Geometría Analítica: Otras cuestiones relacionadas con las ecuaciones de la recta
email: marodgar@telefonica.net
Geometría Analítica
Geometría de la recta: Otras cuestiones
Geometría de la recta: Otras cuestiones:
En Geometría Analítica: Introduccion, del punto y de la recta apoyándose en el sistema de coordenadas se ha establecido la correspondencia entre número real y punto de una recta y entre punto de un plano y dos números reales dados en un cierto orden.
En este tema vamos a responder a las siguientes cuestiones:
¿Cómo se sabe si un punto pertenece o no a una recta?
¿Cómo se sabe si tres puntos están alineados?
En caso de que no lo estén ¿Cómo se calcula el área del triángulo que forman?
¿Qué posición relativa pueden tener dos rectas?
¿Cómo se determina el ángulo que forman dos rectas?
¿Cómo se determinan las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman dos rectas?
¿Cómo se calcula la distancia entre punto y recta y entre dos rectas?
Puede que se contesten algunas más.
Hay que hacer constar que en la Geometría Analítica se usan ecuaciones. Como recurso pedagógico se recurre a la expresión gráfica. El hacerlo es para ayudar al principiante a captar el concepto. Es por ello que, en este tema, limitaremos los gráficos. Caso de ser necesario invito al lector a la confección del suyo propio o visite los temas reseñados más arriba.
Así un punto M se expresa mediante dos números dados en un orden determinado, primero se escribe la abscisa y después la ordenada. Lo hemos signado así: M(x1 y1). Los subíndices indican que se trata de un punto concreto. Un punto genérico cualquiera G lo hemos expresado así: G(x y). Las coordenadas del punto G x e y, son variables que puede adoptar cualquier número real.
Antes de proceder a responder a las preguntas introduciremos la siguiente cuestión:
Otras formas de obtener las distintas expresiones de la ecuación de la recta:
Ecuación de la recta que pasa por el punto M(x1 y1)
Sea la recta cuya ecuación general es Ax + By + C = 0 (1)
Como M(x1 y1) pertenece a Ax + By + C = 0 satisface su ecuación esto es:
Ax1 + By1 + C = 0 (2)
Resolviendo el sistema formado por (1) y (2) restando miembro a miembro resultará:
A(x - x1) + B(y - y1) = 0 despejando y resultará: y - y1 = -A/B (x - x1)
y como -A/B es la pendiente de la recta que signamos con m nos resulta la ecuación de la recta que pasa por el punto M(x1 y1) cuya expresión será:
y - y1 = m (x - x1)
Que vimos en el tema Geometría de la recta
Ejemplo 1: Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(5 1) B(2 2)
Siguiendo lo expresado anteriormente se escribe el sistema formado por la ecuación general de la recta y las que resultan de sustituir en la ecuación general de la recta las coordenadas de los puntos M y N.
Si en la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se sustituyen x e y por los valores de las coordenadas de M y N obtendremos las siguientes ecucaciones:
5A + B + C = 0
2A + 2B + C = 0
Dividiendo por A ambas ecuaciones resulta
5 + B/A + C/A = 0
2 + 2 B/A + C/A = 0
Restando miembro a miembro se obtendrá:
3 - B/A = 0 de donde B/A = 3
Sustituyendo en la 1ª resulta 5 + 3 + C/A = 0 de donde C/A = - 8
Si En la ecuación general Ax + By + C = 0 la dividimos por A resulta:
x + B/Ay + C/A = 0
sustituyendo A/B y C/A por sus valores obtenidos resulta:
x + 3y -8 = 0
Comprobación:
Si en la ecuación anterior se sustituye x e y por las coordenadas de los puntos M y N se comprueba que en ambos casos pasa por esos puntos.
Vamos a responder a la primera pregunta: ¿Cómo se sabe si un punto pertenece o no a una recta?
Si un punto pertenece a una recta debe satisface su ecuación. Esto es: sustituyendo las variables por las coordenadas de los puntos la ecuación se convierte en una identidad.
Sea la recta r ≡ Ax + By + C = 0; si el punto M(x1 y1) está contenido en ella, es incidente con ella o recíprocamente la recta r pasa por M entonces las coordenadas de M han de satisfacer la ecuación de la recta; esto es:
Ax1 + By1 + C = 0
Si M(x1 y1) no pertenece a r ≡ Ax + By + C = 0, no satisface a la ecuación esto es:
Ax1 + By1 + C ± 0
Vamos a responder a la segunda pregunta ¿Cómo se sabe si tres puntos están alineados?
Sean los puntos M(x1 y1); N(x2 y2); R(x3 y3) que estarán alineados si satisfacen todos ellos la ecuación de la misma recta ¿Cómo se verificará?
1º Se determina la recta que pasa por los puntos M y N, por ejemplo.
2º Se sustituyen los valores de x e y por las coordenadas del punto R.
Si satisfacen la ecuación; esto es, el resultado es una identidad, los puntos están alineados. en caso contrario los tres puntos no están alineados,
Iniciamos el proceso para lo cual se recurre a la ecuación de la recta que pasa por los puntos M(x1 y1); N(x2 y2); que, como sabemos es:
y - y1 x - x1
------- = -------- Sustituimos x e y por las coordenadas del punto R(x3 y3)
y2 - y1 x2 - x1
Asçi obyenemos:
y3 - y1 x3 - x1
--------- = ---------
y2 - y1 x2 - x1
Si la proporción subsiste los puntos están alineados. En caso contrario no están alineados y forman un triángulo.
Otra forma
Sean los puntos M(x1 y1); N(x2 y2); R(x3 y3) que estarán alineados si satisfacen todos ellos la ecuación de la misma recta r ≡ Ax + By + C = 0 Esto es: Sustituyendo x e y en la ecuación por los valores de las coordenadas, deben de verificarla.
