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Preguntas
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En este tema vamos a intentar responder las siguientes preguntas: ¿Cómo se calcula
con logaritmos?
Dos problemas inmediatos se plantean en el cálculo con logaritmos: - Dado un número determinar
su logaritmo.
El número del que se conoce su logaritmo se llama antilogaritmo. Ha de saberse como dato, la base del sistema de logaritmos en el que se opera. OBSERVACION: Prescindiré de las tablas y me limitaré al uso de la calculadora. En la calculadora hay dos funciones logarítmicas: La de los logaritmos decimales, vulgares o de Brigs, de base decimal, signada en la calculadora con la tecla [log] con su función inversa, antilogaritmo, [10x]; y la de los logaritmos naturales o neperianos cuya base es el número e, signada en la calculadora con la tecla [ln] con su función inversa, antilogaritmo, [ex]. Con la tecla [log] y [ln] determinamos el logaritmo decimal y neperiano, respectivamente, de un número dado. Con las funciones inversas [10x] y [ex] determinamos el número o antilogaritmo, dado su logaritmo decimal o neperiano, respectivamente. Así: Caso directo: dado el número calcular su logaritmo. Ejemplo 1: Calcular: a) log 125 ; b) ln 125 Proceso: a) Teclear en la calculadora 125 pulsar [log], aparece en el visor 2,09691; por tanto: log 125 = 2,09691 b) Teclear en la calculadora 125 pulsar [ln], aparece en el visor 4,8283137; por tanto: ln 125 = 4,8283137 Es evidente que el logaritmo de un número depende de la base en que operemos. Ejemplo 2: Calcular los números, antilogaritmos, que corresponden a los siguientes logaritmos. Se trata de hallar N en los casos siguientes: a) log N = 1,257863 ; b) ln N = 2,534782 Proceso: a) Teclear en la calculadora 1,257863 pulsar shift o inver (función inversa) [10x], aparece en el visor: 18,107688; por tanto: N = 18,107688 Solución: 18,107688 es el número cuyo logaritmo es 1,257863 b) Teclear en la calculadora
2,534782 pulsar shift o inver (función inversa)
Solución: 12,613681 es el número cuyo logaritmo neperiano es 2,534782. Logaritmos de las operaciones: Antes de entrar en uso la calculadora, sobre todo en el mundo de la técnica, las operaciones presentaban cierta complicación y la única herramienta posible con la que se contaba era el cáculo logarítmico. Las tablas logarítmicas y la regla de cálculo, instrumentos hoy obsoletos, se ofrecían como herramientas insustituibles. Introducidas las modernas calculadoras que permiten efectuar operaciones complejas sin el uso de los logaritmos, las tablas logarítmicas y la regla de cálculo, son instrumentos de museo. A veces, no obstante, es necesario determinar el logaritmo de una combinación de operaciones, en ese caso el procedimiento general consiste en efectuar las operaciones indicadas y al número resultante se le aplica lo dicho en el apartado a) o b) del ejemplo 1. Sin embargo, dentro del marco teórico, no se necesitan cálculos numéricos y las expresiones matemáticas han de recibir el tratamiento conveniente; es por ello por lo que importa responder a esta pregunta: ¿Qué operaciones pueden ser tratadas por logaritmos? ¿Cómo “funcionan” los logaritmos en las operaciones? Para responder a estas preguntas hay que tener en cuenta, una vez más, que el logaritmo de un número es el exponente de una potencia, por tanto, los logaritmos en las operaciones se comportarán como lo hagan los exponentes. Sean por ejemplo los números M = ax N = ay Recordamos de nuevo que x = loga M ¿Cuanto valdrá el logaritmo de la suma o diferencia? Las potencias no gozan de la propiedad distributiva respecto de la suma; esto es: La potencia de una suma o diferencia no es igual a la suma de las potencias. Simbólicamente si: loga(M + N) =
loga(ax + ay)
No se sigue que : loga(M + N) sea igual a loga M + loga N porque loga(ax + ay) ¹ logaax +loga ay Ni loga(M - N) sea igual a loga M - logaN porque loga(ax - ay) ¹ logaax - logaay Por tanto resumiendo: loga(M ± N) ¹ loga M ± loga N Para calcular el logaritmo de una suma o diferencia hay que aplicarle el método general; se calcula primero la suma o diferencia de los números y despues se halla su logaritmo. ¿Cuanto valdrá el logaritmo del producto? Sean por ejemplo los números M = ax N = ay Recordamos de nuevo que x = logaM = logaN loga(M . N) = loga(ax . ay) = loga(ax+y) (*) por tanto loga(M . N) = x + y (x + y), es el exponente al que hay que elevar a para obtener M.N y como x = logaM e y = logaN se puede concluir que loga(M . N) = logaM + logaN que en palabras de uso común se enuncia así: El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. OBSERVACION: El carácter multiplicativo de los factores se transforman en aditivo en sus logaritmos. NOTA: En la transformación (*) se ha utilizado la siguiente propiedad: El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los factores. Recuérdese: Siempre que se realice una transformación, hay que aplicar una propiedad. ¿Cuanto valdrá el logaritmo del cociente? Sean por ejemplo los números M = ax N = ay Recordamos de nuevo: x = logaM y = logaN loga(M:N) = loga(ax:ay) = loga(ax-y) (**) por tanto loga(M:N) = x - y (x - y), es el exponente al que hay que elevar a para obtener M:N y como x = logaM e y = logaN se puede concluir que loga(M:N) = logaM - logaN que en palabras de uso común se enuncia así: El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos de los términos. OBSERVACION: El carácter divisor de los términos de la división, se transforman en sustractivo en sus logaritmos. NOTA: En la transformación (**) se ha utilizado la siguiente propiedad: El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base y exponente igual a la diferencia de los exponentes de sus términos. Recuérdese de nuevo que: Siempre que se realice una transformación, hay que aplicar una propiedad. ¿Cuanto
valdrá el logaritmo de una potencia?
NOTA: Recuérdese que: La potencia de un número es igual a repetir como factor tantas veces la base, como unidades indique el exponente. Por tanto tomando logaritmos
en los dos miembros de (1) resultará:
Luego se puede concluir que: logaMm = m logaM que en palabras de uso común se enuncia así: El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. OBSERVACION: La potencia como operación se transforma por el uso de los logaritmos en producto. NOTA: En la transformación (***) se ha utilizado la propiedad anteriormente deducida para: El logaritmo de un producto que es igual a la suma de los logaritmos de los factores. ¿Cuanto
valdrá el logaritmo de una raiz?
NOTA: Recuérdese que: La raiz enésima de un número se puede transformar en potencia de exponente fraccionario; así: n
que en palabras de uso común se enuncia así: El logaritmo de una raiz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz. NOTA: En la transformación (****) se ha utilizado la propiedad anteriormente deducida para: El logaritmo de una potencia que es igual al exponente por el logaritmo de la base. Calcular el logaritmos de la siguiente expresión: A3 ÖB2 N = ---------- Ö(C/D)3/7 La estrategia a seguir consiste en calcular los logaritmos de los factores y posteriormente agruparlos por aplicación de las reglas logarítmicas de las operaciones. Así: Log del numerador = 3 log
A + 2/5 log B
Por tanto: Log N = 3 log A+2/5 log B -(3/14log C-3/14 log D) Finalmente: Log N = 3 log A+2/5 log B - 3/14 log C+3/14 log D Si A, B, C, D se sustituyen por sus respectivos valores y se opera, se habrá obtenido el valor del log N.
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