MATEMATICA ELEMENTAL

Elipse. Geom. Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos llamados focos es constante. Resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las generatrices del mismo lado del vértice.

¿Qué conceptos se barajan en esta definición?

Su lectura nos conduce a dos definiciones de génesis distinta

Primera definición como lugar geométrico:

- La elipse es un lugar geométrico.

- La existencia de dos puntos fijos en el plano de la elipse.

- Una longitud constante que es suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los puntos fijos.

Segunda definición como intersección:

- Sección de un cono circular por un plano.

- El plano corta a todas las generatrices del cono situadas al mismo lado del vértice.

¿Y el DICMAT?

Elipse: Figura plana que resulta de un corte a un cono que no es ni perpendicular ni paralelo al eje. (En el propio diccionario tengo escrita una anotación al margen ni a la generatriz)

¿Qué conceptos se barajan en esta definición?

- Es una figura plana.

- Se obtiene por el corte de un cono (No dice con que se corta).

- Lo que corta tiene una disposición especial respecto a todas las generatrices del cono situadas al mismo lado del vértice.

¿Y el CIRLEC?

Elipse. Geom. Curva plana de 2º grado (cónica) lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias a dos puntos fijos, denominados focos, dan una suma constante.

¿Qué conceptos se barajan en esta definición del CIRLEC?

- La elipse es una curva plana; aclara que es de 2º grado que recibe el nombre de cónica

- La elipse es un lugar geométrico.

- La existencia de dos puntos fijos que se llaman focos.

- La suma de distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es una longitud constante.

Síntesis de lo anterior

De acuerdo con lo escrito anteriormente se puede decir que la elipse es una curva plana cerrada con una propiedad que sirve para definirla: La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a dos puntos fijos del plano llamados focos, es una cantidad constante.

La definición y consideraciones sobre el lugar geométrico así como la generación de la elipse y las otras cónicas como intercesión de un plano con una superficie cónica se encuentra en Las conicas. Si el lector no quiere usar el enlace recordamos la definición

Lugar geométrico: Conjunto de puntos que tienen una propiedad común.

Estudiaremos la elipse aquí como lugar geométrico.

OBSERVACIÓN;

Hasta ahora nos hemos limitado a la definición de la elipse. La Geometría Analítica ha de expresar en forma de ecuación las propiedades que hemos definido para lo cual partimos de esas propiedades y las expresamos con ecuaciones.

Antes de entrar en ello, merece la pena hacer un análisis somero de la segunda parte de la definición del DRAE y la de DICMAT.

Vayamos con el DRAE que dice: (La elipse) Resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las generatrices del mismo lado del vértice.(El subrayado es mío para resaltar la idea).

El DRAE, una vez más, es impreciso. Dice "un cono circular" cuando debía decir "una superficie cónica circular". Un cono es un cuerpo y la sección con un plano es un recinto no una línea que es la elipse. No diferenciar un cono de una superficie cónica no dice nada bueno de la Real Academia de la Lengua.

Consideremos ahora la definición del DICMAT. (No olvidemos que se trata de un Diccionario de Matemáticas). Dice así: Elipse: Figura plana que resulta de un corte a un cono que no es ni perpendicular ni paralelo al eje. (El subrayado es mío para resaltar la idea).

El DICMAT incurre en el mismo error del DRAE al confundir cono con superficie cónica por lo que le es de aplicación lo dicho para el DRAE. Pero me ha parecido más grave lo subrayado.

Primero: No dice con que se corta el cono. Es evidente que debe ser cortado por un plano, al tratarse de una figura plana, que según su definición no debe ser ni perpendicular ni paralelo al eje.

Segundo: En el propio DICMAT tengo escrita la siguiente nota al margen (ni a la generatriz). Es decir, la definición debería haber quedado así: Elipse: Figura plana que resulta de un corte a una superficie cónica por un plano que no es perpendicular ni paralelo al eje ni paralelo a la generatriz.

En Las conicas, se incluye un gráfico que lo especifica.

Sensu stricto, no habría que admitir la condición de que el plano no fuera perpendicular al eje. En ese caso, según vimos se obtiene una cónica particular que es la circunferencia que no es más que un caso particular de la elipse como veremos después.

Ecuación de la elipse

Para obtener la ecuación de la elipse hemos de expresar las propiedades de sus puntos por medio de símbolos matemáticos.