Sustituyendo x e y por las coordenadas de los puntos dados resultará un sistema de ecuaciones homogéneo con tres incógnitas: A, B, y C
Ax1 + By1 + C = 0
Ax2 + By2 + C = 0
Ax3 + By3 + C = 0
Que siempre es compatible y determinado con la solución trivial
A = 0; B= 0; C = 0
NOTA: Tengo que introducir el concepto sistema homogéneo no considerado en esta página que espero desarrollar cuando nos adentremos en el Álgebra.
Si el sistema es compatible e indeterminado, los puntos están alineados; en caso contrario no.
Otra más
Si usamos la ecuación de la recta expresada por el determinante tendremos:
|
x |
y | 1 | |
| x2 | y2 | 1 | = 0 |
| x1 | y1 | 1 |
la ecuación de la recta que pasa por los puntos M y N que determinan la recte r; para saber si el punto R(x3 y3) pertenece a esa recta; esto es, está alineado con M y N, ha de cumplir esa ecuación, luego sustituyendo en el determinante
x e y por las coordenadas de R, podrá ocurrir lo siguiente:
|
x3 |
y3 | 1 | |
| x2 | y2 | 1 | = 0 |
| x1 | y1 | 1 |
En este caso los tres puntos están alineados y su representación gráfica sería:
O puede ocurrir esto otro.
|
x3 |
y3 | 1 | |
| x2 | y2 | 1 | ¹ 0 |
| x1 | y1 | 1 |
En este caso los puntos no están alineados y forman un triángulo. Ver figura
La pregunta sería ¿Cómo se calcula el área del triángulo formado por tres puntos no alineados?
Para resolverlo me ayudaré de la figura siguiente:
El área del triángulo MNR se obtiene de la siguiente manera:
Área trapecio MABR + Área trapecio RBCN - Área trapecio MACN
Fijemos los datos para calcular las áreas de los polígonos en función de sus coordenadas:
AM = y1 BR = y3 CN = y2 AB = (x3 - x1) BC = (x2 - x3)
Área trapecio MABR = ½(y3 + y1 )(x3 - x1)
Área trapecio RBCN = ½(y3 + y2 )(x2 - x3)
Área trapecio MACN = ½(y1 + y2 )(x2 - x1)
Por tanto:
Área triángulo MNR = Área trapecio MABR + Área trapecio RBCN - Área trapecio MACN
Sustituyendo sería:
Área triángulo MNR = ½(y3 + y1 )(x3 - x1) + ½(y3 + y2 )(x2 - x3) - ½(y1 + y2 )(x2 - x1)
sacando ½ de factor común resultaría:
Área triángulo MNR = ½[(y3 + y1 )(x3 - x1) + (y3 + y2 )(x2 - x3) - (y1 + y2 )(x2 - x1)]
El desarrollo de las expresiones entre corchetes [ ], después de simplificar nos llevaría al desarrollo del determinante:
|
x3 |
y3 | 1 | |
| x2 | y2 | 1 | |
| x1 | y1 | 1 |
Por tanto
|
|
x3 |
y3 |
1 |
| Área del triángulo = ½ |
x2 |
y2 |
1 |
|
x1 |
y1 |
1 |
NOTA 1: He de resaltar que el área del triángulo es la mitad del valor del determinante que nos sirve para establecer la alineación o no de tres puntos. Si están alineados el área es cero. Si no lo están el área es la mitad del valor calculado
El valor resultante de este determinante puede ser positivo o negativo dependiendo de los signos de las coordenadas y su disposición. Como el área es una magnitud modular siempre ha de ser positiva por lo que habrá de tomarse el valor absoluto del resultado.
NOTA 2: Recuérdese que el valor absoluto de un número es el considerado como positivo y se representa así:
Valor absoluto de a = |a|
Valor absoluto de (+3) = |+ 3| = 3
Valor absoluto de (-3) = |- 3| = 3
Ejemplo 2: Sea la recta r ≡ x + 2y - 3 = 0
¿Pertenecen los puntos M(5 1) y N(2 2) a la recta r?
Sustituimos las coordenadas de M y N en la ecuación y resultará:
Punto M 5 + 2.1 -3 = 0 Se cumple la igualdad; el punto M pertenece a la recta. Simbólicamente M € r
Punto N 2 + 2.2 -3 = 3 ± 0 No se cumple la igualdad; el punto N no pertenece a la recta. Simbólicamente: M ∉ r
¿Están alineados los puntos M(5 1), y N(2 2) Con R(-1 3)? ¿y con (3 3)? Si en algún caso no lo está calcúlese el área del triángulo que forman.
Primera parte del problema:
Proceso a) Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos tendríamos:
y3 - y1 x3 - x1
--------- = --------- Sustituyendo las coordenadas de los puntos tendremos:
y2 - y1 x2 - x1
3 - 1 - 1 - 5
------ = --------- = 2
2 -1 2 - 5
Como los números forman proporción de razón 2, los tres puntos están alineados.
Proceso b) Usando el sistema de ecuaciones:
Para que los puntos M(5 1), N(2 2) y R(-1 3) estén alineados deben pertenecer a la misma recta:
La recta que pasa por los puntos M y N será:
Ax + By + C = 0
Sustituyendo las coordenadas de M, N y R en la ecuación resultará el siguiente sistema:
5A + B + C = 0
2A + 2B + C = 0
- A + 3B + C = 0
Como se ha dicho más arriba este sistema siempre es compatible y determinado con la solución trivial A = 0; B= 0; C = 0 que no es la solución que propugnamos
Para resolver un sistema de ecuaciones homogéneo, se procede como sigue:
Se divide el sistema por una incógnita. por ejemplo C resultando el siguiente sistema:
5A/C + B/C = - 1
2A/C + 2B/C = - 1
- A/C + 3B/C = - 1
si a A/C = m y a B/C = n el sistema anterior se transforma en este otro de dos incógnitas y tres ecuaciones:
5 m + n = - 1
2 m + 2 n = - 1
- m + 3 n = - 1
Resolviendo por reducción multiplicamos la 1ª por -2 y sumamos la 2ª resultará
- 8 m + 0 = 1 m = -1/8 sustituyendo este valor en la 1ª resultará
-5/8 + n = -1 de donde
n = 5/8 -1 = -3/8
Sustituyendo estos valores en la 3ª resulta - (-1/8) + 3 (-3/8) = 1/8 - 9/8 = -8/8 = -1 valor del segundo miembro de la 3ª luego:
Los tres puntos están alineados.
