Geometría Analítica: La hipérbola
Definiciones de:
Otros conceptos:
Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
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MATEMÁTICA ELEMENTAL
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué es una hipérbola?
¿Qué propiedades tiene?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más.
¿Qué dice el DRAE acerca de la hipérbola?
Hipérbola. Geom. Lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las generatrices a ambos lados del vértice. (El subrayado es mío para resaltar)
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
Su lectura nos conduce a dos definiciones de génesis distinta
Primera definición como lugar geométrico:
- La hipérbola es un lugar geométrico.
- La existencia de dos puntos fijos en el plano de la hipérbola.
- Una longitud constante que es diferencia de distancias de cualquier punto de la hipérbola a los puntos fijos.
Segunda definición como intersección:
- Sección de un cono circular por un plano.
- El plano corta a todas las generatrices del cono situadas a ambos lados del vértice.
(Los subrayado son míos para resaltar)
Hipérbola: Es la curva resultante al cortar a un cono y sus prolongaciones mediante un plano que es paralelo al eje del cono.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- Es una curva.
- Se obtiene por el corte de un cono y sus prolongaciones por un plano.
- El plano que corta tiene una disposición especial respecto del eje del cono: Ser paralelo.
(Los subrayado siguen siendo míos para resaltar)
Hipérbola. Geom. Curva plana de 2º grado (cónica) lugar geométrico de los puntos del plano para los cuales es constante la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos. Es una curva simétrica respecto al punto intersección de dos ejes perpendiculares entre sí (eje real y eje imaginario), el primero de los cuales contiene los focos; por este punto pasan dos rectas (asíntotas) que son tangentes en el infinito a cada una de las ramas de la hipérbola.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición del CIRLEC?
- La hipérbola es una curva plana; aclara que es de 2º grado que recibe el nombre de cónica
- La hipérbola es un lugar geométrico.
- La existencia de dos puntos fijos que se llaman focos.
- La diferencia de distancias de cualquier punto de la hipérbola a los focos es una longitud constante.
- La hipérbola es una curva simétrica respecto de un punto
- Tal punto es la intersección de dos ejes perpendiculares que se denominan: eje real y eje imaginario.
- En el eje real se sitúan los focos.
- Por el punto de intersección del eje pasan dos rectas que se llaman asíntotas.
- La hipérbola tiene varias ramas sin indicar cuantas.
- Las asíntotas son rectas tangentes a la hipérbola en el infinito.
De acuerdo con lo escrito anteriormente se puede decir que la hipérbola es una curva plana con una propiedad que sirve para definirla: La diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a dos puntos fijos llamados focos, es una cantidad constante.
La definición y consideraciones sobre el lugar geométrico así como la generación de la hipérbola y las otras cónicas como intercesión de un plano con una superficie cónica se encuentra en Las conicas. Si el lector no quiere usar el enlace recordamos la definición
Lugar geométrico: Conjunto de puntos que tienen una propiedad común.
Estudiaremos la hipérbola como lugar geométrico.
Se pueden decir más cosas derivadas de lo escrito que por ahora complicaría la cuestión. Volveremos a ellas más tarde.
Hasta ahora nos hemos limitado a la definición de la hipérbola. La Geometría Analítica ha de expresar, en forma de ecuación, las propiedades que se han enunciado para lo cual partimos de esas propiedades y las expresamos con ecuaciones.
Antes de entrar en ello, merece la pena hacer un análisis somero de la segunda parte de la definición del DRAE y la de DICMAT.
Vayamos con el DRAE que dice: (La hipérbola) Resulta de cortar un cono circular por un plano que encuentra a todas las generatrices a ambos lados del vértice.(El subrayado es mío para resaltar la idea).
El DRAE, una vez más, yerra en la definición por cuanto dice: "un cono circular" y debía decir "una superficie cónica circular". Veamos por qué. Un cono es un cuerpo y la sección con un plano es un recinto no una línea que es la hipérbola. No diferenciar un cono de una superficie cónica, además de ser un error conceptual serio, no dice nada bueno de la Real Academia de la Lengua.
El DRAE es impreciso
cuando dice; las
generatrices a ambos lados del
vértice. Esta expresión es ambigua y le obliga a explicar qué
significación tiene, para lo cual debería haber dicho que la
superficie cónica circular. (No voy a continuar con el error del DRAE y
decir cono), generada `por una recta en el espacio, que pasa por un punto
fijo y
se apoya sobre una circunferencia. La superficie cónica tendría dos ramas
opuestas por el vértice del cono. Ver nota más abajo.