Partimos de un sistema de ejes cartesiano en el plano que, como sabemos, está compuesto por dos rectas perpendiculares entre sí. En el eje horizontal, eje de abscisas, situamos los focos de coordenadas C'(-c 0) y C'(c 0), por lo tanto simétricos respecto del origen de coordenadas O(0 0).

Sea un punto P(x y) del plano que suponemos pertenece a la elipse. Por la propia definición cumplirá:

PC' + PC = 2a (1)

siendo a un valor fijo y determinado. Ver figura

P(x y) expresa las coordenadas de un punto genérico de la elipse. Para que P pertenezca a ella la suma de sus distancias a C y C' tiene que ser constante e igual a 2a . Ver figura.

Para calcular las distancias entre dos puntos se usa la fórmula de este enlace

_________________

AB = √(x₂-x₁)²+ (y₂-y₁)²

__________ __________

Así: PC = √(x-c)²+ y² (2) : PC' = √(x+c)²+ y²(3)

Si en (1) PC' + PC = 2a sustituimos PC y PC' por sus valores (2) y (3) (tendremos:

__________ __________

√(x-c)²+ y² + √(x+c)²+ y²= 2a (4) que sería la ecuación de la elipse.

Sin embargo, la expresión (4) es compleja por lo que procede hacer algunas transformaciones que las simplifiquen.

NOTA: Sugiero al lector, como ejercicio algebraico, resolver la ecuación irracional (4) para lo cual debe actuar como sigue:

1.- Aislar en un miembro una de las raíces.

2.- Elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación.

3.- Desarrollar y reducir términos semejantes.

4.- Separar en un miembro la parte racional y en otro la irracional resultante del doble producto.

5.- Elevar de nuevo los dos miembros al cuadrado

6.- Reduzca términos semejantes y simplifique.

7.- Obtener la ecuación deseada.

Una vez hecho esto comprobar con el desarrollo que ofrezco a continuación y así confirmar o corregir lo obtenido en su desarrollo.:

1.- Aislar en un miembro una de las raíces.

___________ ___________

√ (x+c)²+ y²= 2a - √ (x-c)²+ y²

2.- Elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación.

_____________ ____________

[√ (x+c)²+ y²]² = [2a - √ (x-c)²+ y²]²

3.- Desarrollar y reducir términos semejantes.

___________

(x+c)²+ y²= 4a² - 4a√ (x-c)²+ y²+(x-c)²+ y²

___________

x²+c²+ 2cx+ y²= 4a² - 4a√ (x-c)²+ y²+x²+c²- 2cx+ y²

___________

2cx= 4a² - 4a√ (x-c)²+ y²- 2cx

4.- Separar en un miembro la parte racional y en otro la irracional resultante del doble producto.

___________

4a√ (x-c)²+ y²=4a² - 4cx sacando factor común

___________

4a√ (x-c)²+ y²=4(a² - cx) Simplificando

___________

a√ (x-c)²+ y²=(a² - cx)

5.- Elevar de nuevo los dos miembros al cuadrado

___________

[a√ (x-c)²+ y²]² = (a² - cx)²

6.- Desarrollar y reducir términos semejantes y simplificar

a² [(x-c)²+ y²]² = (a⁴ - 2a²cx + c²x²)

a² [x²- 2cx +c²+ y²] = (a⁴ - 2a²cx + c²x²)

a²x²- 2a²cx +a²c²+ a²y² = a⁴ - 2a²cx + c²x² Eliminando términos semejantes

a²x²+a²c²+ a²y² = a⁴ + c²x² trasponiendo términos

a²x²- c²x²+ a²y² = a⁴-a²c² sacando factor común

x²(a²- c²)+ a²y² = a²(a²-c²)

7.- Obtener la ecuación deseada.

En la ecuación anterior (a²-c²) = b² (Luego se demostrará) sustituyendo resultará

x²b²+ a²y² = a²b² dividiendo los dos miembros por a²b² resultará:

x²b² a²y² a²b²

----- + ----- = ------ Simplificando se obtiene la fórmula

a²b²a²b²a²b²

x² y²

---- + ----- = 1

a² b²

Que es la ecuación canónica de la elipse

Consideraciones

Dijimos más arriba que (a²-c²) = b²

Supongamos trazada la elipse de la figura

Los puntos C'(-c 0) y C'(c 0) son los focos. La distancia focal = 2c

c = a la semidistancia focal

El punto A' pertenece a la elipse y a su eje horizontal; por tanto se ha de cumplir:

A'C' + A'C = 2a y como por simetría A'C' = AC resultará que A'A = 2a longitud del eje horizontal. a = longitud del semieje horizontal.