Para determinar los valores de A, B y C deshacemos el cambio así: A/C = m = -1/8 y B/C = n = -3/8
La solución es indeterminada cualquier terna de valores A, B y C que estén en tales proporciones satisface el problema.
Así por ejemplo A = - 1 B = -3 C = 8
La recta que contiene a los puntos M, N y R sería - x - 5y + 8 = 0; o multiplicando por (- 1) x + 5y - 8 = 0
Solución: Los puntos están alineados y contenidos en la recta r = x + 5y - 8 = 0
Si adoptáramos otros valores proporcionales aparecería otra ecuación pero se trataría de la misma recta según esta propiedad
NOTA: Este proceso nos ha permitido determinar, además de la alineación de los tres puntos, la ecuación de la recta que los contiene.
Proceso c) Usando el determinante:
Para que los puntos M(5 1), N(2 2) y R(-1 3) estén alineados sus coordenadas deben cumplir la siguiente condición:
|
x3 |
y3 | 1 | |
| x2 | y2 | 1 | = 0 |
| x1 | y1 | 1 |
Si en el determinante anterior sustituimos las coordenadas por sus valores respectivos resultará:
|
5 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
= 0 |
|
-1 |
3 |
1 |
Desarrollar un determinante es sumar todos los productos posibles de tantos factores como orden tenga el determinante de modo que cada sumando tenga como factores uno y solo uno de una fila o columna a la que pertenezca afectado cada sumando del signo + ó - según sea la paridad o imparidad de la permutación a la que pertenezca.
Como el determinante es de tercer orden el número de permutaciones posibles será 3! = 6 de las cuales la mitad, 3, serán pares y afectadas del signo positivo y otras 3 impares afectadas del signo negativo. Estos signos son independientes de los resultados de los productos y los afectará.
5.2.1 + 2.3.1 + 1.1(-1) - [1.2(-1) + 1.2.1 + 1.3.5] = 10 + 6 -1 - (-2 +2 + 15) = 15 - 15 = 0
Como el valor del determinante es 0 Los tres puntos están alineados.
El desarrollo de este determinante se ha hecho aplicando la regla de Sarrus. Para quien no esté familiarizado con la teoría de determinantes ni conozca la regla de Sarrus, incluyo un esquema por si le puede aclarar:
¿Están alineados los puntos M(5 1), y N(2 2) con S(3 3)? En caso de que no lo estén calcúlese el área del triángulo que forman.
NOTA: Procesar en matemáticas es esencial. Establecido el proceso de resolución de un problema, mutatis mutandis es válido para todos los semejantes.
Apliquemos lo dicho en la primera parte del problema:
Proceso a) Usando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos tendríamos:
y3 - y1 x3 - x1
--------- = --------- Sustituyendo las coordenadas de los puntos tendremos:
y2 - y1 x2 - x1
3 - 1 3 - 5
--------- ≠ ---------
2 - 1 2 - 5
Esto es 2 ¹ 2/3
Como no se cumple la igualdad, los tres puntos no están alineados.
Proceso b) Usando el sistema de ecuaciones:
Para que los puntos M(5 1), N(2 2) y S(3 3) estén alineados deben pertenecer a la misma recta:
La recta que pasa por los puntos M y N será:
Ax + By + C = 0
Sustituyendo las coordenadas de M, N y S en la ecuación resultará el siguiente sistema:
5A + B + C = 0
2A + 2B + C = 0
3 A + 3B + C = 0
Como se ha dicho más arriba este sistema siempre es compatible y determinado con la solución trivial A = 0; B= 0; C = 0 que no es la solución que propugnamos
Para resolver un sistema de ecuaciones homogéneo, se procede como sigue:
Se divide el sistema por una incógnita. por ejemplo C resultando el siguiente sistema:
5A/C + B/C = - 1
2A/C + 2B/C = - 1
3A/C + 3B/C = - 1
si a A/C = m y a B/C = n el sistema anterior se transforma en este otro de dos incógnitas y tres ecuaciones:
5 m + n = - 1
2 m + 2 n = - 1
3 m + 3 n = - 1
Resolviendo por reducción multiplicamos la 1ª por -2 y sumamos la 2ª resultará
- 8 m + 0 = 1 m = -1/8 sustituyendo este valor en la 1ª resultará -5/8 + n = -1 de donde
n = 5/8 -1 = -3/8
Sustituyendo estos valores en la 3ª resulta 3 (-1/8) + 3 (-3/8) = -3/8 - 9/8 =
= -12/8 = - 4/3 ¹ -1 valor que no coincide con el del segundo miembro de la 3ª
luego: Los tres puntos no están alineados.
Proceso c) Usando el determinante:
Para que los puntos M(5 1), N(2 2) y S(3 3) estén alineados sus coordenadas deben cumplir la siguiente condición:
|
x3 |
y3 | 1 | |
| x2 | y2 | 1 | = 0 |
| x1 | y1 | 1 |
Si en el determinante anterior sustituimos las coordenadas por sus valores respectivos resultará:
|
5 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
= -4 |
|
3 |
3 |
1 |
Como el valor del determinante, cuyo desarrollo se hace más abajo, es (-4) ¹ 0, Los tres puntos no están alineados
Vuelvo a recordar que desarrollar un determinante es sumar todos los productos posibles de tantos factores como orden tenga el determinante de modo que cada sumando tenga como factores uno y solo uno de una fila o columna a la que pertenezca afectado cada sumando del signo + ó - según sea la paridad o imparidad de la permutación a la que pertenezca.
Como el determinante es de tercer orden el número de permutaciones posibles será 3! = 6 de las cuales la mitad, 3, serán pares y afectadas del signo positivo y otras 3 impares afectadas del signo negativo. Estos signos son independientes de los resultados de los productos y los afectará.
