Definiciones de potencia
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PROPIEDADES MÉTRICAS DE LA CIRCUNFERENCIA: POTENCIA Y SUS DERIVADOS
En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas
¿Además de las reseñadas qué propiedades tiene la circunferencia?
¿Cuales son sus características: Geométricas y analíticas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más.
Aunque el tema es de Geometría Analítica de la circunferencia, para situarse, parece aconsejable tratarlo desde un punto de vista de la Geometría Métrica y luego considerarlo desde el punto de vista analítico.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia:
¿Qué dice el DRAE acerca de este concepto?
No se refiere para nada a la Geometría, sí a la potencia de números que no nos sirve para nuestro objeto. También dice en su acepción:
Potencia: Capacidad generativa.
Potencia de un punto respecto a un círculo: Dados tres puntos alineados P, A y B, se llama potencia de P respecto al círculo el producto de PA x PB e incluye el siguiente gráfico:
Antes de continuar merece la pena hacer un comentario sobre lo que dice el DICMAT que no olvidemos se trata de un Diccionario de matemáticas.
1º La potencia del punto es respecto de la circunferencia y no del círculo. Para este diccionario parece que circunferencia y círculo son una misma cosa.
2º La potencia es respecto de y no respecto a
3º No sé que pinta el ángulo recto cual si fuera un sistema de coordenadas cartesianas sin referenciar y la colocación del punto P en el propio lado vertical del ángulo.
Todo ello mueve a confusión a un lector poco avezado.
Una de sus acepciones dice: _ de un punto respecto a una circunferencia. Dado una circunferencia de radio r y un punto P de su plano, es la constante que resulta de multiplicar las distancias existentes desde P a cada uno de los dos puntos en que una recta que pasa por P corta a la circunferencia.
El valor de la constante es d2 - r2.
¿Y una Geometría? (Puig Adam, Geometría Métrica 1º tomo Madrid 1956)
Potencia de un punto respecto de una circunferencia: Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante.
Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:
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Fuente |
Texto |
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DRAE |
No dice nada relevante para lo que nos ocupa |
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DICMAT |
Potencia de un punto respecto a un círculo: Dados tres puntos alineados P, A y B, se llama potencia de P respecto al círculo el producto de PA x PB e incluye el siguiente gráfico |
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CIRLEC |
La potencia de un punto respecto a una circunferencia. Dado una circunferencia de radio r y un punto P de su plano, es la constante que resulta de multiplicar las distancias existentes desde P a cada uno de los dos puntos en que una recta que pasa por P corta a la circunferencia; el valor de la constante es d2 - r2. |
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LIBRO DE GEOMETRÍA |
Si desde un punto del plano de una circunferencia se trazan secantes a la misma, el producto de distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante es una constante. |
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE? :
Nada se puede decir al respecto, por cuanto no aparece en el texto.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DICMAT? :
- Tener tres puntos alineados
- Un círculo. El gráfico que incluye sitúa a los puntos A y B en la periferia del círculo
- La potencia del punto respecto del círculo se determina como producto de las distancias PA x PB
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice CIRLEC?:
- Tener un punto y una circunferencia en el mismo plano.
- Una recta que, partiendo del punto, corta a la circunferencia en dos puntos. limitando dos segmentos entre el punto y los dos en que la recta corta a la circunferencia.
- La potencia del punto respecto de la circunferencia es una constante, cuyo valor es d2 - r2.
No dice nada del significado de los valores d y r.
¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el libro de Geometría?
- Tener un punto y una circunferencia en el mismo plano.
- Trazar secantes desde el punto a la circunferencia.
- Tales secantes delimitan dos segmentos en cada una
- La potencia del punto respecto de la circunferencia que se obtiene multiplicando las longitudes de los segmentos determinados por cada secantes es constante.
Examinadas detenidamente las definiciones anteriores se observa que para definir el concepto nos hace falta:
Una circunferencia y un punto. Nada dicen de la posición del punto respecto de la circunferencia, si es exterior, pertenece a ella o es interior. La omisión de este detalle nos induce a pensar que cualquiera que sea su posición podrá calcularse su potencia.
