Progresiones
Definiciones de:
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En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué son las progresiones?
¿Cómo se clasifican?
¿Qué elementos intervienen en las progresiones?
¿Cómo se operan con ellas?
¿Qué aplicaciones tiene?
Es posible que se respondan algunas más.
¿Qué dice el DRAE acerca de las progresiones?
Progresión. Mat. Sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una ley de formación constante, bien porque mantienen su diferencia en lo que consiste la progresión aritmética bien porque mantienen su razón o cociente que es la progresión geométrica.|| Ascendente. Mat. aquella en que cada término tiene mayor valor que el antecedente.|| Descendente. Mat. aquella en que cada término tiene menor valor que el antecedente
Se observa que para definir el concepto Progresión, utiliza los siguientes conceptos, que es preciso conocer:
- Sucesión de números
- Términos algebraicos
- Una ley de formación constante que consista en:
- Mantener la diferencia de los términos algebraicos o
- Mantener el cociente de los términos algebraicos
Ambas leyes de formación conducen a una primera clasificación:
- Progresión aritmética si la diferencia de los términos es constante o
- Progresión geométrica si el cociente de los términos es constante.
También establece otra clasificación:
Ascendente aquella en que cada término tiene mayor valor que el antecedente.
Descendente aquella en que cada término tiene menor valor que el antecedente.
Invito al lector a reflexionar sobre la definición del DRAE manifiestamente mejorable. Volveremos sobre ello.
¿Y el CIRLEC qué dice?
Progresión. Mat. En sentido genérico, conjunto de números cada uno de los cuales se forma a partir del anterior con arreglo a una ley constante. Si cada cada número o término de la _ es mayor que el precedente la _ es creciente; en caso contrario es decreciente. Según sea indefinida o no la _ se llama infinita o finita, respectivamente. La _ se llama aritmética, cuando es constante la diferencia d (llamada razón de la _) entre cada número y el que le precede; un término enésimo cualquiera an, viene dado por:
an = a1 + (n - 1) d; siendo a1, el primer término de la _; la suma S de los n primeros términos viene dada por:
a1 + an
S = ---------- n
2
La _ se llama geométrica, cuando es constante el cociente r (razón de la _) entre cada número y el que le precede; el término enésimo an, viene dado por: an = a1 rn-1 la suma S de los n primeros términos es:
a1 - an r
S = ----------
1 - r
Una _ se llama armónica si los inversos de sus términos están en _ aritmética.
Se observa que para definir el concepto Progresión, utiliza los siguientes conceptos, que es preciso conocer:
- Conjunto de números o términos
- Una ley constante
- Incluye símbolos y fórmulas diversas
A continuación hace una primera clasificación:
Creciente si cada término es mayor que el precedente.
Decreciente en caso contrario (hemos de suponer que cada término es menor que el precedente)
También establece otra clasificación:
- Progresión aritmética cuando es constante la diferencia d de cada número y el que le precede
- Progresión geométrica cuando es constante el cociente r entre cada término y el precedente
- Progresión armónica si los inversos de sus términos están en _ aritmética
Invito al lector a reflexionar sobre la definición del CIRLEC en la que no sigue un mismo criterio de exposición. Sirva como ejemplo el uso indistinto de número y término. Volveremos sobre ello.
¿Y el DICMAT?
No aparece el concepto progresión. Sí el de
progresión aritmética: Progresión que existe cuando en una sucesión o una serie la diferencia entre dos elementos consecutivos es siempre la misma, p. ej. 2, 7, 12, 17 ....
Se observa que para definir el concepto Progresión aritmética, utiliza el concepto progresión sin haberlo definido previamente. También utiliza los siguientes conceptos, que es preciso conocer:
- Sucesión o serie. Da la impresión de que los considera como conceptos sinónimos cuando no lo son
- Elementos de la progresión
- Diferencia constante entre dos elementos consecutivos.
- Usa un ejemplo numérico.
Resulta bastante deprimente que un Diccionario de Matemáticas use en la definición de un concepto particular , Progresión aritmética, un concepto más general Progresión, sin haberlo definido previamente.
También define así el DICMAT la
Progresión armónica: Tres números a, b y c, están en progresión armónica cuando:
a a - b
---- = --------
c b - c
No dice nada de la Progresión geométrica, siendo esta de mayor uso que la armónica. Ya no me sorprende nada en este diccionario.
