ÍNDICE DEL TEMA
Introducción
Dificultades
Visión
inicial infantil
Primeros
problemas
Idea
de número
Necesidad
de la Matemática
Teoría
del flogisto como ejemplo
La Matemática
explicadora de fenómenos
¿Qué
es la Matemática?
- Forma
de expresión humana
- Simbólica
La Matemática:
Un lenguaje
- Significado
y significante
- Generalidad
de los símbolos
- Simbiosis
entre lenguaje natural y matemático
La
expresión matemática comoconjunto de símbolos:
- Morfología
-
Prosodia
- Sintaxis
- Ortografía
Contar
Aspectos
gramaticales
Misión
de la matemáticacarácter universal
Signos
y símbolos
Carácter
recíproco de las Matemáticas y el lenguaje
Ausencia
de expresiones matemáticas en el aprendizaje de la lectura
Lenguaje
y pensamiento
La Matemática:
Un instrumento.
Ejemplos
Magnitud
y medida
El kamikace
y la braquistócrona
Gratitud
Notas
email: marodgar@telefonica.net
LAS MATEMÁTICAS: LENGUAJE,
INSTRUMENTO Y ESTRUCTURA.
Cuando supe que se iba a celebrar el final del curso con un acto académico, me sentí gratamente sorprendido; se retomaba una iniciativa de vida efímera, una edición, pero no por ello menos importante. Nunca supe porqué; es posible que la causa estuviera en unos versos de Calderón: “Está un español de otro más distante que Valladolid de Gante”, cita que Ortega refiere alguna vez cuando habla de España. En fin, lo importante es que estamos aquí y es de esperar que continúe en sucesivas ediciones.
Los signos son importantes para los humanos y para los no humanos también, como muy bien saben los profesores de Ciencias. El rito envuelve los actos de un aura misteriosa, yo diría mágica, que los trasciende.
En el mundo de la enseñanza, no sé si para bien o para mal, el ritual está desapareciendo y los profesores no somos ajenos a ello. Despedir e iniciar el curso con un acto académico es un ritual que deberíamos conservar.
Cuando me ofrecieron impartir la lección final me sentí hondamente conmovido; si como espero se cumpla en mí, la LOGSE, será un digno colofón a mi quehacer educativo. Os lo agradezco de veras.
El problema surge cuando he de elegir el argumento de la lección. El abanico de temas que las Matemáticas nos ofrece es, amplio; el tiempo, escaso.
¿Describo las diatribas entre algebristas y geómetras?
Los unos al grito de: ¡Euclides ha muerto!, destierran de la matemática toda figura y los otros sostienen que, los elementos de Euclides, debidamente axiomatizados, permiten intuiciones profundamente educativas con aportaciones señeras al desarrollo de la ciencia.
¿Elijo los nombres de los entes matemáticos?
Sección áurea del radio, cuaterna armónica, fórmulas mágicas de Euler... nombres no solo bellísimos sino hondamente poéticos. Cada nombre etiqueta un concepto, lo que me llevaría al desarrollo de un aparato matemático que, probablemente, no coincidiera con los deseos de un auditorio de amplio espectro.
En eso andaba cuando me tropecé
con un borrador de ensayo, que debí escribir allá por 1.983,
con el inicio de la reforma. El contenido me pareció adecuado
para extraer la lección que con el nombre de: Las Matemáticas:
Lenguaje, instrumento y estructura, paso seguidamente a exponer.
LAS MATEMÁTICAS LENGUAJE, INSTRUMENTO Y ESTRUCTURA
Es frecuente oír que las Matemáticas entrañan una extraordinaria dificultad. ¿A qué es debido tal arduidad?. No parece posible una respuesta concreta a tal pregunta debido a la complejidad del problema. El intrincado componente de ideas que desarrolla el aparato matemático, exige una explicación que vaya más allá, de una respuesta simple, a una pregunta concreta.