5.2.1 + 2.3.1 + 1.1.3 - [1.2.3 + 1.2.1 + 1.3.5] = 10 + 6 + 3 - (6 +2 + 15) = 19 - 23 = -4
Vuelvo a recordar que el desarrollo de este determinante se ha hecho aplicando la regla de Sarrus. Para quien no esté familiarizado con la teoría de determinantes ni conozca la regla de Sarrus, incluyo un esquema por si le puede aclarar:
Cálculo del área de triángulo formado por los puntos M(5 1), N(2 2) y S(3 3).
Se ha comprobado que los tres puntos no están alineados por lo que forman el triángulo MNS cuya área vamos a calcular.
Según hemos visto más arriba el área del triángulo se obtiene por aplicación de la siguiente fórmula:
|
|
x3 |
y3 |
1 |
| Área del triángulo = ½ |
x2 |
y2 |
1 |
|
x1 |
y1 |
1 |
Sustituyendo las coordenadas por sus valores obtenemos:
|
5 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
1 |
= -4 |
|
3 |
3 |
1 |
OBSERVACIÓN: Este determinante se ha calculado más arriba
Como el área es una magnitud modular su valor será:
Área del DMNS = ½|-4| = 2 unidades cuadradas
¿Qué dice el DRAE al respecto?
Intersección: f. Punto común de dos rectas que se cortan. 2// Geom. Encuentro de dos líneas, dos superficies o dos sólidos que recíprocamente se cortan. La intersección de dos líneas es un punto; la de dos superficies, una línea; y la de dos sólidos, una superficie.
De acuerdo con lo anterior la intersección de dos líneas rectas es un punto
¿Cómo se calcula el punto de intersección de dos rectas?
Sean las rectas expresadas por sus ecuaciones: Ax + By + C = 0 A'x + B'y + C' = 0
Si las rectas se cortan, el punto de intersección pertenece a ambas rectas luego ha de satisfacer a las dos ecuaciones Resolviendo el sistema resultará:
A'Ax + A'By + A'C = 0 A'Bx + BB'y + BC' = 0
A'Ax + AB'y + AC' = 0 AB'x + B'By + B'C = 0
Restando en ambos sistemas resultará:
y(A'B - AB') = (A'C - AC') x(A'B - AB') = (B'C - BC')
(B'C - BC') (A'C - AC')
x = ------------- (1) y = -------------- = (2)
(A'B - AB') (A'B - AB')
Como A, B, C, A', B', C' son valores conocidos el punto I(x y) es el punto de intersección de ambas rectas.
Para que tenga solución real, el sistema ha de ser compatible y determinado, (A'B - AB') ≠ 0 ya que la división por 0, no está definida
¿Qué dice el DRAE al respecto?
Paralelismo: m. Calidad de paralelo o continuada igualdad de distancia entre líneas o planos.
Paralelo, la. Aplicase a las rectas y planos equidistantes entre sí y que por más que se prolonguen no pueden encontrarse.
De acuerdo con lo anterior se puede decir que:
Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto común. Para que eso ocurra x e y en las ecuaciones (1) y (2), anteriores, constituyen un sistema incompatible; esto es: carecen de solución; en ese caso los denominadores han de ser nulos sin serlo los numeradores; esto es: (A'B - AB') = 0; según eso se ha de cumplir que
A B
A'B = AB' Trasponiendo términos ha de cumplirse que ------= ------
A' B'
¿Qué significa esto?
La fórmula anterior expresa que los coeficientes de las variables x e y de las ecuaciones de las rectas forman una proporción de lo cual se puede concluir:
Para que dos rectas sean paralelas los coeficiente respectivos de las variables han de ser proporcionales.
Ejemplo 3: Las rectas x + y + 2 = 0 y 3x + 3y + 2 = 0 son paralelas ya que 3/1 = 3/1
¿Qué dice el DRAE al respecto?
Identidad: f. Calidad de idéntico.
Idéntico, ca. Dicese de lo que es lo mismo que otra cosa con la que se compara.
Dos rectas paralelas pueden aproximarse indefinidamente hasta superponerse; en ese caso las rectas son coincidentes. En ese caso ambas rectas han de tener infinitos puntos comunes y las ecuaciones (1) y (2) han de constituir un sistema compatible e indeterminado lo que exige que se cumplan las siguientes condiciones:
(A'B - AB') = 0; según eso se ha de cumplir que A'B = AB'
A B
Trasponiendo términos ha de cumplirse que ------= ------ Y además que
A' B
(BC' - B'C) = 0 de donde BC' = B'C y AC' = A'C
B C
Trasponiendo términos ha de cumplirse que ------= ------ y
B' C'
A C
----- = -----
A' C'
A B C
Por la propiedad transitiva se ha de cumplir: ------ = ------ = ------
A' B' C'
De las condiciones anteriores podemos concluir:
Dos rectas coinciden o están superpuestas cuando sus coeficientes son proporcionales.
Ejemplo 4: Las rectas x + y + 2 = 0 y 3x + 3y + 6 = 0 son coincidentes por cuanto sus coeficientes son proporcionales. Esto es, se trata de la misma recta.
¿Qué dice el DRAE al respecto?
Perpendicularidad: f. Calidad de perpendicular.
Perpendicular. Geom. Aplica a la línea o al plano que forma ángulo recto con otra línea o con otro plano.
De acuerdo con eso se puede afirmar que:
Dos rectas r1 y r2 de ecuaciones respectivas A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 son perpendiculares si cumplen dos condiciones:
a) Las rectas se cortan, luego ha de cumplirse que A1B2 - A2B1 ≠ 0
b) El ángulo que forman ha de ser 90º.
Si la recta r1 forma con el eje OX el ángulo α1 y la recta r2 el ángulo α2.