¿Qué dice el libro de Matemáticas?
No aparece el concepto progresión. Sí el de
- Progresión aritmética es una sucesión de números:
a1 , a2 , a3 ....... an tales que cada uno de ellos es igual al anterior más una cantidad constante
También define
- Progresión geométrica es una sucesión de números:
a1 , a2 , a3 ....... an tales que cada uno de ellos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante
Se observa que para definir ambos tipos de progresiones utiliza los siguientes conceptos, que es preciso conocer:
- Sucesión de números
- Simbolización de esos números
- Una ley de formación que depende del tipo de progresión:
Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:
Resumen de los conceptos aparecidos en las distintas definiciones
| Fuente | Texto |
| DRAE |
Sucesión de números Términos algebraicos Una ley de formación constante que consista en: - Mantener la diferencia de los términos algebraicos o - Mantener el cociente de los términos algebraicos |
| CIRLEC |
- Conjunto de números o términos - Una ley constante - Incluye símbolos y fórmulas diversas |
| DICMAT |
Sucesión o serie. Da la impresión de que los considera como conceptos sinónimos cuando no lo son Elementos de la progresión Diferencia constante entre dos elementos consecutivos. Usa un ejemplo numérico. |
| LIBRO DE MATEMA TICAS |
Sucesión de números Simbolización de esos números Una ley de formación que depende del tipo de progresión: |
Se observa que aparecen en tres ocasiones el concepto sucesión y en una, conjunto de números.
Da a entender que el concepto de sucesión y conjunto de números guardan entre sí alguna relación.
¿Qué dice el DRAE al respecto?
Sucesión: Mat. Conjunto ordenado de términos que cumplen una ley determinada.
Se tiene información suficiente para concluir que de todo lo dicho se desprende la siguiente definición de
Progresión: Sucesión cuyos términos guardan una relación constante.
Los términos se simbolizan así: a1 , a2 , a3 ....... an
Obsérvese que los subíndices son números naturales.
Por tanto siguen una secuencia ordenada. así:
a1 = 1º término
a2 = 2º término
a3 = 3º término
Los puntos suspensivos expresan los términos intermedios
an = Término enésimo o que ocupa el lugar n. Se considera
como la expresión del término general
Atendiendo a sus valores se pueden clasificar en:
Ascendentes o crecientes, si cada término es mayor que el anterior Así: a1 < a2 < a3 <.......< an-1 <an
Descendentes o decrecientes, si cada término es menor que el anterior Así: a1 > a2 > a3 >...> an-1>an
En lo sucesivo llamaré por los nombres usuales de estas progresiones:
Crecientes o decrecientes
Atendiendo a la ley de formación de sus términos se pueden clasificar en:
Progresión aritmética cuando es constante la diferencia d de dos términos consecutivos. Esto es:
d = a2 - a1 = a3 - a2 =....... an - an-1
De esto se desprende que las progresiones serán:
Crecientes si d > 0
Decrecientes si d < 0
¿Qué ocurre cuando d = 0? Es este caso todos los términos de la progresión son iguales en ese caso la progresión recibe el nombre de Constante.
- Progresión geométrica cuando es constante el cociente r de dos términos consecutivos. Esto es:
r = a2 : a1 = a3 : a2 =....... = an : an-1
De esto se desprende que las progresiones serán:
Crecientes si r > 1
Decrecientes si 0 < r < 1
¿Qué ocurre cuando r = 1? Es este caso todos los términos de la progresión son iguales en ese caso la progresión recibe el nombre de Constante.
¿Qué ocurre cuando r < 0? Es este caso como el cociente es negativo, dos términos consecutivos de la progresión han de tener signos opuestos; en ese caso la progresión recibe el nombre de Alternada
¿Qué ocurre cuando r = 0? Este caso no puede darse.
- Progresión armónica: Se nos ha ofrecido dos definiciones aparentemente distintas:
El Cirlec lo define así:
- Progresión armónica: si los inversos de sus términos están en progresión aritmética.
OBSERVACIÓN: El inverso de un número se determina dividiendo la unidad por ese número.