Pero lo innegable es que, junto al reconocido prestigio de la matemática, en cuanto algo exterior al acervo cultural de los individuos y causa de sólido desarrollo científico, existe la idea, también popular, de la matemática como algo acerbo, causa de marginaciones y frustraciones al convertirse en freno de muchas ilusiones: personales, familiares, profesionales, etc.
¿Cuantos estudiantes han cambiado su carrera por el respeto, por no decir pánico, a la supuesta dificultad de las matemáticas como base instrumental de ella?
Existen serias dificultades, inherentes al estudio de las distintas materias básicas, con la que se enfrentan nuestros estudiantes y sospecho, algo común en todas ellas; lo que ocurre es que, se manifiestan con mayor intensidad, en aquellas con una estructura recurrente; esto es, cuando el aprendizaje de un concepto u operación exige disponer de los conocimientos previos que los sustentan. Ahora no es el momento de ahondar en este asunto, en verdad apasionante, que desvelaría cuantos tópicos se repiten, machaconamente, como aquel que dice: “A mí no se me dan bien las Ciencias por eso soy de letras”.
Hablar de Matemáticas, produce repelús. Tan mala fama tienen que hasta los periódicos las califican de “comecocos”; (YA, 26/8/1983). Otros, basándose en ese “terror”, ofrecen recetas mágicas para su aprendizaje sin esfuerzo, vendiendo tales o cuales sistemas que les va a resolver al aprendiz sus problemas. Pero realmente ¿Es eso así? Porque, es demasiado desalentador para un chico que empieza a estudiar y lo primero que se encuentra son los números, el vaticinio apriorístico de un potencial fracaso por tan temible y terrible “comecocos”.
Desde que el niño nace y fija la vista y distingue objetos, que al parecer sucede en los primeros meses de vida, se encuentra de lleno con la visión de conjuntos: sus manos, sus pies, sus dedos; barrotes de la cuna, cuadros, y un largo etcétera. El niño diferencia, progresivamente, sus elementos, familiarizándose, de modo natural, con la idea intuitiva de unidad como un todo y como parte. Ordena, relaciona, establece correspondencias; hambre, lloro, amamantamiento, satisfacción. Necesidad igual a madre a resolverla y ¿Esto qué es?: Teoría de conjuntos; pura y llanamente ¡Elementos de Teoría de Conjuntos!
La experiencia nos dice, sobre todo a los padres, que entre el conjunto de las necesidades de un bebé y el conjunto de actuaciones de su mamá, existe una correspondencia en el sentido matemático del término, de tal manera que, a cada necesidad del bebé, se corresponde con un acto específico de su mamá. Múltiples pueden ser los ejemplos naturales, de un encuentro natural e inmediato del recién nacido, con los elementos de la Teoría de Conjuntos.
Pero esto que es tan natural, empieza a desdibujarse cuando estas imágenes: naturales, sensitivas e intuitivas hay que generalizarlas; esto es, pasar de lo concreto a lo abstracto. La idea de conjunto que adquiere el alumno, en su etapa de escolarización básica, en ese afán del sistema educativo de pasar de lo concreto a lo abstracto, quizá prematuramente, se reduce a un montón de figuras, (generalmente las mismas), que cambian de tamaño y color, encerradas en líneas continuas e irregulares. Símbolos que sólo aparecen en los libros de Matemáticas, con un exclusivismo cabalístico y alienante; unas leyes reducidas a un montón de flechas que van de acá para allá; unas propiedades que, al par de los signos, no encuentran el correlato en otras áreas incidiendo, con malsana machaconería, en ese lenguaje exclusivista que cava, una sima “protectora" en derredor, convirtiendo a las Matemáticas desde ¡Su principio!, en una fortaleza inexpugnable.
Los padres, sufrientes de una situación, que no alcanzan a entender, con una oleada de conceptos que desconocen, rodeados de símbolos y lenguaje novísimo, tienen que desistir: ¡Desde los primeros pasos escolares de sus hijos!, de la hermosa y justificable satisfacción de ayudarles..