Consideremos ahora la definición del DICMAT. (No olvidemos que se trata de un Diccionario de Matemáticas) que incurre en el mismo error del DRAE al confundir cono con superficie cónica por lo que le es de aplicación lo dicho para el DRAE.
En Las conicas, se incluye un gráfico que lo especifica.
Para obtener la ecuación de la hipérbola hemos de expresar las propiedades de sus puntos por medio de símbolos matemáticos.
Partimos de un sistema de ejes cartesiano en el plano que, como sabemos, está compuesto por dos rectas perpendiculares entre sí. En el eje horizontal, eje de abscisas, situamos los focos, de coordenadas C'(-c 0) y C(c 0), por lo tanto simétricos respecto del origen de coordenadas O(0 0).
Sea un punto P(x y) del plano que suponemos pertenece a la hipérbola. Por la propia definición cumplirá:
PC' - PC = 2a (1)
siendo a un valor fijo y determinado. Ver figura
P(x y) expresa las coordenadas de un punto genérico de la hipérbola. Para que P pertenezca a ella la diferencia de sus distancias a C y C' tiene que ser constante e igual a 2a . Ver figura.
Para calcular las distancias entre dos puntos se usa la fórmula de este enlace
_________________
AB = √(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
__________ __________
Así: PC = √(x - c)2 + y2 (2) : PC' = √(x + c)2 + y2 (3)
Si en (1) PC' - PC = 2a sustituimos PC y PC' por sus valores (2) y (3) tendremos:
__________ __________
√(x + c)2 + y2 - √(x - c)2 + y2 = 2a (4) que sería la ecuación de la hipérbola.
Sin embargo, la expresión (4) es compleja por lo que procede hacer algunas transformaciones que la simplifique.
NOTA: Sugiero al lector, como ejercicio algebraico, resolver la ecuación irracional (4) para lo cual debe actuar como sigue:
1.- Aislar en un miembro una de las raíces.
2.- Elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
3.- Desarrollar y reducir términos semejantes.
4.- Separar en un miembro la parte racional y en otro la irracional resultante del doble producto.
5.- Elevar de nuevo los dos miembros al cuadrado
6.- Reduzca términos semejantes y simplifique.
7.- Obtener la ecuación deseada.
Una vez hecho esto comprobar con el desarrollo que ofrezco a continuación y así confirmar o corregir lo obtenido en su desarrollo.:
1.- Aislar en un miembro una de las raíces.
___________ ___________
√ (x + c)2 + y2 = 2a + √ (x - c)2 + y2
2.- Elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación.
_____________ ____________
[√ (x + c)2 + y2]2 = [2a + √ (x - c)2 + y2]2
3.- Desarrollar y reducir términos semejantes.
___________
(x + c)2 + y2 = 4a2 + 4a√ (x - c)2 + y2 + (x - c)2 + y2
___________
x2 + c2 + 2cx+ y2 = 4a2 + 4a√ (x - c)2 + y2 + x2 + c2 - 2cx+ y2
___________
2cx = 4a2 + 4a√ (x - c)2 + y2 - 2cx
4.- Separar en un miembro la parte racional y en otro la irracional resultante del doble producto.
___________
- 4a√ (x - c)2 + y2 = 4a2 - 4cx sacando factor común
___________
- 4a√ (x - c)2 + y2 = 4(a2 - cx) Simplificando
___________
- a√ (x - c)2 + y2 = (a2 - cx)
5.- Elevar de nuevo los dos miembros al cuadrado
___________
[- a√ (x - c)2 + y2]2 = (a2 - cx)2
6.- Desarrollar y reducir términos semejantes y simplificar
a2 [(x - c)2 + y2]2 = (a4 - 2a2cx + c2x2)
.
a2 [x2 - 2cx + c2 + y2] = (a4 - 2a2cx + c2x2)
a2x2 - 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 - 2a2cx + c2x2 Eliminando términos semejantes
a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2 trasponiendo términos
a2x2 - c2x2 + a2y2 = a4 - a2c2 sacando factor común
x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2) (5)
7.- Obtener la ecuación deseada.