El DICMAT lo define así:
Progresión armónica: Tres números a, b y c, están en progresión armónica cuando:
a a - b
---- = --------
c b - c
Comparemos ambas definiciones por si son equivalentes:
Si lo tres números a, b y c, están en progresión armónica deberá cumplirse que: 1/a ; 1/b ; 1/c están en progresión aritmética:
1 1 1 1
Eso significa que : --- - --- = --- - ----
b a c b
a - b b - c
Operando resulta: --------- = --------
ba cb
a - b ba
Permutando los medios resulta: --------- = --------
b - c cb
a - b a
Simplificando el segundo miembro resulta: ------- = ----
b - c c
Que es la misma expresión del DICMAT
En este tema sólo trataré las progresiones aritméticas y geométricas. No se dirá nada de las progresiones aritmético-geométricas ni hipergeométricas. Si algún lector interesado quiere saber de ellas me escribe con lo que necesite y le ayudaré en lo que pueda. Las armónicas se han reseñado porque se definían en los diccionarios. A ellas le son de aplicación lo que se diga en las progresiones aritméticas.
En la definición del CIRLEC incluía algunas fórmulas tales como estas:
Un término enésimo cualquiera an, viene dado por:
an = a1 + (n - 1) d; siendo a1, el primer término de la progresión; la suma S de los n primeros términos viene dada por:
a1 + an
S = ---------- n
2
Sabemos, pues, que una sucesión se expresa, simbólicamente, así: a1 , a2 , a3 ....... an siendo:
a1 = al primer término
a2 = al segundo término
a3 = al tercer término
Y así sucesivamente
an = al término enésimo
n = número natural que expresa el número de términos
d = la diferencia de dos términos consecutivos.
También sabemos que:
d = a2 - a1
= a3 - a2 =....... an - an-1
De estas igualdades se deduce que:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d
Se observa que un término cualquiera puede obtenerse sumándole al anterior la diferencia constante d, así:
an = an-1 + d
TambIén puede obtenerse observando la ley de formación. Cada término es igual al primero más tantas veces la diferencia como términos le preceden así:
an = a1 + (n - 1)d
Otra de las fórmulas que nos ofrecía el CIRLEC era que la suma S de los n primeros términos viene dada por:
a1 + an
S = ---------- n
2
Vamos a justificarla:
La suma de los n términos de una progresión aritmética se simbolizaría así:
S =Sj aj = a1 + a2 + a3 + a4 , ....... an-3 + an-2 + an-1 + an
OBSERVACIÓN: j es un contador que va tomando los valores naturales desde j = 1 a j = n
Escrita en orden inverso sería:
S = Sj aj = an + an-1 + an-2 + an-3 , ....... a4 + a3 + a2 + a1
Si sumamos miembro a miembro estas igualdades tendríamos la siguiente expresión:
n sumandos iguales
2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) +..... +(a1 + an)
Como veremos después las expresiones entre paréntesis son iguales entre sí. Esto es:
(a1 + an) = (a2 + an-1) = (a3 + an-2) =..... = (an + a1)
por tanto
2S = (a1 + an) n despejando S resultaría
(a1 + an)
S = ----------- n
2
Que se puede enunciar así: La suma de los términos de una progresión aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicado por el número de términos
Queda por probar que:
(a1 + an) = (a2 + an-1) = (a3 + an-2) =..... = (an + a1)
Tomemos como referencia los términos del primer miembro que son los términos extremos de la progresión:
Sabemos que a1 = a1 y
an = a1 + (n - 1) d luego sumando
-----------------------
a1 + an = 2a1 + (n - 1) d
Tomemos la pareja del segundo miembro cuyos términos son equidistantes de los extremos:
Sabemos que a2 = a1 + d y
an-1 = a1 + (n - 2) d luego sumando
-----------------------
a2 + an-1 = 2a1 + d + (n - 2)d asociando términos
a2 + an-1 = 2a1 + (n - 1)d
Tomemos dos términos cualesquiera equidistantes de los extremos: ar y an-r+1
Sabemos que ar = a1 + (r - 1) d y
an-r+1 = a1 + (n - r) d luego sumando
-----------------------
ar + an-r+1 = 2a1 + (r - 1) d + (n - r)d asociando términos
ar + an-r+1 = 2a1 + (n - 1)d c.s.q.p.