Como el ángulo que forman ambas rectas es 90º. la diferencia α1 - α2 = 90º
También sabemos que la pendiente de las rectas son m1 = - A1/B1= tg α1 y m2 = - A2/B2 = tg α2
Por trigonometría sabemos que:
tg α1 - tgα2 m1 - m2
tg (α1 - α2) =----------------- = ------------- Si (α1 - α2) = 90º 1 + tg α1tgα2 1 + m1m2
tg(α1 - α2) = tg 90º = ∞
Para que esto se verifique ha de cumplirse que m1 - m2 ≠ 0 y 1 + m1m2 = 0
Luego 1 + m1m2 = 0; m1m2 = - 1
esto es: el producto de las pendientes de las rectas ha de ser = - 1 o dicho de otra manera:
Para que dos rectas sean perpendiculares las pendientes han de ser recíprocas y opuestas
Si las rectas vienen expresadas por su ecuación general A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0
En ellas, m1 = - A1/B1 y m2 = - A2/B2 De acuerdo con lo anterior será A1/B1 A2/B2 = -1
o lo que es lo mismo: A1A2 = - B1B2
Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(3 1) y es perpendicular a la recta
r ≡ x + 2y - 3 = 0
El punto M es exterior a r porque no satisface la ecuación.
NOTA: Aunque lo hemos reseñado como ejemplo esa condición no es relevante puesto que para trazar una perpendicular a una recta por un punto, es irrelevante que el punto pertenezca o no a la recta.
Para resolver el problema debemos de tener en cuenta lo siguiente:
a) La recta ha de pasar por el punto M luego podemos aplicarle la ecuación de la recta que pasa por un punto cuya ecuación es: y - y1 = m(x -x1) (1)
b) La recta que pasa por M ha de ser perpendicular a r luego su pendiente m ha de ser recíproca y opuesta a la pendiente de r
Con estas consideraciones la ecuación (1) se transforma en y - 1 = m(x - 3) (2)
La pendiente de r es m1 = - 1/2 como m ha de ser recíproca y opuesta a m1, luego m = 2 sustituyendo en la expresión (2) resultará y - 1 = 2 (x - 3)
y escrita en su forma general:
2x - y + 5 = 0
Aplicación de la perpendicularidad
Las propiedades de la perpendicularidad y la intersección de rectas nos servirá como aplicación para calcular, de otra forma, el área de un triángulo determinado por los puntos M, N y S. Ver figura.
Fórmula del área de un triángulo: Sabemos que el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por su altura
En nuestro triángulo la base es el segmento MN y la altura del segmento PR.
El proceso sería el siguiente:
Calcular MN: Aplíquense las consideraciones para determinar la distancia entre dos puntos
Calcular PR: Para ello es preciso calcular las coordenadas de P(xp yp) punto de intersección de la recta MN y su perpendicular PR. El punto de intersección se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta que pasa por M y N y de la perpendicular a ella que pasa por R. Conocidas las coordenadas de P y con las de R se determina PR como en el cálculo de MN.
Cálculo del área: Se determina el área aplicando la fórmula de arriba.
NOTA: Lo dejo como ejercicio al lector que puede particularizarlo con los ejemplos anteriores y obtener la fórmula del área en función de las coordenadas de los vértices
Sean dos rectas r1 y r2 de ecuaciones respectivas r1 = A1x + B1y + C1 = 0
r2 = A2x + B2y + C2 = 0, concurrentes y de pendientes respectivas m1 y m2.
Recordamos que m1 = -A1/B1 m2 = -A2/B2.
Más arriba se ha utilizado la fórmula de la trigonometría:
tg α1 - tgα2 m1 - m2
tg (α1 - α2) = ----------------- = ------------
1 + tg α1tgα2 1 + m1m2
Si es α = (α1 - α2), al ángulo que forman las rectas
r1 y r2 con la anterior fórmula se puede obtener el ángulo que forman estas rectas.
Ejemplo 6: Determinar el ángulo que forman las rectas r1 = x + 2y - 3 = 0
r2 = 2 x + y - 3 = 0
Las pendientes será: m1 = -1/2 m2 = - 2 aplicando la fórmula anterior tendremos:
m1 - m2 (- 1/2) - (-2) 3/2
tg α = tg(α1 - α2) = --------------; Sustituyendo tg α = ---------------- = ------- =
1 + m1m2 1 + (-1/2)(-2) 2
tg α = 3/4
α = arc tg 3/4 = 36º 52' 12"
¿Qué dice el DRAE al respecto?
Haz: Geom. Conjunto de rectas que pasan por un punto o de planos que concurren en una misma recta
Refiriéndose a las rectas que es lo que nos ocupa consideramos un haz de rectas al conjunto de rectas de un plano que pasan por el mismo punto o tienen un punto común.
Así como señalamos más arriba que, y - y1 = m (x - x1) es la ecuación del haz de rectas que pasa por el punto (x1 y1). Para cada valor de m nos resultará una recta que tiene la propiedad de pasar por el punto (x1 y1).
Esta cuestión general hemos de particularizarla. El problema consiste en determinar cual es la ecuación del haz determinado por dos rectas concurrentes r1 y r2 de ecuaciones respectivas
A1x + B1y + C1 = 0 A2x + B2y + C2 = 0 según hemos visto más arriba para que estas rectas sean concurrentes se ha de cumplir la condición de que
A1B2 - A2B1 ≠ 0
La combinación lineal de ambas rectas nos dará otra recta que pasa por el punto de intersección de las otras dos; así A1x + B1y + C1 + k (A2x + B2y + C2) = 0
Para cada valor de k se obtendrá una recta distinta que tiene la propiedad de pasar por el punto de intersección de las rectas dadas.
Ejemplo 7: Escribir la ecuación del haz que determinan las rectas:
r1 ≡ x + 2y - 3 = 0 r2 ≡ 2 x + y - 3 = 0
De acuerdo con lo dicho la ecuación sería: x + 2y - 3 + k (2 x + y - 3) = 0
El punto de intersección de las rectas r1 y r2 es el (1 1) que satisface la ecuación del haz.
Ejemplo 8: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3, 0) y el de intersección de las rectas: L1: 2x – y - 2 = 0 y L2: x + y + 3 = 0
Resolución indicada:
¿Qué posición ocupa A respecto L1 y L2? Es exterior a ellas. Basta sustituir las coordenadas de A en ambas ecuaciones y comprobar que no satisface a ninguna de ellas.