En la ecuación anterior (c2 - a2) = b2 (6) (Luego se demostrará)
Multiplicamos (5) por (- 1) resultando
x2(c2 - a2) - a2y2 = a2(c2 - a2) (7)
sustituyendo (6) en (7) resultará
x2b2 - a2y2 = a2b2 dividiendo los dos miembros por a2b2 resultará:
x2b2 a2y2 a2b2
----- - ----- = ------ Simplificando se obtiene la fórmula
a2b2 a2b2 a2b2
x2 y2
---- - ----- = 1
a2 b2
Que es la ecuación canónica de la hipérbola
Supongamos un sistema cartesiano y en el eje de abscisas se marcan los focos C'(-c o) y C(c o) de distancia focal 2c
Los puntos A'(-a 0) y A(a 0) pertenecen al hipérbola por cuanto cumplen la definición AC' - AC = 2a en efecto:
AC' = c + a AC = c - a
AC' - AC = c + a - (c - a) = c + a - c + a = 2a
Por simetría, el punto A'.
Dijimos más arriba que (c2 - a2) = b2
En la figura anterior trazamos el triángulo rectángulo de catetos a horizontal, b vertical y de hipotenusa c. a b se denomina semieje imaginario por encontrarse en el eje de ordenadas que no tiene ningún punto en común con la hipérbola.
La hipérbola tiene triple simetría:
Respecto del eje vertical Y'Y o eje imaginario
Respecto del eje horizontal X'X o eje real
Respecto del origen de coordenadas O(0 0)
En la gráfica están dibujadas
Por puntos:
a) De forma analítica:
La ecuación de la hipérbola constituye una función implícita que relaciona los valores de la variable x en un determinado intervalo con los valores de y en otro determinado intervalo. Esto quiere decir que para cada valor del siguiente intervalo xЄ(-∞ -a]È[a ∞)] le corresponde un valor de yЄ(-∞ ∞)
Para representar la hipérbola por puntos se procede a dar valores a x en el intervalo xЄ[a ∞) obteniendo en la ecuación el correspondiente de y.
Tomando la raíz positiva de y obtendremos las distintas coordenadas (x y) de los sucesivos puntos del primer cuadrante. Representado el primer cuadrante, por simetría, se pueden representar los demás obteniéndose el trazado completo. Cuantos más puntos se obtengan más se puede aproximar la elipse.
b) De forma gráfica:
Se dibuja un sistema de coordenadas y en él se trazan los focos F y F' y los vértices reales A' y A.
Aparte un segmento en el que trazamos la distancia A'A = 2a
Sabemos que los puntos A y A' pertenecen a la hipérbola. Si queremos dibujar puntos B, C, D, se marcan en la prolongación del segmento A'A los puntos B, C, D,.... haciendo centro respectivos en los focos F' y F se trazan sendos arcos con las longitudes A'B y AB. El punto de encuentro pertenecerá a la hipérbola. análogamente para encontrar los puntos C y D y cuantos se desee. Por simetría se pueden dibujar en los cuatro cuadrantes.
En google pueden encontrar diversas y llamativas formas de dibujar la que mi tosquedad informática no será capaz de mejorar.
El gráfico que se inserta más arriba, tomado de google, representa dos hipérbolas equiláteras con sus asíntotas. La de trazo azul tiene como eje imaginario el eje OY. La de trazo verde tiene como eje imaginario el eje OX. Las asíntotas en rojo.
Posiciones de una recta y una hipérbola
De la misma manera que consideramos en la circunferencia, desde el punto de vista métrico, una recta y una hipérbola, en el mismo plano, pueden adoptar estas posiciones: Ser exterior, tangente o secante.
En el primer caso, ser exterior, la hipérbola y la recta no tienen ningún punto común. En el segundo caso, ser tangente, la hipérbola y la recta tienen un punto común. En el tercer caso, ser secante, la hipérbola y la recta tienen dos puntos comunes. .
¿Cómo resolvemos el problema desde el punto de vista analítico?
Recordemos que en Geometría Analítica no hay figuras, solo ecuaciones. Así
Una hipérbola se expresa por su ecuación:
x2 y2
---- - ----- = 1
a2 b2
Una recta se expresa por su ecuación A'x + B'y + C' = 0
Resolviendo el sistema de segundo grado formado por ambas ecuaciones nos dará dos soluciones que, según sean, significarán su posición relativa: Así:
Si las raíces de la ecuación son reales y distintas la recta y la hipérbola se cortan
Si las raíces de la ecuación son reales e iguales la recta y la hipérbola son tangentes.