Recordando sus años mozos , (las Matemáticas han sido difíciles para la mayoría de los estudiantes, siempre), los padres exclaman con extraño sobresalto: ¡Antes eran difíciles, ahora no hay quien las entienda!. Y sin embargo: El número, concepto básico de la Matemática, va sustancialmente ligado a la naturaleza, de ahí que el niño pequeño, en el juego con sus manos y sus pies, va adquiriendo esta noción. Los primeros contactos con los números y el contar, es placentero y apenas sin darse cuenta, coordina conjuntos; adquiere la noción de cardinal y de ahí el concepto de número natural.
No es ocioso ese nombre; es intrínseco a la naturaleza, no solo la humana, sino también la animal. Intuyo que el concepto de número natural lo tienen los animales, basta con observar las conductas de éstos en presencia de sus enemigos. Las actitudes, incluso las posturas que adoptan, son distintas en función del número de sus enemigos. Un animal sabe que dos golpes duelen más que uno. Los manuales de adiestramiento de perros señalan que, al castigarlo por desobediencia, le den un golpe de correa. ¡Uno solo! Las series televisivas de animales manifiestan hasta la saciedad , la huída de un muflón en presencia del lobo y la defensa ,a la desesperada que hace, cuando es rodeado por varios depredadores.
Al estar el concepto de número en la raíz misma de la naturaleza; al guardar íntima relación con todos los acontecimientos naturales a través del concepto de medida, lo hace consustancial con la naturaleza humana. Contar y medir y como consecuencia: los números, van ligados a toda vivencia humana, de ahí que se haga indispensable en la vida de las personas y de los pueblos.
5.- NECESIDAD DE LA MATEMÁTICA
No debe por tanto extrañar que, la Matemática, sea obligada necesidad en todo tipo de estudio. Aunque parezca una afirmación exagerada, no hay fenómeno que no tenga su explicación matemática y, cuando no puede explicarse matemáticamente, el fenómeno sigue desconocido. Este principio natural ha hecho que la humanidad, ahonde y ahonde en sus estudios, buscando explicaciones matemáticas, intuyendo no desesperando de encontrar, la fórmula o expresión matemática que dé la visión generalizada del fenómeno. La teoría del flogisto ejemplifica lo que quiero decir.
6.- TEORÍA DEL FLOGISTO COMO EJEMPLO
Como es sabido la teoría del flogisto fue ideada por el químico alemán Geor Ernst Sthal (1660-1734) que, atraído por el fenómeno de la combustión, estaba convencido de que, cada sustancia combustible, poseía un elemento común a todas ellas que denominó "flogisto", con alta capacidad de inflamación que comunicaba a los elementos. Este "hallazgo científico” fue saludado, cómo uno de los grandes descubrimientos de la época y vigente en la comunidad científica, durante un siglo aproximadamente. Fue Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) quien, con aparatos de medición cada vez más precisos demostró como falsa la teoría del flogisto abriendo el comienzo de lo que se conoce como una nueva ciencia: La Química.
7.- LA MATEMÁTICA EXPLICADORA DE FENÓMENOS
A medida que la vida se complica, los fenómenos son más complejos. Las Matemáticas, en la búsqueda de explicaciones de tales fenómenos, se amplían y estructuran acorde con tal necesidad. Este movimiento no continuo sino a impulsos, se semeja a esos juegos con resortes elásticos de muchas espiras finas que, bajan o suben las escaleras, utilizando la energía potencial elástica, cuyo extremo permanece parado, hasta que no ha recogido la totalidad del resorte.
Mediante ese proceso, los fenómenos parece como si quedaran estáticos; esperan la explicación matemática que, al carecer de instrumento adecuado, se remueve y agita hasta que encuentra dentro de su estructura un nuevo camino, permanentemente ligado con lo anterior, que satisface, mediante leyes, la explicación de esos fenómenos.
