Definiciones de potencia
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EXPRESIONES ANALÍTICAS DE LA PROPIEDADES MÉTRICAS DE LA CIRCUNFERENCIA: POTENCIA Y SUS DERIVADOS
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas
¿Cuales son las expresiones analíticas de las propiedades métricas estudiadas?
¿Cuales son sus expresiones algebraicas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más.
Para su desarrollo utilizaremos las propiedades métricas enunciadas en este enlace.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia:
En este enlace. se definió la potencia del punto P respecto de la circunferencia de esta manera:
Potencia de P = k2 = PA x PB = d2 - r2
Siendo r el radio de la circunferencia y d la distancia del punto al centro de la circunferencia.
Se trata de expresar en forma de ecuación la potencia de un punto P(x1 y1) respecto de la circunferencia de centro O(x0 y0) cuya ecuación es:
(x - x0)2 + (y - y0)2 - r2 = 0 (1)
La distancia d, entre el punto P(x1 y1) y el centro O(x0 y0) se expresa así:
d2 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2
Si en la fórmula de la potencia k2 = d2 - r2 sustituimos d, distancia entre el punto y el centro de la circunferencia por su valor tendremos: Si
Potencia del punto P = k2 = (x1 - x0)2 + (y1 - y0)2 - r2 (2)
Si comparamos (1) con (2) se observa que la potencia de un punto P respecto de una circunferencia se determina sustituyendo las coordenadas del punto P en la ecuación de la circunferencia. El valor así determinado será la potencia.
NOTA: Como hemos visto aquí, la ecuación de la circunferencia puede escribirse también así: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y la potencia de un punto P(x1 y1) se puede escribir así:
Potencia del punto P = k2 = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C
Posición de un punto respecto de una circunferencia:
Como vimos en las propiedades métricas enunciadas en este enlace el punto P puede ser exterior, interior o pertenece a la circunferencia.
Si el punto P es exterior, k2 > 0 en ese caso la potencia es positiva.
Si el punto P es interior, k2 < 0 en ese caso la potencia es negativa.
Si el punto pertenece a la circunferencia, k2 = 0 en ese caso la potencia es nula
Conclusión: Un punto P es exterior, interior o pertenece a la circunferencia según que su potencia sea mayor, menor o igual a cero
Eje radical de dos circunferencias:
Supongamos un punto P y dos circunferencias de centros O1 y O2 y radios respectivos r1 y r2 llamemos k1p y k2p a sus respectivas potencias.
(Por razones de comodidad operativa prescindo del cuadrado de k).
Puede ocurrir que k1p sea >,<, = que k2p
Prescindamos de la valores >,<, y pensemos sobre la igualdad; esto es, un punto que cumpla que sus potencias respectivas respecto de ambas circunferencias sean iguales esto es k1p = k2p
Supongamos otro punto Q cuyas potencias respecto de las dos circunferencias sean k1q y k2q y cumplan la condición de que sus valores sean iguales; esto es, k1q = k2q
Los puntos P y Q determinan una recta que se llama eje radical de las circunferencias y se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas potencias sen iguales respecto de dos circunferencias dadas.
Ver figura.
El eje radical tiene la propiedad de ser perpendicular a la línea que une los centros de la circunferencia. Tal propiedad se demostrará después.
¿Cómo determinamos su ecuación? Veámoslo:
Sean dos circunferencias situadas en el mismo plano de centros respectivos
O1(x1 y1) y O2 (x2 y2) y radios respectivos r1 y r2 sus ecuaciones serán
x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 (1)
x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0 (2)
Sea el punto genérico P(x y) en el plano de las circunferencias. Llamemos k1p y k2p a sus respectivas potencias. (Por razones de comodidad operativa prescindo del cuadrado de k)
El valor de la potencia de ese punto respecto de cada circunferencia será:
k1p = x2 + y2 + A1x + B1y + C1
Si k1p = k2p se cumplirá
k2p = x2 + y2 + A2x + B2y + C2
x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = x2 + y2 + A2x + B2y + C2
.
Simplificando y trasponiendo términos tendremos:
(A1 - A2)x + (B1- B2)y + (C1 - C2) = 0
Que es la ecuación de una recta cuyos puntos tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias luego la ecuación del eje radical de dos circunferencias será:
(A1 - A2)x + (B1- B2)y + (C1 - C2) = 0
Ecuación del eje radical de dos circunferencias
(A1- A2)x + (B1- B2)y + (C1 - C2) = 0
NOTA: Para determinar la ecuación del eje radical de dos circunferencias se escriben las ecuaciones de ambas circunferencias, se restan y la ecuación resultante es la del eje radical.
Ejemplo 1: Determinar el eje radical de las circunferencias:
x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y + 1 = 0
Restando miembro a miembro tendremos:
2x + 4y - 11 = 0
Que es la ecuación del eje radical de esas circunferencias. Cualquier punto que pertenezca a esa recta tiene la misma potencia respecto de las dos circunferencias.
Otra forma:
Si en vez de utilizar la expresión general usamos la forma (1) las potencias k1p y k2p para cada una de las circunferencias serán:
k1p = (x - x1)2 + (y - y1)2 - r12 = 0 k2p = (x - x2)2 + (y - y2)2 - r22
Si desarrollamos y ordenamos ambas ecuaciones tendremos:
k1p = x2 + y2 - 2xx1 - 2yy1 + x12 + y12 - r12
k2p = x2 + y2 - 2xx2 - 2yy2 + x22 + y22 - r22
Como k1p = k2p si restamos miembro a miembro ambas ecuaciones tendremos:
2x(x2 - x1) + 2y(y2 - y1) + x22 - x12 + y22- y12 - r22 + r12 = 0
Que sería la ecuación del eje radical en función de las coordenadas de los centros y radios de las circunferencias.
(x2 - x1)
La pendiente del eje radical sería me = - ---------- (*)
(y2 - y1)
La ecuación de la recta que une los centros O1(x1 y1) y O2 (x2 y2)
y - y1 x - x1
Sería: --------- = ----------
y2 - y1 x2 - x1
y2 - y1
Y su pendiente mc = ----------- (**)
x2 - x1
Si comparamos (*) con (**) observamos que tienen valores recíprocos y opuestos esto es:
mc = - 1/me
Que es la condición de perpendicularidad de dos rectas.
Por tanto: El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la línea que une los centros de ambas circunferencias.
Repito la NOTA: Para determinar la ecuación del eje radical de dos circunferencias se escriben las ecuaciones de ambas circunferencias, se restan y la ecuación resultante es la del eje radical.
Centro radical de tres circunferencias:
Como vimos en este enlace tres circunferencias de centros respectivos O1, O2 y O3 con ejes radicales e1, el de O1, O2, e2 el de O1, O3 y e3 el de O2, O3 Se llama Centro radical al punto de intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias que signamos con C. El Centro radical goza de la propiedad de tener la misma potencia respecto de las tres circunferencias ya que pertenece a todos los ejes radicales. Ver figura.
Para determinar el centro radical de tres circunferencias se procede como sigue:
Escritas las ecuaciones de las tres circunferencias tomadas dos a dos, se determinan sus ejes radicales. Se resuelve el sistema formado por dos cualesquiera de ellos y la solución dará las coordenadas del Centro radical.
Su cálculo se deja al arbitrio del lector.
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