Si las raíces de la ecuación son imaginarias la recta y la hipérbola son exteriores.
Desde un punto de vista teórico quizá resultara interesante la solución del sistema propuesto que nos llevaría a expresiones largas y complejas. Como ya se hizo en la circunferencia, redundar parece innecesario.
La definición del CIRLEC incluía lo siguiente: "por este punto (el origen de coordenadas) pasan dos rectas (asíntotas) que son tangentes en el infinito a cada una de las ramas de la hipérbola".
Vayamos al concepto "Asíntota":
¿Qué dice el DRAE?
1. f. Geom. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una curva, sin llegar nunca a encontrarla.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- La asíntota es una recta
- Esa recta se prolonga indefinidamente sin llegar a encontrar a la curva.
¿Qué dice el DICMAT?
Es una línea que se aproxima mucho a una curva pero nunca llega a tocarla.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- La asíntota es una línea.
- Esa línea se aproxima "mucho" a la curva pero no llega a tocarla.
NOTA: He resaltado "mucho" para destacar un vocablo de tan poco carácter matemático aunque sea un adverbio de cantidad, Por tratarse de un diccionario de matemáticas debe exigírsele más rigor en sus definiciones.
¿Qué dice el CIRLEC?
Asíntota. Recta tangente a una curva e in punto situado en el infinito. La curva se aproxima cada vez más a la _ sin llegar a tocarla.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- La asíntota es una recta tangente a una curva
- El punto de encuentro con la curva se sitúa en el infinito.
- La curva se aproxima cada vez más a la asíntota sin tocarla
Síntesis de lo anterior
De acuerdo con lo escrito anteriormente se puede decir que la asíntota a una curva plana es una recta que se aproxima indefinidamente a la curva sin llegar a encontrarse.
En el gráfico que se inserta más arriba, tomado de google, las asíntotas en rojo.
En matemáticas el concepto "aproximarse indefinidamente" está ligada a la idea de límite cuando la variable tiende a infinito. Según eso, expresemos la ecuación o ecuaciones de las asíntotas a la hipérbola.
Partimos de una hipérbola de ecuación:
x2 y2
---- - ----- = 1
a2 b2
y de una recta que pasa por el origen de coordenadas de ecuación y = mx
El problema consiste en hallar la pendiente m de forma que la recta se aproxime indefinidamente a la hipérbola.
si resolvemos el sistema formado por ambas ecuaciones, sustituyendo el valor de y en la hipérbola por su valor en la recta, resultará:
x2 m2x2
---- - ----- = 1
a2 b2
Trasponiendo términos
x2 m2x2
---- - 1 = -----
a2 b2
Operando
x2 - a2 m2x2
--------- = -----
a2 b2
Despejando m2 tendremos:
b2(x2 - a2)
m2 = -------------
a2x2
Tomando límites tendremos:
b2(x2 - a2) b2
m2 = lim ------------- = -----
x-->∞ a2x2 a2
Extrayendo la raíz cuadrada resultará:
b
m = ± ----
a
Tenemos dos asíntotas
b b
y = --- x y = - --- x
a a
Si a = b las pendientes de las asíntotas valen ±1. Se trata de una hipérbola equilátera su ecuación se obtendría sustituyendo b por a en la ecuación:
x2 y2
---- - ----- = 1
a2 b2
Resultando x2 - y2 = a2 Que es la ecuación de la hipérbola equilátera
Si en las ecuaciones de las asíntotas,
b b
y = --- x y = - --- x
a a
sustituimos b por a obtendremos las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola equilátera: así:
a a
y = --- x = x y = - --- x = - x
a a
Tenemos dos asíntotas : y = x e y = - x
Podemos concluir así: Las asíntotas de una hipérbola equilátera son las bisectrices del primer-tercer cuadrante y del segundo-cuarto cuadrante y por tanto perpendiculares entre sí,
En la hipérbola equilátera nos encontramos con dos rectas perpendiculares, sus asíntotas, que pasan por el origen de coordenadas. Esas dos rectas pueden considerarse como otro sistema de coordenadas de referencia. Encontrar la ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas es el objeto de la siguiente cuestión:
Ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas
El problema consiste en expresar la ecuación de la hipérbola equilátera referida al sistema cartesiano al sistema XOY x2 - y2 = a2 en otra expresión desconocida referida a los ejes v'OY' obtenidos al girar 45º en sentido matemático positivo los ejes primitivos
Y' Y X'
X' Y Y'
La pregunta a responder es ¿Cómo se expresan las coordenadas del punto P(x' y') referidas al sistema X'OY' en función de las coordenadas del punto P(x y) en el punto P idéntico al anterior pero referidas al sistema XOY, cuando el sistema XOY gira a la derecha 45º (- 45º) para confundirse con el sistema X'OY'?