Ejemplos de ejercicios de progresiones aritméticas:
Los ejercicios relativos a las progresiones aritméticas que se nos propongan para resolver, están relacionados con los conceptos que en el tema se han barajado. Se utilizaran los símbolos que se han reseñado y las fórmulas deducidas, que son:
a1 = al primer término
a2 = al segundo término
Y así sucesivamente
an = al término enésimo, último término o término general
n = número natural que expresa el número de términos
d = la diferencia de dos términos consecutivos.
S = Suma de los n términos de una progresión aritmética
También sabemos que:
d = a2 - a1
= a3 - a2 =....... an - an-1
an = an-1 + d an = a1 + (n - 1)d
(a1 + an)
S = ----------- n
2
En función de los datos que ofrezca el problema y lo que se desee calcular, la estrategia consiste en escribir los datos y utilizar el concepto y fórmulas adecuadas; expresarlo en forma de ecuación o sistema de ecuaciones y resolverlas
Ejemplos y ejercicios de progresiones aritméticas:
1º El primer término de una p.a. es 5 su diferencia 2 escribir los cuatro primeros términos.
Datos: a1 = 5 d = 2
Incógnitas: a1, a2, a3, a4,
Resolución: Como cada término es igual al anterior más la diferencia será:
a1 = 5; a2 = 5 + 2 = 7; a3 = 7 + 2 = 9; a4 = 9 + 2 = 11
Los cuatro términos de la progresión será: 5, 7, 9, 11
Se trata de una progresión aritmética creciente
2º El séptimo término de una p.a. es 3 su diferencia es -3 Determinar el primer término.
Datos: a7 = 3 d = -3 n = 7
Incógnita: a1
Se trata de una progresión aritmética decreciente al ser negativa la diferencia
Resolución: escribimos la fórmula del término general. an = a1 + (n - 1)d
en ella sustituimos los datos
3 = a1 + (7 - 1) (-3) operando resulta: 3 = a1 - 18 de donde 3 + 18 = a1
a1 = 21
3º Los términos tercero y séptimo son, respectivamente, 10 y 34. Determinar el primer término y escribir los tres términos siguientes.
Datos: a3 = 10; a7 = 34
Incógnitas= a1 y a2,a3, a4
Resolución: escribimos la fórmula del término general. an = a1 + (n - 1)d
en ella sustituimos los datos aplicándosela al 3º y séptimo término así:
a3 = a1 + (3 - 1)d Que se transforma en 10 = a1 + 2d
a7 = a1 + (7 - 1)d Que se transforma en 34 = a1 + 6d
Que constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos restando a la segunda ecuación, la primera (método de reducción)
Resultando 24 = 4d de donde d = 24/4 = 6; luego d = 6
Sustituyendo este valor en la primera ecuación resultará: 10 = a1 + 2 x 6 de donde
a1 = 10 - 12 = -2
Luego a1 = -2 y d = 6 Con estos valores podemos escribir los tres términos siguientes:
a2 = a1 + d = -2 + 6 = 4
a3 = a2 + d = 4 + 6 = 10
a4 = a3 + d = 10 + 6 = 16
4º Calcular la suma de los términos de las progresiones de los dos primeros ejercicios anteriores.
(a1 + an)
En todos los casos la fórmula a utilizar será: S =----------n
2
Caso 1º Calcular la suma de los cuatro términos de una progresión aritmética cuyos datos son:
a1 = 5; a4 = 11 n= 4
5 + 11
Sustituyendo en la fórmula tendremos: S = --------- 4
2
Operando resultará S = 8 x 4 = 32
Caso 2º Calcular la suma de los siete términos de una p.a. cuyo séptimo término es 3 su diferencia es -3.
(a1 + an)
En la fórmula de la suma S = ----------- n conocemos:
2
n = 7; an = a7 = 3 d = -3
Incógnitas S y a1
(a1 + 3)
Sustituyendo valores será S = ----------- 7
2
ecuación con dos incógnitas por lo que precisamos una 2ª ecuación que se obtendrá por aplicación de la fórmula:
an= a1 + (n - 1)d Sustituyendo resultará:
3= a1 + (7 - 1)(-3); operando resultará: 3= a1 + 6(-3)
3 = a1 -18 de donde a1 = 21
Sustituyendo en la ecuación anterior resultará
21 + 3
S = ---------- 7 = 12 x 7 = 84
2
5º Tres números r, s, y t están en progresión aritmética determinar las condiciones que han de cumplir estos números.
