Geometría
Analítica
Ecuaciones de la recta
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Geometría Analítica
Geometría de la recta
Para estudiar analíticamente la recta no vamos a preguntarnos ¿Qué es una recta? Porque no hay respuesta. Hemos de contentarnos con la idea intuitiva de recta. Se hará las consideraciones oportunas en el tema correspondiente de Geometría Métrica. Sí nos vamos a preguntar:
¿Cómo queda determinada una recta?
Si nos situamos en un punto y nos orientamos en una dirección y miramos a un punto en esa dirección hemos definido una recta.
Cualquiera, si quiere, puede experimentarlo. Estamos sentados en nuestra habitación. Fijemos nuestra mirada en un punto, por ejemplo el vértice de un cuadro. Entre nuestro ojo y el vértice del cuadro hemos establecido una alineación rectilínea. Para determinar si un punto, representado en la punta de un bolígrafo, está alineado, basta aproximarlo hasta alcanzar nuestra línea visual.
De acuerdo con todo esto, una recta puede ser definida:
a) Por un punto y una dirección.
b) Por dos puntos.
a) Por un punto y una dirección.
El punto A por donde pasa la recta viene definido cartesianamente por A(x1, y1) y la dirección por el vector u.
M(x, y) es un punto genérico de la recta de coordenadas (x, y) que la engendra al moverse en la dirección marcada por u. (Ver figura)
x1, y1 son las coordenadas cartesianas del punto A
Para lo que sigue hemos de suponer en el lector algunas ideas de geometría vectorial, tema aún no tratado en esta página pero que en su día se incorporará.
Sea la recta r definida por el punto A(x1, y1) y el vector u. El vector OM = OA + AM. y AM = t u
Por tanto OM = OA + t u (1) ecuación vectorial de la recta en la que t es un parámetro que varía en el intervalo (-∞ ∞).
NOTA: La ortografía matemática exigiría signar con una ® en la parte superior de los símbolos OM y semejantes para designar que tal expresión tiene carácter vectorial. Por razones técnicas no lo puedo hacer. En lo sucesivo, aunque no aparezcan debe entenderse signado así.
El punto M, variable y generador de la recta, es determinado por su vector de posición OM. Para cada valor de t, le corresponderá un punto de la recta. El punto A, fijo viene determinado por su vector de posición OA y u un vector en la dirección de la recta.
Gráficamente se expresa así:
La expresión cartesiana de los vectores que intervienen sería:
OM = ix + jy OA = ix1 + jy1 si (a, b) son las componentes del vector u. su expresión cartesiana sería: u = ia + jb y AM = t u = t (ia + jb) por tanto, sustituyendo en (1) obtendríamos:
ix + jy = ix1 + jy1 + t (ia + jb) y sacando factor común tendríamos:
ix + jy = i(x1 + t a) j(y1 + t b) Como se trata de dos vectores idénticos sus componentes han de ser iguales de donde:
x = x1 + t a y = y1 + t b (2) ecuaciones paramétricas de la recta
x1, y1, a, b son valores dados; para cada valor de t se obtienen las correspondientes coordenadas del punto M.
Eliminado el parámetro t en ambas ecuaciones resultará:
En la 1ª, t = (x - x1)/a; en la 2ª t = (y - y1)/b luego igualando por la propiedad transitiva será:
(x - x1)/a = (y - y1)/b de donde y - y1 = b/a (x - x1) (3) si hacemos b/a = m
tangente trigonométrica del ángulo que forma el vector u con el eje OX y que se conoce con el nombre de pendiente de la recta, obtendríamos:
y - y1 = m (x - x1) (4)
que es la ecuación de la recta que pasa por el punto A(x1, y1) con pendiente m.