Transformación de coordenadas por rotación de los ejes
Veamos cómo se produce la transformación:
Supongamos que un sistema de ejes XOY rota un ángulo α, que no aparece signado en la figura. Sea un punto P de coordenadas P(x y) º P(x' y'). El origen de coordenadas le llamamos O.
Las coordenadas del punto P referidas al sistema cartesiano XOY se pueden expresar así:
x = OA = OB - AB = OB - CD (1) y = AP = AC + CP = BD + CP (2)
Las coordenadas del punto P referidas al sistema cartesiano X'OY' se pueden expresar así:
x' = OD y' = DP Expresemos x e y en función de x', y' y a para lo cual
OB = x' cos a CD = y' sen a BD = x' sen a CP = y' cosa
Sustituyendo estos valores en (1) y (2) tendremos:
x = OB - CD = x' cos a - y' sen a y = BD + CP = x' sen a + y' cosa
De donde resulan las siguientes fórmulas de transformación de coordenadas en la rotación de los ejes un ángulo a en el sentido matemático positivo. Esto es. cuando giran los ejes en sentido contrario a las agujas del reloj y son éstas:
x = x' cos a - y' sen a (3) y = x' sen a + y' cosa (4)
En el supuesto de girar un ángulo (- a) Esto es. cuando giran los ejes en el sentido de las agujas del reloj las ecuaciones se obtendrían sustituyendo en las ecuaciones (3) y (4) a por (- a) y son éstas:
x = x' cos (- a) - y' sen(- a) (3') y = x' sen (- a) + y' cos(- a) (4')
Con las propiedades estudiadas podemos encontrar la ecuación de una hipérbola equilátera referida a sus asíntotas.
La ecuación de la hipérbola equilátera referida al sistema de coordenadas XOY es:
x2 - y2 = a2 (5)
Las asíntotas a la hipérbola equilátera se obtienen girando un ángulo de (- 45º). Los valores de las razones trigonométricas reseñadas serán:
cos (- a) = cos a = √2/2 sen(- a) = - √2/2 Sustituyendo estos valores en (3') y (4') resultaría:
x = x' cos (- a) - y' sen(- a) = x' √2/2 - y' (- )√2/2 = √2/2(x' + y') (3")
y = x' sen (- a) + y' cos(- a) = x'(- √2/2) + y'√2/2 = √2/2(- x' + y') (4")
Sustituyendo (3") y (4") en (5) resultará:
[√2/2(x' + y')]2 - [√2/2(- x' + y')]2 = a2 haciendo operaciones resultará:
[1/2(x'2 + 2x'y'+ y'2)] - [1/2(x'2 - 2x'y'+ y'2)] = a2
{1/2[x'2 + 2x'y'+ y'2 - x'2 + 2x'y'- y'2] = a2}
Eliminando términos semejantes resultará finalmente: 1/2[ 4x'y'] = a2
Simplificando resultará finalmente: x'y' = a2/2
Si como es habitual se refiere al eje de coordenadas XOY, la ecuación de la hipérbola equilátera referida a sus asíntotas es
xy = a2/2 y su gráfica
x e y son las coordenadas de un punto de la hipérbola. También representan las distancias respectivas a los ejes cartesianos.. xy representa el producto de distancias a dos rectas perpendiculares de ahí que podamos definir:
El lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuyo producto de distancias a dos rectas perpendiculares de plano es una cantidad constante es una hipérbola equilátera.
xy = k expresa la proporcionalidad inversa y constituye una familia de hipérbolas equiláteras. Para cada valor de k una hipérbola.
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