Desde el punto se traza una recta secante en dos puntos con la circunferencia.
Los tres puntos determinan dos segmentos en uno de cuyos extremos ha de estar el punto dado del cual se define la potencia.
Que puede trazarse más de una recta secante que cortara a la circunferencia en puntos distintos y alineados con el punto dado. Los tres puntos de cada secante determinan sendos segmentos en uno de cuyos extremos ha de estar el punto dado del cual se define la potencia.
El valor de la potencia constante y se calcula mediante la fórmula d2 - r2. sin definir que simbolizan d y r
NOTA: No tenemos en cuenta lo del círculo del DICMAT que debe considerarse como circunferencia y que por error lo ha transcrito como círculo.
Tenemos los elementos suficientes para adentrarnos en el concepto desde un punto de vista de la geometría métrica y después lo trasladaremos a la Geometría Analítica.
Sea el punto P, exterior a la circunferencia, desde el que se traza una secante a la circunferencia que la corta en los puntos A y B. Ver figura.
Los tres puntos determinan los segmentos PA y PB y su producto PA x PB constituye, por definición, la potencia del punto P respecto de la circunferencia. Como se trata de un producto de dos longitudes. de aquí en adelante llamaré a la potencia k2
Potencia de P = k2 = PA x PB
La constancia del valor de la potencia exige que cualquiera que sea la secante dará el mismo resultado. Esto es, si desde P trazamos otra secante a la circunferencia que la corta en los puntos A' y B'. ver figura. se ha de cumplir:
Potencia de P = k2 = PA x PB = PA' x PB'
Hemos de probar esa propiedad para lo cual utilizamos algunas propiedades de los ángulos de la circunferencia y la semejanza de triángulos. Supuesta trazadas las dos secantes se unen los puntos A con B' y A' con B. Ver figura siguiente.
Con este trazado se han construido dos triángulos el PA'B y el PAB' que tienen las siguientes propiedades:
- El ángulo P es común a ambos triángulos
- Los ángulos PA'B y PAB', al tener el mismo suplemento son iguales ya que:
Ángulo BA'B' = Ángulo BAB' , suplementos respectivos de los ángulos PA'B y PAB', son iguales por ser inscritos en la circunferencia.
Al tener los dos triángulos PA'B y PAB' dos ángulos respectivos iguales, son semejantes, luego sus lados homólogos son proporcionales; esto es:
PA PB'
------ = ----- de donde PA x PB = PA' x PB'
PA' PB
Como las rectas PAB y PA'B' son arbitrarias, ese valor es constante cualquiera que sean el par de rectas que se elijan y corten a la circunferencia, luego:
Potencia de un punto P respecto de una circunferencia k2 = PA x PB
Hemos repetido que las rectas son arbitrarias y secantes con la circunferencia ¿Y si son tangentes? Ver figura
A partir de P se han trazado dos semirrectas PT y PT' que coinciden. De acuerdo con la definición la potencia se calcularía:
k2 = PT x PT' y al coincidir T con T', PT = PT' = PT2
He dicho más arriba, extraído de la definición del CIRLEC que el valor de la potencia, constante, se calcula mediante la fórmula d2 - r2. sin definir que simbolizan d y r.
Vayamos a ello. Las rectas que parten de P y cortan a la circunferencia son arbitrarias. (Arbitraria quiere decir, la que se quiera). Una de ellas puede ser la que pasa por el centro O de la circunferencia y otra, para ligarlo con lo anterior tangente. Ver figura.
Llamamos d = PO, distancia entre el punto P y el centro O de la circunferencia y
r a su radio
La potencia de P respecto de la circunferencia de centro O será: k2 = PA x PB (1)
AT= OB = r PA = PO -AO = d - r y PB = PO + OB = d + r
Sustituyendo en (1) tendremos:
k2 = PA x PB = (d - r)(d + r) = d2 - r2 (2)
Ya se ha justificado la expresión contenida en la definición del CIRLEC que el valor de la potencia, constante, se calcula mediante la fórmula d2 - r2. Asimismo hemos definido lo que simbolizan d distancia entre el punto y el centro de la circunferencia y r, su radio.