Ecuación cartesiana de la recta
Una recta corta al eje de ordenadas en un punto C(0 b)
Si en la expresión anterior sustituimos las coordenadas del punto A(x1 y1) por las del C(0 b) obtendríamos:
y - b = m(x - 0) que se transformaría en y = mx + b (4') m es la pendiente y b la ordenada en el origen se conoce también como ecuación cartesiana de la recta. Ver figura:
El triángulo ACM es rectángulo. La longitud del cateto horizontal es x (diferencia de abscisas) y la del cateto vertical (y - b), diferencias de ordenadas. El ángulo agudo que forma la recta con el eje OX lo he signado con la letra α. Por trigonometría. sabemos que
y - b
tg α =-------- despejando resultaría y - b = x tg α
x
La tangente trigonométrica del ángulo mide la pendiente de la recta que la hemos denominado m por tanto sustituyendo y despejando resultará:
y = mx + b
que es la (4') más arriba reseñada y que hemos denominado: Ecuación cartesiana de la recta.
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
b) Además de por un punto y una dirección, una recta viene determinada por dos puntos; dicho de otra manera: Por dos puntos distintos pasa una recta y solo una. (Axioma de la recta)
La cuestión consiste en determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos distintos de coordenadas conocidas A(x1 y1) B(x2 y2)
Varios caminos nos llevarían a encontrar la ecuación:
Éste es uno:
Un vector director de la recta sería u = AB de componentes [(x2 - x1) (y2 - y1)]
Luego a = (x2 - x1) b = (y2 - y1)
y2 - y1
Sustituyendo estos valores nos resultaría: y - y1 = -------- (x - x1)
x2 - x1
y - y1 x - x1
Trasponiendo términos nos resultaría esta expresión: --------- = --------- (5)
y2 - y1 x2 - x1
Este es otro:
Tomemos la ecuación de la recta que pasa por el punto A(x1 y1) y cuya ecuación es:
y - y1 = m (x - x1) Si pasa por el punto B((x2 y2) tiene que satisfacer esta ecuación. Esto es: si sustituimos (x y) por sus valores (x2 y2) tendremos:
y2 - y1
y2 - y1 = m (x2 - x1) despejando m tendríamos: m = -----------
x2 - x1
y2 - y1
Sustituyendo en tres estos valores nos resultaría: y - y1 = -------- (x - x1)
x2 - x1
y - y1 x - x1
Trasponiendo términos nos resultaría esta expresión: --------- = --------- que es la (5)
y2 - y1 x2 - x1
más arriba transcrita.
Esta ecuación coincide con el desarrollo del determinante:
| x |
y |
1 |
|
|
|
x2 |
y2 |
1 |
= |
0 (6) |
|
x1 |
y1 |
1 |
|
|
He utilizado el concepto determinante ligado al de matriz cuadrada sin haberlo definido en esta página. Estos conceptos serán desarrollados en su momento. La estética de la ecuación me ha sugerido su uso. Para desarrollar un determinante hay que formar todos los productos posibles con un número de factores igual al orden del determinante (en esta caso tres), de modo que en cada producto aparezca como factor uno y solo uno de cada fila y uno y solo uno de cada columna.
De acuerdo con la formulación anterior, invito al amable lector a desarrollar el determinante propuesto en (6); también le invito a desarrollar (5) y compruebe que se llega a los mismos resultados.
Ecuación segmentaria o canónica de la recta:
Se trata de encontrar la ecuación de la recta en función de la longitud de los segmentos que determina la recta sobre los ejes coordenados. En la figura que sigue:
La recta corta al eje OX en el punto A(a 0) y al eje OY en el punto B(0 b) si estos valores los sustituimos en la ecuación (5) con el siguiente convenio: x1 = a; y1 = 0; x2 = 0; y2 = b obtendríamos: la siguiente expresión:
y - 0 x - a y x -a
------- = -------- o lo que es lo mismo ----- = -------- + -------
b - 0 0 - a b - a -a
Trasponiendo términos y operando resultaría:
x y
---- + ----- = 1 (6)
a b
que recibe el nombre de ecuación canónica o ecuación segmentaria de la recta.
Ecuación normal de la recta:
Sobre una recta dada se traza, desde el origen, la perpendicular a ella. Tal perpendicular viene también determinada por la distancia p entre el origen y el pie de la perpendicular a la recta y el ángulo α que la perpendicular forma con el eje OX. Geométricamente puede construirse la recta pedida con la distancia p y el ángulo α. En efecto se traza el ángulo α dado medido a partir del eje de abscisas y en el sentido matemático positivo o contrario a las agujas del reloj. Sobre el lado del ángulo se marca la distancia p dada. En ese punto se traza la perpendicular al lado del ángulo trazado y hemos construido, geométricamente la recta pedida. La recta determina sobre los ejes sendos segmento de longitud respectiva a y b. Ver figura.
