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 Geometría Analítica

Geometría del punto y de la recta

Geometría del punto:

Del tema sistema de coordenadas tomo los conceptos iniciales:

Supongamos una recta  horizontal

y sobre ella tomamos un punto de referencia u origen O que divide a la recta en dos semirrectas. 

Adoptamos el convenio de que toda longitud tomada hacia la derecha de O, esto es, en el sentido del semieje OX, es positiva y hacia la izquierda de O, esto es, en el sentido del semieje OX', es  negativa y recíprocamente:

Una longitud positiva se mide hacia la derecha de O, esto es, en el sentido del semieje OX; una negativa a la izquierda de O; esto es, en el sentido del semieje OX'.

La posición de un punto P respecto de O, en esta recta, se le llama abscisa de P y expresa la distancia entre O y P y se designa con la letra x.

Así: x = OP = Abscisa de P

Supongamos una recta  vertical

Adoptamos el convenio de que toda longitud tomada hacia arriba, esto es, en el sentido del semieje OY  es positiva y hacia abajo, esto es, en el sentido del semieje OY' negativa y recíprocamente: Una longitud positiva se mide hacia arriba de O y una negativa hacia abajo de O. La posición de un punto P respecto de O, en esta recta, se le llama ordenada de P y expresa la distancia entre O y P y se designa con la letra y.

Así: y = OP = Ordenada de P

Lo dicho para las rectas anteriores es válido para cualquier recta.

Tomemos  dos rectas X’X  e Y’Y que se cortan perpendicularmente en O; estas dos rectas determinan un plano. Un punto P de ese plano puede “localizarse” tomando como referencia las rectas X’X  e Y’Y. El sistema así definido recibe el nombre de sistema cartesiano en el plano, o plano cartesiano.

El punto P en el plano cartesiano XOY viene definido por sus coordenadas x e y; se simboliza así : P(x y)

Conocidas las coordenadas de un punto se puede trazar el punto. Así: Se traza una paralela al eje OY cuya distancia sea la abscisa x. Del mismo modo se traza una paralela al eje OX cuya distancia sea la ordenada y. El punto quedará situado donde se corten ambas paralelas.

Recíprocamente: dado el punto en un plano cartesiano, se determinan sus  coordenadas midiendo las distancias x a la recta OY, abscisa y al eje OX, ordenada.

Todo ello se resume así:

1.- Coordenadas cartesianas .

Un punto P del plano está definido por sus distancias a dos ejes, X’X e Y’Y, perpendiculares, que constituyen un sistema de referencia cartesiano. 

x e y son las coordenadas cartesianas del punto P. (Ver figura)

  Cuadro nº 1: Coordenadas cartesianas 
 

NOTA 1: Recuérdese que la distancia de un punto a una recta se mide desde el punto al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta.

NOTA 2: Conviene recordar que las coordenadas cartesianas tomadas hacia la derecha y hacia arriba son positivas y hacia la izquierda y hacia abajo son negativas.
 

Los dos ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes que se signan con los siguientes ordinales 1º; 2º; 3º; 4º.
Se adopta el siguiente convenio:

Las coordenadas cartesianas tomadas hacia la derecha y hacia arriba son positivas y hacia la izquierda y hacia abajo son negativas.
 

Con tales convenios se puede confeccionar el cuadro siguiente de  signos de las coordenadas.
 

Cuadro nº 3: Signos de las coordenadas
 
 

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