Por definición se ha de cumplir que:
s = r + d
t = s + d
Restando de la segunda ecuación la primera resultará:
t - s = s - r de donde trasponiendo términos
t + r
t = 2s - r y s = ------
2
El tercer número ha de ser igual al doble del segundo menos el primero
El segundo número ha de ser igual a la semisuma de los otros dos.
En la definición del CIRLEC incluía algunas fórmulas tales como estas:
Un término enésimo cualquiera an, viene dado por:
an = a1 rn-1 la suma S de los n primeros términos es:
a1 - an r
S = ----------
1 - r
Sabemos, pues, que una sucesión se expresa, simbólicamente, así: a1 , a2 , a3 ....... an siendo:
a1 = al primer término
a2 = al segundo término
a3 = al tercer término
Y así sucesivamente
an = al término enésimo
n = número natural que expresa el número de términos
r = la razón o cociente de dos términos consecutivos.
También sabemos que:
r = a2 : a1
= a3 : a2 =....... an : an-1
De estas igualdades se deduce que:
a2 = ra1
a3 = ra2 = rra1 =a1 r2
a4 = ra3 = ra1 r2 =a1 r3
y así sucesivamente.
Se observa que un término cualquiera puede obtenerse multiplicando el anterior por la razón constante r, así:
an = r an-1
TambIén puede obtenerse observando la ley de formación. Cada término es igual al primero multiplicado por la potencia de r cuyo exponente es iguala los términos que le preceden así:
an = a1 rn-1
Otra de las fórmulas que nos ofrecía el CIRLEC era que la suma S de los n primeros términos viene dada por:
a1 - an r
S = ----------
1 - r
Vamos a justificarla:
La suma de los n términos de una progresión geométrica se simbolizaría así:
S = Sj aj = a1 + a2 + a3 + a4 , ....... an-3 + an-2 + an-1 + an (1)
Recordemos que j es un contador que va tomando los valores naturales desde j = 1 a j = n
Si los dos miembros de la igualdad anterior se multiplican por la razón r resultaría:
rS = ra1 + ra2 + ra3 + ra4 , ....... ran-3 + ran-2 + ran-1 + ran (2)
Por la definición de progresión geométrica al multiplicar cada término por la razón nos da el siguiente así:
ra1 = a2
ra2 = a3 y así sucesivamente la igualdad (2) se puede escribir así:
rS = a2 + a3 + a4 , ....... + an-1 + an + ran (3)
Restando miembro a miembro las igualdades (1) y (3), resultaría:
S - rS = S(1- r) = a1 - ran
a1 - ran
Despejando S resultaría: S = ----------
(1- r)
o esta otra forma, más usual resultante de cambiar el signo a los dos términos de la fracción:
(ran - a1)
S = -----------
r - 1
Que se puede enunciar así: La suma de los términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón, menos el primer término y su resultado dividido por la razón menos una unidad.
Producto de los términos de una progresión geométrica:
El Producto de los términos de una progresión geométrica se simbolizaría así:
P = ∏j = a1.a2.a3.a4........an-3.an-2.an-1.an
Volvemos a recordar que j es un contador que va tomando los valores naturales desde j = 1 a j = n
Escrita en orden inverso sería:
P = ∏j = an.an-1.an-2.an-3.........a4.a3.a2.a1
Si multiplicamos miembro a miembro estas igualdades tendríamos la siguiente expresión:
n paréntesis
P2 = (a1.an) (a2 . an-1) (a3 . an-2) .......(a1 . an)
Como veremos después las expresiones entre paréntesis son iguales entre sí. Esto es:
(a1 . an) = (a2 . an-1) = (a3 . an-2) =..... = (an . a1)
por tanto
P2 = (a1 . an)n despejando P resultaría
__________
P = √ (a1 . an)n
Que se puede enunciar así: El producto de los términos de una progresión geométrica aritmética es igual a la semisuma de los términos extremos multiplicado por el número de términos
Si sustituimos an por su expresión en función de a1 esto es an = a1 rn-1 resulta:
__________ __________
P = √ (a1 . a1 rn-1)n = √a12 ( rn-1)n
Queda por probar que:
(a1 . an) = (a2 . an-1) = (a3 . an-2) =..... = (an . a1)
tomemos la pareja del primer miembro, términos extremos de la progresión:
Sabemos que a1 = a1
y an = a1 rn-1 multiplicando miembro a miembro
-------------
a1 . an = a12 rn-1
Tomemos la siguiente pareja cuyos términos son equidistantes de los extremos:
Sabemos que a2 = a1r
y an-1 = a1 rn-2 multiplicando miembro a miembro
-----------------------
a2 . an-1 = a12 rrn-1 asociando términos
a1 . an = a12 rn-1
Tomemos otra pareja cualquiera equidistante de los extremos ap y an -p+1:
Sabemos que ap = a1 rp-1
y an-p+1 = a1 rn-p multiplicando miembro a miembro
-----------------------
ap . an-p+1 = a12 rp-1rn-p asociando términos
ap . an-p+1 = a12 rn-1 c.s.q.p.