Por trigonometría sabemos que
p = a cos α y p = b sen α
p p
de donde a = ------- y b = ---------
cos α sen α
x y
Si en la ecuación canónica ---- + ---- = 1
a b
sustituimos a y b por sus respectivos valores tendremos:
x y
------- + -------- = 1
p p
cos α sen α
Quitando denominadores y trasponiendo términos resultará:
x cos α + y sen α - p = 0
Se observa que toda expresión de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas puede escribirse con esta expresión general:
Ax + By + C = 0 (7)
A esta forma de escribir la ecuación de una recta se denomina ecuación general de la recta
Si en ella despejemos y resultaría : y = - A/C x - C/A
Comparando la expresión hallada con la ecuación cartesiana y = mx + n
m - A/C y n = - C/A
Así pues conocida la ecuación general de la recta pueden determinarse su pendiente y su ordenada en el origen y recíprocamente: conocida la ecuación cartesiana de una recta escribir su ecuación general.
Generalizando se puede decir que dada una recta por su ecuación, se puede escribir, mediante las transformaciones oportunas de cualquier otra forma..
Casos particulares de la ecuación de la recta:
Supongamos que en la recta de ecuación y = mx + n la pendiente es nula; esto es, m = 0 en ese caso el ángulo que forma la recta con el eje OX es nulo. La recta es paralela al eje OX.
Si en y = mx + n hacemos m = 0 resultará y = n que es una recta paralela al eje OX
Si n varía en el intervalo (-∞ ∞) y = n expresa la ecuación de las infinitas rectas paralelas a eje OX. Para cada valor de n, una recta distinta. Entre esas infinitas rectas paralelas al eje OX hay una que es el propio eje OX, paralelo a sí mismo, Como el eje OX es tal que su distancia a sí mismo es 0, la ecuación del eje OX se obtendrá haciendo n = 0.
Así nos resultará y = 0 que es la ecuación del eje OX.
Cualquier recta paralela al eje Oy tiene la propiedad de que sus puntos tienen abscisa constante esto es: x = a
Si a varía en el intervalo (-∞ ∞) x = a expresa la ecuación de las infinitas rectas paralelas a eje OY. Para cada valor de a, una recta distinta. Con un razonamiento semejante al del eje OX, si hacemos a = 0 nos resultará x = 0 que es la ecuación del eje OY.
Supongamos que en la recta de ecuación y = mx + n n = 0 en ese caso la recta pasa por el origen de coordenadas y su expresión será: y = mx
Si m varía en el intervalo (-∞ ∞), y = mx expresa la ecuación de las infinitas rectas que pasan por el origen de coordenadas. y = mx constituye la ecuación del haz de rectas que pasa por el origen.
Si en esa ecuación hacemos m = 1 nos resultará y = x que es la bisectriz del primer-tercer cuadrante.
Si hacemos m = - 1 nos resultará y = - x que es la bisectriz del segundo-cuarto cuadrante
Resumiendo podemos expresar todas las ecuaciones en esta matriz:
Resumen de las fórmulas obtenidas:
|
Denominación de la ecuación |
Ecuación |
| Vectorial
|
OM = OA + t u |
| Paramétrica
|
x = x1 + t a y = y1 + t b |
| Cartesiana
|
y = mx + b m = pendiente = tg α α = ángulo que forma la recta con el eje OX b = ordenada en el origen |
|
Que pasa por un punto
|
y - y1 = m (x - x1) |
| Que pasa por dos puntos |
y - y1 x - x1 ----------- = ------------- y2 - y1 x2 - x1
|
| Canónica |
x y ---- + ----- = 1 a b |
| Normal o segmentaria
|
x cos α + y sen α - p = 0 |
| General |
Ax + By + C = 0
|
| Casos pàrticulares |
Ecuación de los ejes: Eje de Abscisas OX: y = 0 Eje de Ordenadas OY x = 0 Paralela al eje de Abscisas OX: y = b Paralela al eje de Ordenadas OY x = a Que pasa por (0 0), origen de coordenadas y = mx Ecuación de las bisectrices Bisectriz del primer-tercer cuadrante y = x Bisectriz del segundo-cuarto cuadrante y = - x |
¿Cómo se mide la distancia entre dos puntos? La distancia entre dos puntos se conoce midiendo la longitud del segmento que los une.
