: ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc Que son 12, como puede comprobarse
3º Con los seis primeros dígitos calcular los números de 3 cifras distintas que pueden formarse.
Resolución:
El número de elementos es 6, luego m = 6 El número de elementos en cada ordenación es 3, luego n = 3
Las cifras son distintas y dos números son distintos si se cambia alguna cifra o el orden de su colocación, por lo que se trata de variaciones ordinarias de un conjunto de 6 elementos tomados de 3 en 3.
Su cálculo se hará con la fórmula del ejercicio anterior:
n factores decrecientes Vm,n = m(m-1)(m-2).....(m-n+1)
En el ejemplo m = 6 y n = 3 por tanto tres factores decrecientes empezando por 6 luego: V6,3 = 6x5x4 = 120
4º El mismo problema si los dígitos pueden repetirse
El número de elementos es 6, luego m = 6 El número de elementos en cada ordenación es 3, luego n = 3
Las cifras pueden repetirse y dos números son distintos si se cambia alguna cifra o el orden de su colocación, por lo que se trata de variaciones con repetición de un conjunto de 6 elementos tomados de 3 en 3.
Su cálculo se hará con la fórmula:
VRm,n = mn
VR6,3 = 63 = 216
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