El punto B pertenece a la elipse y a su eje vertical por tanto se ha de cumplir:

BC' + BC = 2a y como por simetría BC' = BC resultará que BC' = BC = a

El triángulo COB es rectángulo de hipotenusa a y cateto horizontal = c

Por lo que le es de aplicación el teorema de Pitágoras luego a²-c² = b²

b es la longitud del semieje vertical. El eje vertical tiene una longitud de 2b

La elipse tiene triple simetría:

Respecto del eje vertical Y'Y

Respecto del eje horizontal X'X

Respecto del origen de coordenadas O(0 0)

Trazado de la elipse

Por puntos:

a) De forma analítica:

La ecuación de la elipse constituye una función implícita que relaciona los valores de la variable x en un determinado intervalo con los valores de y en otro determinado intervalo. Esto quiere decir que para cada valor de xЄ[-a a] le corresponde un valor de yЄ[-b b]

Para representar la elipse por puntos se procede a dar valores a x en el intervalo xЄ[o a] y obteniendo en la ecuación el correspondiente de y.

Tomando la raíz positiva de y obtendremos las distintas coordenadas (x y) de los sucesivos puntos del primer cuadrante. Representado el primer cuadrante, por simetría, se pueden representar los demás obteniéndose el trazado completo. Cuantos más puntos se obtengan más se puede aproximar la elipse.

b) De forma gráfica:

Se trazan sendas circunferencias concéntricas de radios a y b los semiejes de la elipse cuyos centros coincidentes son el origen de coordenadas. Desde el centro se traza un rayo que corta a las circunferencias en sendos puntos. Por el punto de corte de la circunferencia menor se traza una recta horizontal y por el de la circunferencia mayor una recta vertical. el punto de intersección de ambas pertenecerá a la elipse que se quiere trazar. Por simetría pueden obtenerse los puntos simétricos en los otros cuadrantes.

Por el método del jardinero:

Se trata de un método clásico que consiste en disponer de una cuerda con una longitud determinada cuyos extremos se atan a dos clavos fijos. La distancia entre los clavos fijos será inferior a la longitud de la cuerda. Con un punzón agudo se tensa la cuerda y se desliza por ella manteniéndola siempre tensa. La línea resultante es la elipse que cumple la definición como lugar geométrico. Ver figura

También se puede hacer en el tablero de dibujo tomando un hilo resistente en vez de la cuerda y dos chinchetas en lugar de lis clavos y u lápiz o bolígrafo haciendo de puntero.

Posiciones de una recta y una elipse

De la misma manera que consideramos en la circunferencia, desde el punto de vista métrico una recta y una elipse, en el mismo plano, pueden adoptar estas posiciones: Ser exterior, tangente o secante.

En el primer caso, ser exterior, la elipse y la recta no tienen ningún punto común. En el segundo caso, ser tangente, la elipse y la recta tienen un punto común. En el tercer caso, ser secante, la elipse y la recta tienen dos puntos comunes. .

¿Cómo resolvemos el problema desde el punto de vista analítico?

Recordemos que en Geometría Analítica no hay figuras, solo ecuaciones. Así

Una elipse se expresa por su ecuación:

x² y²

---- + ----- = 1

a² b²

Una recta se expresa por su ecuación A'x + B'y + C' = 0

Resolviendo el sistema de segundo grado formado por ambas ecuaciones nos dará dos soluciones que, según sean, significarán su posición relativa: Así:

Si las raíces de la ecuación son reales y distintas la recta y la elipse se cortan

Si las raíces de la ecuación son reales e iguales la recta y la elipse son tangentes.

Si las raíces de la ecuación son imaginarias la recta y la elipse son exteriores.

Desde un punto de vista teórico quizá resultara interesante la solución del sistema propuesto que nos llevaría a expresiones largas y complejas. Como ya se hizo en la circunferencia, redundar parece innecesario.

Hipérbola

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