Geometría Analítica: Las cónicas
Definiciones de:
Otros conceptos:
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MATEMÁTICA
ELEMENTAL
GEOMETRÍA ANALÍTICA: LAS CÓNICAS
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué son las cónicas?
¿Porqué se llaman así?
¿Cómo se clasifican?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tienen?
Es posible que se respondan algunas más.
¿Qué dice el DRAE acerca de las cónicas?
Cónico, ca. (Del gr, konicoV) adj. Geom. Perteneciente al cono.// 2 Geom. v. sección cónica: Geom. Cualquiera de las curvas que resultan de cortar la superficie de un cono circular por un plano; pueden ser círculos, elipses, hipérbolas y parábolas.
¿Qué conceptos se barajan en esta definición?
- Las cónicas son curvas:
- Se generan por la intersección o corte de un plano con la superficie de un cono circular.
De la definición se desprende una primera clasificación; esto es, las cónicas pueden ser:
- Círculos, elipses, hipérbolas y parábolas.
El DRAE en la definición matiza diciendo que se trata de "la superficie de un cono circular", por lo que conviene ver que dice de esto:
Cono circular: Geom. El de base circular.
Esta definición parece que ayuda poco.
Cono. Geom. Sólido generado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados.
Definición imprecisa. Si gira alrededor de uno de los catetos, lados del triángulo rectángulo, genera sendos conos, pero si gira alrededor de la hipotenusa, otro de los lados del triángulo rectángulo, genera dos conos distintos unidos por sus bases. Tampoco nos ayuda mucho.
Veamos lo que dice de la superficie cónica: Geom. la generada por una recta que pasa por un punto fijo, llamado vértice y recorre una curva dada.
De acuerdo con esto "la superficie de un cono circular" será aquella generada por una recta que pasa por un punto fijo, llamado vértice y recorre una circunferencia.
En razón de ello al cortar el plano la superficie cónica circular genera líneas no regiones. Es así que el círculo es una región plana, el concepto círculo no está bien reseñado en la clasificación del DRAE; en su lugar debería decir: circunferencia
.
En el mismo DRAE así lo reconoce: Círculo: Geom. área o superficie plana contenida dentro de la circunferencia.
Por tanto el círculo es la región y la circunferencia el "borde" de esa región.
De acuerdo con lo anterior, la clasificación del DRAE la rectificamos dejándola así:
Las cónicas pueden ser: Circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
Cónicas: conjunto de curvas que se obtienen al cortar con planos un cono circular formando diferentes ángulos. Son elipse, hipérbola y parábola.
Cualquier lector atento percibe que no parece muy brillante tal redacción. No se sabe quienes forman los ángulos ni con quien. Hay que volver a insistir que se trata de un ¡Diccionario de Matemáticas!
Cónica: Geom. Curva plana, lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) están en relación constante (excentricidad). si la excentricidad es igual a 1, la _ es una parábola; si es mayor que 1, una hipérbola; si es menor que 1, una elipse. Las pueden obtenerse cortando un cono por un plano que no pasa por el vértice.
El CIRLEC introduce conceptos que dispersarían nuestra atención en este momento. Nos quedamos con la parte común a los tres textos: considerar las cónicas como intersección de planos con las superficies cónicas. Lo demás será considerado más adelante.
NOTA: Impropiamente el CIRLEC habla de "cortar un cono" cuando debería decir "superficie cónica" ya que "cono" es un cuerpo. Al cortar un cuerpo por un plano determina una región no una línea.
De acuerdo con lo escrito anteriormente las cónicas son líneas curvas planas generadas por la intersección de un plano con una superficie cónica de revolución y se clasifican en:
Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.
Es evidente que al originarse la cónica en la intersección del plano con la superficie cónica, la mayor o menor inclinación del plano respecto al eje o la generatriz del cono influirá en la naturaleza de la cónica. Es lo que de modo impreciso señalaba el DICMAT.
Si el plano corta perpendicularmente al eje del cono, la cónica es una circunferencia.
Si el plano no corta perpendicularmente al eje del cono, ni es paralelo al eje o la generatriz, la cónica es una elipse.
Si el plano es paralelo al eje del cono, la cónica es una hipérbola.
Si el plano es paralelo a la generatriz del cono, la cónica es una parábola.
Ver figuras: (Tomadas de Geometría Métrica. Puig Adam. Madrid 1956) Del esquema que se reproduce más abajo, Lo relativo a la Geometría analítica, del punto y de la recta se ha desarrollado en los enlaces indicados y en otras cuestiones. Lo que se va a desarrollar en estos temas de las cónicas es la parte correspondiente del esquema que sería el inserto a continuación.
ESQUEMA DE LAS CÓNICAS
En la exposición de las distintas cónicas que aparecen en el esquema utilizaremos aquellos conceptos elementales que sean precisos definiéndolos y desarrollándolos conforme vayan siendo necesarios.
Así pues las cónicas pueden estudiarse de acuerdo con el esquema siguiente:
El primer apartado, Las cónicas como secciones de un plano con una superficie de revolución se estudiará en la Geometría métrica. Aquí se han reseñado simplemente con carácter informativo utilizando la forma clásica de generarlas, nombrarlas y clasificarlas, como ilustración.
En lo que sigue, al tratarse de Geometría Analítica usaremos el concepto de lugar geométrico apuntado en la definición del CIRLEC.
Lugar geométrico:
¿Qué dice el DRAE acerca del lugar geométrico?
Lugar geométrico: Línea o superficie cuyos puntos tienen una propiedad común: como la circunferencia , cuyos puntos equidistan de otro llamado centro.
Estudiaremos las cónicas: Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola como lugares geométricos.
NOTA: Obsérvese que en las definiciones del CIRLEC y el DICMAT, no aparece la circunferencia como cónica. La explicación la veremos más adelante ya que puede considerarse la circunferencia como un caso particular de la elipse o la elipse como proyección de la circunferencia sobre un plano no paralelo al que la contiene.:
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