Ejemplos de ejercicios de progresiones geométricas:
Los ejercicios relativos a las progresiones geométricas que se nos propongan para resolver, están relacionados con los conceptos que en el tema se han barajado. Se utilizaran los símbolos que se han reseñado y las fórmulas deducidas, que son:
a1 = al primer término
a2 = al segundo término
Y así sucesivamente
an = al término enésimo, último término o término general
n = número natural que expresa el número de términos
r = la razón de dos términos consecutivos.
S = Suma de los n términos de una progresión geométrica
P = Producto de los n términos de una progresión geométrica
También sabemos que:
r= a2 : a1
= a3 : a2 =.......= an : an-1
an = r an-1 an = a1rn-1
a1 - r an r an - a1
S = ----------- o esta otra S = ---------- y también
1- r r - 1
_______
P = √ (a1 . an)n
O estas otras
__________ ________
P = √ (a1 . a1 rn-1)n = √a12 ( rn-1)n
En función de los datos que ofrezca el problema y lo que se desee calcular, la estrategia consiste en escribir los datos y utilizar el concepto y fórmulas adecuadas; expresarlo en forma de ecuación o sistema de ecuaciones y resolverlas
Ejemplos y ejercicios de progresiones geométricas:
1º El primer término de una p.g. es 5; su razón 2; escribir los cuatro primeros términos.
Datos: a1 = 5 r = 2
Incógnitas: a1, a2, a3, a4,
Resolución: Como cada término es igual al anterior multiplicado por la razón, será:
a1 = 5; a2 = 5 x 2 = 10; a3 = 10 x 2 = 20; a4 = 20 x 2 = 40
Los cuatro términos de la progresión serán: 5, 10, 20, 40
Se trata de una progresión geométrica creciente
2º El quinto término de una p.g. es 486 su razón es 3 Determinar el primer término.
Datos: a5 = 486 r = 3 n = 5
Incógnita: a1
Se trata de una progresión geométrica creciente al ser la razón mayor que 1
Resolución: escribimos la fórmula del término general:
an = a1rn-1
en ella sustituimos los datos
486 = a1 35-1 operando resulta: 486 = a134 = 81 a1
de donde
486
a1 = ------ = 6
81
a1 = 6
3º Los términos tercero y quinto de una p.g. son, respectivamente, 8 y 2. Determinar el primer término y escribir los tres términos siguientes.
Datos: a3 = 8; a5 = 2
Incógnitas= a1 y a2,a3, a4
Resolución: escribimos la fórmula del término general.
an = a1rn-1
en ella sustituimos los datos aplicándosela al 3º y séptimo término así:
a3 = a1r3-1 Que se transforma en 8 = a1r2
a5 = a1r5-1 Que se transforma en 2 = a1r4
Que constituye un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos eliminando una incógnita y una ecuación, (método de reducción), dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones resultará:
1 1
4 = ------ Trasponiendo términos: r2 = ----
r2 4
Despejando, r será igual a ± √ ¼ = ± ½
Sustituyendo en la primera ecuación: 8 = a1r2 resultará
8 = a1(± ½)2 = a1(1/4) de donde a1 = 32
Como tenemos dos soluciones para la razón, tendremos dos soluciones para el problema:
Solución 1ª para r = ½: a1 = 32; a2 = 16; a3 = 8; a4 = 4
Solución 2ª para r =-½: a1 = 32; a2 = -16; a3 = 8; a4 =- 4
En el primer caso la progresión es decreciente por cumplir la desigualdad : 0 < r < 1
En el segundo caso la progresión es alternada por cumplir la desigualdad : r < 0
El proceso seguido para encontrar la solución del problema recibe el nombre de Discusión
Discutir un problema es verificar si la solución o soluciones lo satisfacen. En nuestro caso, ambas soluciones lo satisfacen.