Como quiera que el avance matemático permite explicar fenómenos, hasta entonces no estudiados o ignorados, a partir de ahí, ejerce un efecto de arrastre sobre todo el saber humano, impulsándolo hacia adelante, dando origen a la aparición de otros fenómenos, hasta entonces desconocidos. La nueva explicación matemática ensancha los límites del saber y así indefinidamente.
Resulta claro concluir de que, si se quiere tener un conocimiento más profundo y racional de los fenómenos, es necesario conocer las matemáticas y cuanto más profundo y extenso sea ese conocimiento matemático, más explicaciones se encontrará, abriendo así nuevos horizontes. De todo lo cual podemos deducir que las Matemáticas estarán presentes en la vida humana, por los siglos de los siglos. Es más si un cataclismo arrasara la vida de la tierra, la nueva forma de vida que surgiera tendría que inventar, para su desarrollo y evolución: Las Matemáticas.
En primer lugar diré que la Matemática, es una forma de expresión humana; no una forma de expresión cualquiera, no; sino una específica y genuina que le es propia. Un acontecimiento científico tiene como correlato su expresión matemática. Es más, cuando esa expresión no es posible, bien por carecer de la forma oportuna, en el signo, símbolos o conceptos que expliquen matemáticamente el fenómeno, éste, queda como en suspenso hasta que, encontrada la ecuación matemática pertinente, no sólo se explica satisfactoriamente el fenómeno, sino que abre una nueva poterna al estudio científico de nuevos fenómenos.
2.- Forma de expresión humana: Simbólica
Lo característico de las expresiones matemáticas es su simbología. Los signos y los símbolos que se emplean en Matemáticas son artificios geniales; no en vano se les atribuyó, desde la más remota antigüedad, naturaleza cabalística. Piénsese en el largo parto seguido, por las distintas civilizaciones en la numeración y qué prodigio de arte es el sistema de numeración llamado arábigo, que con la inclusión del cero permite, mediante un grupo reducido de símbolos, expresar cualquier número. Y qué decir de los sistemas de numeración que han hecho posible la búsqueda de soportes físicos: mecánicos primero, electromagnéticos después y electrónicos más tarde, con lo que se cumple un viejo sueño de la ciencia: Disponer de útiles que permitan calcular y ordenar rápidamente. Ordenación y cálculo, pilares básicos e intemporales de la matemática, al alcance de cualquiera. Adiós al ábaco, tablas, reglas de cálculo y demás enseres. Los números han posibilitado su propio tratamiento.
La abstracción, implícita en los símbolos, su carácter genérico que permite asignarlos a cualquier situación, dan ese aire abstruso a los textos matemáticos; sobre todo para el principiante y, para aquél que crea que el conocimiento se adquiere tan solo con el deseo de poseerlo, sin el consiguiente esfuerzo mantenido, continuado y eficaz. Es imprescindible aportar un espíritu abierto; a dejarse ganar por el saber. El estudio de la matemática comporta, como obligación inexcusable, la aprehensión de sus símbolos y la comprensión de las leyes y normas que regulan su uso; ello exige algunas consideraciones:
3.- Forma de expresión humana: Un lenguaje
1ª.- De la misma manera que en la lingüística, cada símbolo matemático posee un significante, que es su expresión gráfica y a su vez un significado, que es su contenido (imagen acústica y concepto de acuerdo con la terminología de Sausure), así el concepto mitad se signa con el número: 1/2. Asimismo, al conjunto de operaciones que deben efectuarse con la variable x, se denomina característica de la función y se formula con la notación: f(x); a la relación entre los valores de la variable x, y el conjunto resultante, después de realizar con ella las operaciones que indica su característica, recibe el nombre de relación funcional o función; expresándose así:
y = f(x).