Como el triángulo PTO es rectángulo ya que la tangente y el radio son perpendiculares en el punto de tangencia, (propiedad de las tangentes a la circunferencia), le es de aplicación el teorema de Pitágoras. PT es un cateto. PO = d la hipotenusa y TO = r luego:
PT2 = d2 - r2 = k2 Valor constante
Posición de un punto respecto de una circunferencia:
Siempre hemos considerado a P exterior a la circunferencia pero ¿Qué ocurre si P es interior? ¿Y si pertenece a la circunferencia?
Veámoslo:
Si el punto P es exterior, d > r y d2 > r2 y d2 - r2 > 0 en ese caso la potencia es positiva.
Si el punto P es interior, d < r y d2 < r2 y d2 - r2 < 0 en ese caso la potencia es negativa.
Si el punto pertenece a la circunferencia, d = r y d2 = r2 y d2 - r2 = 0 en ese caso la potencia es nula
Conclusión: Un punto P es exterior, interior o pertenece a la circunferencia según que su potencia sea mayor, menor o igual a cero
Eje radical de dos circunferencias:
Supongamos un punto P y dos circunferencias de centros O1 y O2 y radios respectivos r1 y r2 llamemos k1p y k2p a sus respectivas potencias.
(Por razones de comodidad operativa prescindo del cuadrado de k).
Puede ocurrir que k1p sea >,<, = que k2p
prescindamos del >,<, y pensemos sobre la igualdad; esto es, un punto que cumpla que sus potencias respectivas respecto de ambas circunferencias sean iguales esto es k1p = k2p
Supongamos otro punto Q cuyas potencias respecto de las dos circunferencias sean k1q y k2q y cumplan la condición de que sus valores sean iguales; esto es, k1q = k2q
Los puntos P y Q determinan una recta que se llama eje radical de las circunferencias y se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas potencias sen iguales respecto de dos circunferencias dadas.
Ver figura.
El eje radical tiene la propiedad de ser perpendicular a la línea que une los centros de la circunferencia.
Si las circunferencias son tangentes, el punto de tangencia, por pertenecer a ambas circunferencias, tiene potencia nula respecto de las dos circunferencias. El eje radical de dos circunferencias tangentes sería la perpendicular trazada a la línea de centros en el punto de tangencia. Ver figura.
Lo mismo ocurre si las tangentes son interiores. Ver figura
Si las circunferencias son secantes se cortarán en dos puntos que por pertenecer a ambas circunferencias tienen potencia nula respecto de las dos circunferencia. El eje radical de dos circunferencias secantes sería la recta que une ambos puntos de intersección. Ver figura.
¿Y si las circunferencias son interiores? Pueden ocurrir dos casos:
1º Que sean concéntricas. En ese caso no existe ningún punto que cumpla la condición del eje radical, Por tanto, dos circunferencias interiores concéntricas carecen de eje radical.
2º Que sean interiores no concéntricas. su construcción sería como sigue:
Sean dos circunferencias interiores de centros O1 y O2 . Se traza una circunferencia auxiliar de centro O3 que corte a las circunferencias dadas y cuyo centro no esté alineado con los centros de esas circunferencias. Se trazan los ejes radicales de O1 y O3 y O2 y O3 que se cortará en un punto P que por pertenecer a ambos ejes radicales pertenecerá al eje radical de O1 y O2 Desde P se traza la perpendicular a la línea que une los centros y se habrá construido el eje radical pedido. Ver figura.
Centro radical de tres circunferencias:
Sean tres circunferencias de centros respectivos O1, O2 y O3 con ejes radicales e1, el de O1, O2, e2 el de O1, O3 y e3 el de O2, O3 Se llama Centro radical al su punto de intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias que signamos con C. El Centro radical goza de la propiedad de tener la misma potencia respecto de las tres circunferencias ya que pertenece a todos los ejes radicales. Ver figura.
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