Supongamos que el problema se hubiera planteado así:
Los términos tercero y quinto de una p.g. de términos positivos son, respectivamente, 8 y 2. Determinar el primer término y escribir los tres términos siguientes.
Obsérvese que se ha introducido la variante: de términos positivos.
En ese caso habría que desestimar la raíz negativa y en ese caso la discusión nos hubiera llevado a dar como solución única, la primera; esto es:
Solución: a1 = 32; a2 = 16; a3 = 8; a4 = 4
4º Calcular la suma y el producto de los términos de las progresiones de los dos primeros ejercicios anteriores.
En todos los casos la fórmula a utilizar será:
a1 - r an r an - a1
S = ----------- o esta otra S = ---------- y también
1- r r - 1
_______
P = √ (a1 . an)n
O estas otras
__________ __________
P = √ (a1 . a1 rn-1)n = √a12( rn-1)n
Caso 1º Calcular la suma y el producto de los cuatro términos de una progresión geométrica cuyos datos son :
a1 = 5 r = 2 n= 4
24 - 1
Sustituyendo en la fórmula tendremos: S = 5 ---------
2 -1
24 - 1
Operando resultará S = 5 ---------= 5 (16 - 1) = 75
1
Sustituyendo en la fórmula del producto tendremos:
________ _________
P = √ (a12 rn-1)n = √ ( 52 24-1)4
= ( 52 24-1)2 = (25 x 8)2 = (200)2 = 40000
Caso 2º Calcular la suma y el producto una p.g. cuyos datos son
a5 = 486 r = 3 n = 5
Incógnita: La suma S y el producto P cuyas fórmulas son
r an - a1
S = ----------
1- r
__________
P = √ (a1 . an)n
Desconocemos a1 luego necesitamos una ecuación más; ésta: an = a1rn-1
Sustituyendo valores es las tres ecuaciones tendremos:
3 x 486 - a1
S = --------------
3 - 1
_________
P = √ (a1 . 486)5
486 = a1 35-1
Despejando a1 en la última y sustituyendo en las otras dos tendremos:
a1 = 486/81 = 6
3 x 486 - 6
S = --------------- = 726
2
_______
P = √ (6 . 486)5 = 545
Solución: Suma = 726; Producto P = 545
Otras fórmulas en las progresiones aritméticas y geométricas: Interpolación.
A veces se plantea el problema de intercalar entre dos términos de una sucesión un número de términos que formen con los dados una secuencia determinada. Esta operación matemática recibe el nombre de interpolación que será aritmética, geométrica, armónica, etc. si la secuencia sigue las condiciones de tales sucesiones.
¿Qué dice el DRAE sobre la palabra interpolación? No dice nada; sin embargo, siguiendo los criterios del Diccionario podríamos decir que la interpolación es la acción y efecto de interpolar.
¿Qué dice el DRAE sobre la palabra interpolar?
Dice lo siguiente sin referencia expresa a la matemática:
Interpolar: (del lat. interpolare, alterar, mezclar,cambiar) tr. Poner una cosa entre otras.
¿Qué dice el CIRLEC?
Interpolación: Mat. Procedimiento mediante el cual, dados dos o más valores de una magnitud, dependientes de otros valores de una variable, se deduce una función o ley matemática que, además de satisfacer los valores conocidos, (o aproximarse mucho a ello) permite hallar el valor de la magnitud para cualquiera de los valores de la variable comprendidos entre los valores dados. Si los valores de la variable está fuera de los intervalos limitados por los valores dados , el procedimiento se llama extrapolación.
_ de medios diferenciales o proporcionales. Operación que consiste en hallar los términos de una proporción aritmética (o geométrica) conociendo el primer término, el último y el número de términos
¿Qué dice el DICMAT?