¿Cual es la ecuación del haz de rectas que pasa por A? Si llamamos m a la pendiente de la recta la ecuación será: Ls: y = m(x – 3)
Si llamamos B al punto de intersección de L1 y L2 las coordenadas de B se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de L1 y L2
La solución es x = -1/3 y = - 8/3
Si en Ls sustituimos x e y por los valores anteriores obtendremos el valor de
m = 4/5
Si sustituimos este valor en Ls Nos resultará la ecuación 4x – 5y – 12 = 0
Que cumple la condición de pasar por A y por B. Para comprobarlo basta sustituir las variables por sus respectivas coordenadas y comprobar que se cumple.
Distancia del origen de coordenadas a una recta dada:
En la ecuación normal x cos α + y sen α - p = 0 p representa la distancia del origen a la recta
Sea la ecuación Ax + By + C = 0 ¿Cómo transformamos la ecuación general en normal?
Si ambas expresiones se corresponden con la misma recta sabemos que existe proporcionalidad entres los coeficientes de una y de otra así:
cos α sen α -p
------ = -------- = ----- si esto se cumple, también se cumple
A B C
cos2 α sen2 α p2
-------- = ---------- = -------
A2 B2 C2
Aplicando la propiedad de que "En toda serie de razones iguales la suma de antecedentes es a la suma de consecuentes como un antecedente es a su consecuente". Se puede hacer la siguiente transformación:
cos2 α sen2 α p2 cos2 α + sen2 α 1
-------- = ---------- = ------- =--------------------=-----------
A2 B2 C2 A2 + B2 A2 + B2
Sabemos que cos2 α + sen2 α =1
Si extraemos la raíz cuadrada a todos los miembros de esta serie de razones iguales tendremos:
cos α sen α p 1
------ = -------- = ----- = -------------
A B C ±√A2 + B2
la raíz cuadrada tiene dos valores de ahí el ±
Las expresiones anteriores nos permite transformar la ecuación general de la recta en la normal sabiendo que:
A B C
cos α = ----------- sen α = ------------ p = -------------
±√A2 + B2 ±√A2 + B2 ±√A2 + B2
sustituyendo estos valores en la ecuación normal x cos α + y sen α - p = 0 nos resultaría:
A B C
----------- x + ------------ y + ------------- = 0
√A2 + B2 √A2 + B2 ±√A2 + B2
que es la forma normal de la ecuación general dada
NOTA: Obsérvese que he dejado el ± en la última raíz que nos permite discriminar el problema.
Ejemplo 9: Escribir la ecuación de la recta 4x + 3y - 7 = 0 en su forma normal y determinar el ángulo que forma con la horizontal
En la ecuación propuesta A = 4 B = 3 C = - 7 con estos valores podemos determinar: ±√A2 + B2
±√42 + 32 = 5 La ecuación sería:
4/5 x + 3/5 y - 7/5 = 0 α = arc cos 4/5 = arc sen 3/5 Como sabemos por trigonometría esta ecuación tiene dos soluciones ≈ 37º y ≈ 143º En el caso que nos ocupa la solución es α = 143º, al ser la pendiente negativa.
La distancia al origen de coordenadas p = 7/5
NOTA: ≈ significa aproximadamente igual
Distancia de un punto a una recta dada:
Se desea determinar la distancia del punto M(x1 y1) a la recta
r ≡ Ax + By + C = 0 ¿Qué estrategia debemos seguir para resolver el problema?
Lo dicho en el apartado anterior nos puede servir para el caso que nos ocupa, para lo cual seguimos el siguiente proceso:
.
a) Por el punto M(x1 y1) se traza una paralela r1 a la recta dada r.
b) Se determinan las respectivas distancias al origen de coordenadas
c) Se restan ambas distancias.
Seguimos el proceso:
a) Por el punto M(x1 y1) se traza una paralela r1 a la recta dada r.
Si son paralelas han de tener la misma pendiente; esto es: m= - A/B y como ha de pasar por el punto M(x1 y1) sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta que pasa por un punto será:
y - y1 = -A/B(x - x1) Haciendo operaciones para expresarla en su forma general resultará:
Ax + By - (Ax1 + By1) = 0
b) Se determinan las respectivas distancias al origen de coordenadas
Para determinar las distancias al origen de coordenadas han de expresarse ambas ecuaciones en su forma normal:
Ax By C
r se expresaría así: ------------- + ------------ + ---------- = 0
√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2
Ax By - (Ax1 + By1)
y r1 se expresaría así: ------------ + ---------- + ----------------- = 0
√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2
c) Se restan ambas distancias:
Como las distancias al origen la expresan los términos independientes, restándolos, resultaría la distancia d entre ambas rectas que es la distancia entre el punto M y la recta r.
C - (Ax1 + By1) Ax1 + By1 + C
d = ------------ - ------------------ = ----------------------
√A2 + B2 √A2 + B2 √A2 + B2
Como puede apreciarse la distancia de un punto a una recta se determina sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación de la recta y dividiéndola por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes de las variables.
OBSERVACIÓN: Si en la expresión anterior el punto del que queremos calcular la distancia es el origen de coordenadas sustituyendo (x1 y1) por (0 0) se obtiene la fórmula de la distancia del origen a la recta.
Ejemplo 10: determinar la distancia del punto (2 1) a la recta 4x + 3y - 7 = 0
Sustituyendo los valores en la fórmula anterior nos resulta:
4.2 + 3.1 - 7 4
d = ----------------- = -------
√42 + 32 5
¿Qué dice el DRAE?
Bisector. triz. Geom. que divide en dos partes iguales. Aplicase comúnmente a un plano o a una recta.
De acuerdo con esto podemos decir que la bisectriz de un ángulo lo divide en dos partes iguales.
Dos rectas que se cortan definen en el plano que determinan cuatro regiones A, B, C, D, opuestas dos a dos. Ver figura.