Supongamos que deseamos calcular la distancia entre los puntos AB de la recta r (Ver figura)
Si por el punto B se traza una paralela al eje OY y por el Punto A una paralela al eje OX ambas rectas se cortan, perpendicularmente, en el punto C de coordenadas (x2 y1) el triángulo ACB es rectángulo y su cateto horizontal AC, cuya longitud es igual a la diferencia de abscisas; esto es: AC = x2 - x1
De la misma manera su cateto vertical CB, cuya longitud es igual a la diferencia de ordenadas; esto es: CB = y2 - y1
AB cuya longitud deseamos calcular es la hipotenusa del triángulo rectángulo ACB, por tanto podemos aplicarle el Teorema de Pitágoras.
Así AB2 = AC2 + CB2 y sustituyendo por sus distancias en coordenadas será:
AB2 = AC2 + CB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 Extrayendo la raíz cuadrada
__________________
AB = √ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
NOTA 2: Obsérvese que he tomado la raíz positiva por cuanto la distancia es una magnitud modular y por tanto siempre es positiva.
Coordenadas del punto medio de un segmento:
¿Cómo se determinan las coordenadas del punto medio de un segmento?
Supongamos que deseamos determinar las coordenadas del punto medio del segmento AB cuyos extremos tienen por coordenadas A(x1 y1); B(x2 y2). Sea M(xM yM) las coordenadas del punto medio cuyos valores deseamos calcular.
Si por lo puntos B y M se trazan sendas paralelas al eje OY y por el punto A una paralela al eje OX, las rectas se cortan, perpendicularmente, en los puntos C de coordenadas (x2 y1) y D de coordenadas (xM y1). Si por el punto A se traza una paralela al eje OX se forman dos triángulos rectángulos ACB y ADM. En el triángulo ACB, su cateto horizontal AC, cuya longitud es igual a la diferencia de abscisas; esto es: AC = x2 - x1
De la misma manera su cateto vertical CB, cuya longitud es igual a la diferencia de ordenadas; esto es:
AC = y2 - y1
En el triángulo ADB , su cateto horizontal AD, cuya longitud es igual a la diferencia de abscisas; esto es:
AD = xM - x1
De la misma manera su cateto vertical DM, cuya longitud es igual a la diferencia de ordenadas; esto es:
DM = yM - y1
Los dos triángulos rectángulos son semejantes y al ser, por hipótesis M, punto medio de AB, será:
AM = AB/2 y por semejanza de triángulos AD = AC/2 = (x2 - x1)/2 y DM = CB/2 = (y2 - y1)/2
2x1 + (x2 - x1) x1 + x2
Por tanto xM = x1 + (x2 - x1)/2 = ------------------ = ------------
2 2
21 + (y2 - y1) y1 + y2
Así también yM = y1 + (y2 - y1)/2 = ------------------ = ------------
2 2
Por consiguiente las coordenadas del punto medio de un segmento se determinan calculando la media aritmética de las coordenadas de los extremos.
De la misma manera se determinan las coordenadas de un punto del segmento que lo divide en otros dos cuyas longitudes en una razón dada.
Ejemplo 1º: Sea la ecuación 3x + 2y - 6 = 0 decir:
a) ¿Qué nombre recibe esta forma de expresión?
b) Escribirla en su expresión cartesiana y canónica.
c) Determinar su pendiente y ordenada en el origen.
d) Determinar la longitud de los segmentos que determina sobre los ejes
e) Calcular la longitud de ese segmento
f) Calcular las coordenadas del punto medio.
g) Verificar si los puntos (1 1) (4 -3) pertenecen a la recta.
h) Determinar la posición de la recta respecto del plano cartesiano
1) Escribir las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes coordenados y que pasan por el punto de intersección con esos ejes
Resolución:
a) ¿Qué nombre recibe esta forma de expresión?