Interpolación: Consiste en colocar los términos intermedios entre otros de una serie cualquiera. En un intervalo dado hay que fijar nuevos intervalos parciales.
Incluye un concepto nuevo, intervalo, y no añade ideas no contenidas en las definiciones anteriores.
¿Qué dice el libro de Matemáticas?
No define el concepto interpolación y pasa directamente a definir:
Interpolación diferencial o arimética: Interpolar m medios diferenciales entre dos números dados, a y b, es hallar los m términos intermedios (es decir, no extremos) de una progresión aritmética de extremos a y b.
Interpolación proporcional o geométrica: Interpolar m medios proporcionales entre dos números dados, a y b, es hallar los m términos intermedios (es decir, no extremos) de una progresión geométrica de extremos a y b.
Se observa que la definición del CIRLEC es bastante general y su particularización sobre interpolación de medios diferenciales o proporcionales la completa y define el libro de Matemáticas.
En un caso como en el otro se trata de resolver el problema de encontrar la diferencia o la razón de un progresión de la que se conoce el primer término a y el último término b y el número de términos ha de ser m + 2 esto es: los dos elementos dados a y b y los m que se intercalan.
Caso de la interpolación diferencial o aritmética:
Datos: a1 = a an = b n = m + 2
Debemos calcular el valor de la diferencia d para determinar los términos intermedios.
Fórmula de utilización an = a1 + (n - 1)d
an - a1
De donde d = --------
n - 1
Sustituyendo valores tendremos:
an - a1 b - a b - a
d = -------- = ------------- = --------
n - 1 m + 2 - 1 m + 1
b - a
d = --------
m + 1
Ejemplo: Interpolar 5 medios diferenciales entre 2 y 20
Aplicando la fórmula anterior para los valores siguientes:
a = 2; b = 20; m = 5 resultará:
20 - 2
d = --------- = 3
5 + 1
Luego los medios diferenciales entre 2 y 20 serán:
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20
Caso de la interpolación proporcional o geométrica:
Datos: a1 = a an = b n = m + 2
Debemos calcular el valor de la razón r para determinar los términos intermedios.
Fórmula de utilización an = a1rn-1
n-1 _______
De donde rn-1 = an/a1 y r =√ an/a1
Como n = m + 2; será n - 1 = m + 2 - 1 = m + 1
Sustituyendo valores tendremos:
m+1 _______
r =√ b/a
Ejemplo: Interpolar 4 medios proporcionales entre 2 y 486
Aplicando la fórmula anterior para los valores siguientes:
a = 2; b = 486; m = 4 resultará:
4+1 _____ 5 ____ 5 ___
r =√486/2 = √243 = √ 35 = 3
Luego los cuatro medios proporcionales entre 2 y 486 serán:
2, 6, 18, 54, 162, 486
Relación entre las fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas.
Como síntesis de lo dicho, escribiré en una matriz las fórmulas de las progresiones aritméticas y geométricas
| Fórmula | P. Aritmética | P. Geométrica |
| Definición |
an = an-1 + d o an - an-1 = d |
an = r an-1 o an /an-1= r |
| Término general | an = a1 +(n-1) d | an = a1rn-1 |
| Suma -producto |
a1 + an S = ---------- n 2 |
________ P = √ (a1 . an)n |
| Propiedades | (a1 + an) = (a2 + an-1) | (a1 . an) = (a2 . an-1) |
| Interpolación |
b - a d = -------- m + 1
|
m+1____ r =√ b/a
|
Si comparamos las columnas de las fórmulas se observa que los símbolos son los mismos. Solo varían los que corresponden a la definición. Esto es d para la diferencia en las progresiones geométricas y r para la razón en las progresiones geométricas.
Observando las fórmulas de una y otra columna se llega a la siguiente regla de transformación:
Lo que en la fórmula de la progresión aritmética es, conceptualmente la diferencia y las operaciones:
Suma, resta, producto, cociente.
Se trasforma en la progresión geométrica, conceptualmente, en razón y las operaciones en:
Producto, cociente, potencia, raíz, respectivamente
Con esto doy por concluido el tema de progresiones. Las progresiones armónicas pueden transformarse en progresiones aritméticas y las progresiones aritmético geométricas, hipergeométricas o de orden superior no las trataré.
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