En tales ángulos pueden trazarse sendas bisectrices, la interior y la exterior. Ver figura.
El problema consiste en determinar las ecuaciones de las bisectrices b y b' de los ángulos que forman dos rectas concurrentes r1 y r2 de ecuaciones respectivas:
r1 = A1x + B1y + C1 = 0 y r2 = A2x + B2y + C2 = 0 Ver figura
Según hemos visto más arriba para que estas rectas sean concurrentes se ha de cumplir la condición de que A1B2 - A2B1 ≠ 0
¿Qué propiedades tienen los puntos de las bisectrices? Que equidistan de los lados del ángulo.
Sean M(x y) un punto de la bisectriz su distancia a r1 será
A1x + B1y + C1
d = --------------------
√A12 + B12
y la distancia a r2 será:
A2x + B2y + C2
d = ---------------------
√A22 + B22
Como ambas distancias han de ser iguales se cumplirá:
A1x + B1y + C1 A2x + B2y + C2
-------------------- = --------------------------
√A12 + B12 ± √A22 + B22
Según vimos más arriba había dos raíces por tanto nos resultarán dos ecuaciones que constituyen las ecuaciones de ambas bisectrices
Una de las ecuaciones será
A1x + B1y + C1 A2x + B2y + C2
-------------------- = --------------------------
√A12 + B12 √A22 + B22
Y otra
A1x + B1y + C1 A2x + B2y + C2
-------------------- = -------------------
√A12 + B12 √A22 + B22
Ejemplo 11: Determinar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas
r1 ≡ x + 2y - 3 = 0 r2 ≡ 2 x + y - 5 = 0
De acuerdo con lo anterior, una de las bisectrices será:
x + 2y - 3 2x + y - 5
-------------------- = ---------------- haciendo operaciones y simplificando resulta:
√12 + 22 √22 + 12
x + 2y - 3 - (2x + y - 5) = 0 luego - x + y + 2 = 0
La otra ecuación sería
x + 2y - 3 2x + y - 5
-------------------- = ---------------- haciendo operaciones y simplificando resulta:
√12 + 22 - √22 + 12
x + 2y - 3 + (2x + y - 5) = 0 luego 3 x + 3 y - 8 = 0
Solución: Las ecuaciones de las bisectrices serán:
r1 ≡ - x + y + 2 = 0 r2 ≡ 3 x + 3 y - 8 = 0
NOTA: Se observa que ambas rectas son perpendiculares por tener sus pendientes recíprocas y opuestas como debía de ser.
Mediatriz. Nada dice al respecto el DRAE, DICMAT y CIRLEC. Se ve que tiene poca significación para los diccionarios y la enciclopedia.
Un libro de Geometría dirá que la mediatriz de un segmento es la perpendicular trazada a ese segmento en su punto medio.
Para definir la mediatriz hace falta:
- Un segmento de extremos AB.
- Su punto medio.
- En él trazar una perpendicular al segmento.
- Cualquier punto C(x y) que pertenezca a la mediatriz equidista de los extremos de segmento: esto es: AC = BC y, recíprocamente, todo punto que equidista de los extremos del segmento pertenece a la mediatriz
De acuerdo con esto podemos decir que la mediatriz de un segmento lo divide en dos partes iguales y cualquier punto de ella equidista de los extremos del segmento. Ver figura.
Expresadas las propiedades métricas de los puntos de la mediatriz de un segmento que se construye con regla y compás, hemos de resolverlo analíticamente para lo cual nos apoyamos en las propiedades métricas y en la expresión analítica de esas propiedades.
El problema consiste, pues, en determinar la ecuación de la mediatriz del segmento AB definido por sus extremos A(x1 y1) B(x2 y2). Tracemos un sistema cartesiano y en él el segmento AB y su mediatriz. Sea C(x y) un punto genérico de la mediatriz. Ver figura
Si AC = BC sus cuadrados también cumplen la igualdad; esto es : AC2 = BC2
Según vimos en el tema Geometría de la recta
AC2 = (x - x1)2 + (y - y1)2 = x2 - 2x x1 +x12 + y2 - 2yy1 + y12
BC2 = (x - x2)2 + (y - y2)2 = x2 - 2x x2 +x22 + y2 - 2yy2 + y22
Restando miembro a miembro las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta que AC2 - BC2 = 0 ya que AC = BC tendremos después de ordenar el resultado que:
0 = 2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) - (x2 - x1)(x2 + x1) - (y2 - y1)(y2 + y1)
Dividiendo por 2 y cambiando de miembro tendremos:
x(x2 - x1) + y(y2 - y1) - (x2 - x1)(x2 + x1)/2 - (y2 - y1)(y2 + y1)/2 = 0 (1)
Si O es el punto medio del segmento AB, sus coordenadas serán la media aritmética de las coordenadas de los extremos, luego:
xo = (x2 + x1)/2 yo = (y2 + y1)/2
La ecuación (1) la podemos escribir así:
x(x2 - x1) + y(y2 - y1) - (x2 - x1)xo - (y2 - y1)yo = 0
Sacando factor común (x2 - x1) e (y2 - y1) tendremos:
(x2 - x1)(x - xo) + (y2 - y1)(y - yo) = 0
Que es la ecuación de la mediatriz del segmento AB
La mediatriz pasa por el punto medio del segmento M(xo yo) ya que satisface su ecuación.
En efecto: si sustituimos x e y por xo e yo se cumple la ecuación.
Como ha de ser perpendicular a la recta que pasa por los puntos
A(x1 y1) B(x2 y2) la pendiente de esa recta será
y2 - y1 x2 - x1
m = --------- La de la mediatriz m' = - ---------- el producto mm' = -1
x2 - x1 y2 - y1
que es la condición de perpendicularidad luego:
(x2 - x1)(x - xo) + (y2 - y1)(y - yo) = 0
es la mediatriz del segmento AB por ser perpendicular a éste en su punto medio.
Ejemplo 12: Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por el origen de coordenadas y el punto (2 2). Determinar los segmentos que determinan sobre los ejes y si tiene alguna propiedad especial.