Examinando la matriz resumen escrita más arriba observamos que la expresión 3x + 2y - 6 = 0 es
semejante al de la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0; en ella A = 3; B = 2 y C = -6
b) Escribirla en su expresión cartesiana y canónica.
Expresión cartesiana: su ecuación sería: y = mx + n
Despejando y en la ecuación resultaría : y = - 3/2 x + 2
Expresión canónica: su ecuación sería: (x/a) + y/b) = 1 Hemos de conseguir que el segundo miembro sea = 1 para lo cual trasponemos en la ecuación propuesta 3x + 2y - 6 = 0, el 6 al segundo ,miembro así: 3x + 2y = 6; ¿Cómo conseguimos que el segundo miembro sea 1, dividiendo por 6 los dos miembros resultando:
3x + 2y 6 x y
--------- = ---- Simplificando resultará por tanto: ---- + ---- = 1
6 6 2 3
c) Determinar su pendiente y ordenada en el origen.
En la expresión cartesiana del apartado b) se determina que la pendiente m = -3/2 y su ordenada en el origen n = 2.
d) Calcular la longitud los segmentos que determina sobre los ejes
En la expresión canónica a = 2 es el segmento que determina la recta sobre el eje OX y b = 3 es el segmento que determina la recta sobre el eje OY. Por tanto la recta 3x + 2y - 6 = 0 corta al eje OX en el punto A(2 0) y al eje OY en el punto B(0 3)
e) Calcular la longitud de ese segmento
________________
La fórmula que nos permite resolver el problema es: AB = √ (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
______________ ____________
Por tanto AB = √(0 - 2)2 + (3 - 0)2 = √ 4 + 9 = √13
f) Calcular las coordenadas del punto medio.
Para resolver el problema sabemos que las coordenadas del puto medio es la media aritmética de las coordenadas de los extremos
x1 + x2 2 + 0
xM = ----------- = ------------ = 1
2 2
y1 + y2 0 + 3
yM = ------------ = ------------ = 3/2
2 2
Las coordenadas del punto medio son M(1 3/2)
g) Verificar si los puntos (1 1) (4 -3) pertenecen a la recta.
Un punto pertenece a una recta si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta.
Sustituyendo (1 1) en la ecuación 3x + 2y - 6 = 0 resultaría: 3.1 + 2.1 - 6 = 3 + 2 - 6 = -1
como -1 ≠ 0 El punto (1 1) no pertenece a la recta.
Probando con (4 -3) en la ecuación 3x + 2y - 6 = 0 resultaría: 3.4 + 2.(-3) - 6 = 12 - 6 - 6 = 0
como 0 = = el punto (4 -3) pertenece a la recta
h) Determinar la posición de la recta respecto del plano cartesiano:
Hemos visto en el apartado b) de este problema que la recta corta a los ejes en puntos de ordenada y abscisa positivas por tanto la recta discurre por el 2º, 1º y 4º cuadrante.
Desde otro punto de vista observamos que la pendiente m es negativa = -3/2 Significa que a un incremento positivo de la abscisa le corresponde un incremento negativo de la ordenada o, también, que a un incremento negativo de la abscisa le corresponde un incremento positivo de la ordenada que confirma la posición antes señalada.
Como la pendiente m = tg α
Por trigonometría sabemos que α = arc tg m = arc tg (-3/2)
Mirado en la calculadora resulta que α = 123º 41' 24".
i) Escribir las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes coordenados y que pasan por los puntos de intersección con esos ejes
Como hemos visto en el apartado b) de este problema, en la expresión canónica a = 2 es el segmento que determina la recta sobre el eje OX y b = 3 es el segmento que determina la recta sobre el eje OY. Por tanto la recta 3x + 2y - 6 = 0 corta al eje OX en el punto A(2 0) y al eje OY en el punto B(0 3)
Luego las ecuaciones de las rectas paralelas a los ejes coordenados y que pasan por los puntos de intersección con esos ejes serán: y = 3 Paralela al eje OX; x = 2, paralela al eje OY
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