Datos: Coordenadas de los extremos del segmento (0 0) (2 2)
Incógnitas: a) Ecuación de la recta.
b) Segmentos que determina sobre los ejes.
c) Si tiene alguna propiedad especial:
Resolución:
a) Ecuación de la recta.
Partimos de la ecuación de la mediatriz:
(x2 - x1)(x - xo) + (y2 - y1)(y - yo) = 0
En ella conocemos x2 = 2 y2 = 2 x1 = 0 y1 = 0
Necesitamos conocer las coordenadas del punto medio, media aritmética de las coordenadas de los extremos xo = (2 + 0)/2 = 1 yo = (2 + 0)/2 = 1
Sustituyendo los valores dados y los obtenidos en la ecuación tendremos:
(2 - 0)(x - 1) + (2 - 0)(y - 1) = 0 operando tendremos: 2x - 2 + 2 y - 2 = 0
de donde
2x + 2y = 4 y simplificando x + y = 2 Que es la ecuación pedida.
b) Segmentos que determina sobre los ejes.
Si en la solución obtenida dividimos por 2 tendremos: x/2 + y/ 2 = 1 que es la ecuación canónica de la mediatriz en ella los segmentos que determina sobre los ejes es a = 2 b = 2
c) Si tiene alguna propiedad especial
La pendiente de la mediatriz es m = -1 luego loa mediatriz pedida es paralela a la bisectriz del 2º-4º cuadrantes y perpendicular en el punto (1 1) a la bisectriz del 1º-3º cuadrantes
Ejemplo 13
Rodrigo, un lector asiduo, a quien agradezco de veras sus consultas el 06-04-27 me pidió ayuda para resolver el problema que expreso de la forma siguiente:
Entre las rectas que pasan por A(3, 0) determinar aquellas cuyo trazo comprendido entre las rectas L1: 2x – y – 2 = 0 y L1: x + y + 3 = 0 quede dimidiada por el punto A.
He de confesar que era la primera vez que leía tal palabra: Dimidiada. He recurrido al diccionario y me encuentro con que dimidiar = demediar: Tr. Poco usado: Partir, dividir en mitades.
Sabiendo el significado de la palabra dimidiada me he aprestado a resolver el problema cuyo proceso de resolución expongo: Llamo la atención sobre este proceso e invito a los lectores a seguir los pasos que indico y cualquiera podrá concluirlo solo. Si alguien tiene alguna dificultad con él me lo dice y se lo concluyo.
Proceso de resolución de un problema que exponía a mis alumnos:
1º: Escribir el enunciado:
Entre las rectas que pasan por A(3, 0) determinar aquellas cuyo trazo comprendido entre las rectas L1: 2x – y – 2 = 0 y L1: x + y + 3 = 0 quede dimidiada por el punto A.
2º: Leer detenidamente el enunciado:
Suponemos que está hecho
3º: Discriminar datos e incógnitas:
Datos: Punto A(3, 0)
Rectas: L1 de ecuación: 2x – y – 2 = 0
L2 de ecuación: x + y + 3 = 0
Incógnita: Determinar aquellas rectas cuyo trazo comprendido entre las rectas L1 y L2 quede dimidiado por el punto A.
4º: Expresar propiedades, leyes, etc.. Que ligan datos con incógnitas:
La recta o rectas que pretendemos determinar pasan por el punto A(3, 0) luego deben pertenecer al haz de ecuación y = m(x – 3)
Una de las rectas del haz corta a L1 en el punto B (x1, y1) y a L2 en el punto C (x2, y2)
A(3, 0) es punto medio del segmento BC y por tanto sus coordenadas son la media aritmética de las coordenadas de los puntos B y C.
Las coordenadas del punto B(x1, y1) pertenecen a L1 luego satisfacen su ecuación.
Las coordenadas del punto C(x2, y2) pertenecen a L2 luego satisfacen su ecuación.
Conocidas las coordenadas de B y C podremos determinar la recta o rectas que perteneciendo al haz pasan por los puntos B y C
5º: Plantear el problema para lo cual hay que:
- Simbolizar los apartados 3º y 4º
El 3º Datos: Punto A(3, 0)
Rectas: L1 de ecuación: 2x – y – 2 = 0
L2 de ecuación: x + y + 3 = 0
El 4º: El haz que resuelve el problema tiene de ecuación: y = m( x -3)
Como B(x1, y1) pertenece a L1 satisfacen su ecuación luego debe cumplirse que 2x1 - y1 – 2 = 0
Como C(x2, y2) pertenece a L2 satisfacen su ecuación luego debe cumplirse que x2 + y2 + 3 = 0
A(3, 0) es punto medio del segmento BC y por tanto sus coordenadas son la media aritmética de las coordenadas de los puntos B y C, por tanto:
x1 + x2 y1 + y2
-------- = 3 --------- = 0
2 2
6º Escribir sistema resultante
x1 + x2 y1 + y2
-------- = 3 --------- = 0
2 2
2x1 - y1 – 2 x2 + y2 + 3 = 0
7º Resolver el sistema y la ecuación del haz:
El sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que resuelto nos dará las siguientes soluciones B(11/3, 16/3) y C(7/3, -16/3)
(Trabajo que te dejo a ti; todo no lo voy a hacer yo)
El haz que pasa por A(3, 0), según vimos, tiene de ecuación y = m( x -3)
Como los puntos A y B pertenecen al haz deben satisfacer su ecuación así
Sustituyendo sus coordenadas en la ecuación nos dará el mismo valor de m para las coordenadas de A y para las coordenadas de B m = 8
Luego la ecuación pedida es y = 8(x – 3) o escrita en su forma general:
8x – y - 24 = 0
8º Comprobar los resultados:
Te dejo para ti la comprobación de que la solución cumple las condiciones del problema
9º Discutir el problema:
Como los tres puntos B, A y C están alineados, las solución es única. Esto es: Hay una recta y solo una 8x – y - 24 = 0 que satisface el problema
email: marodgar@telefonica.net