2ª.- Cada símbolo matemático tiene un carácter genérico, es decir, un mismo símbolo es capaz de designar cosas diversas y recíprocamente. Así: 1/2, número abstracto, acompañado con la expresión de una magnitud, indica hechos diferentes: por 1/2 Ha, entendemos la mitad de una Hectárea y 1/2 l, expresa medio litro.
3ª.- Si cualquier tipo de magnitud se representa mediante una letra, por ejemplo: x, y utilizamos el símbolo: 1/2 x, hemos generalizado el concepto de mitad para cualquiera que sea el concepto que x designe. Incluso tendrá significado matemático aunque "hoy” no se encuentre su representación concreta en la realidad cotidiana, ya que, la significación matemática del símbolo, es por completo independiente de la existencia o no de un objeto que lo justifique.
4ª.- Si llamamos lenguaje natural al modo de entenderse las personas, no siempre se acomoda el concepto usual que encierran las palabras, con lo expresado matemáticamente. Así por ejemplo: a la mitad de un folio se denomina cuartilla ¿Como puede ser un objeto mitad y cuarto a la vez?. Es claro que ambas palabras expresan ideas distintas de un mismo hecho, por cuanto el papel es el mismo. la interrogante se resuelve en cuanto se advierte que la denominación deviene al tomar unidades distintas. Esto es, para uno la unidad es el doble folio o pliego y para otro el folio. Con lo dicho sigue enrareciéndose el asunto al ser unidad lo que es doble.
5ª.- Los símbolos matemáticos en cuanto expresiones de conceptos están cargados de relativismo.
4.- Simbiosis entre lenguaje natural y matemático. El rigor matemático
Las consideraciones anteriores y, otras que pudieran hacerse, no son más que una pálida imagen de la extraña simbiosis entre el lenguaje natural y las matemáticas.
La fórmula matemática es rigurosa. Dice aquello que quiere decir, de ahí la necesidad de su dominio, expresado en el sentido lingüístico y no en el matemático. En el sentido lingüístico, dominio define un poder y facultad de usar y disponer uno libremente de lo suyo. Pero esa libertad no es arbitraria sino guiada por la recta razón. Por ello es necesario disponer del poder y facultad de uso como consecuencia de un conocimiento profundo para su uso recto; de ahí el rigor. En el sentido matemático, dominio, expresa el conjunto de valores para los cuales la función tiene sentido, es decir, la función "existe", por lo que dominio y campo de existencia significan la misma cosa. Sin embargo, examinados con detenimiento ambos conceptos, el lingüístico y el matemático, de una misma palabra, "dominio", tienen más proximidad de la que parece, por cuanto dentro del campo de variabilidad o dominio, la función tiene poder y facultad de usar libremente de los valores de la variable, como algo que le es suyo.
5.- La expresión matemática como conjunto de símbolos
La expresión matemática reúne un conjunto de símbolos, que informan de un hecho o acontecimiento matemático. Los símbolos no se agrupan de modo arbitrario sino obedeciendo a unas reglas que hacen posible la declaración explícita e implícita que la expresión matemática encierra. La expresión matemática tiene su morfología, su sintaxis, su prosodia y su ortografía, y es curioso que los libros de Matemáticas “de facto” lo ignoren.
El primer encuentro del niño con la simbología matemática son los números. En sus primeros años, de la misma manera que dibuja las letras, el escolar traza los números y establece la relación: entre el símbolo escrito, su expresión hablada y su contenido; y aunque, no penetre en toda su significación el niño empieza a designar, por el mismo número, conjuntos distintos de objetos: lapiceros, figuras, juguetes, etc. De modo automatizado, el niño entra en la noción de cardinal de un conjunto, como abstracción de aquello que es común a todos los conjuntos. Entronca sin darse cuenta con sus ancestros que comparan: "el estado numérico de sus rebaños” con "el estado numérico de un montón de piedras ” y, ¡Maravilla de la numeración!, cualquiera que fuere el orden de entrada de los animales del rebaño en el redil y el modo de apartar las piedras, si no se ha extraviado animal alguno, la coordinación es perfecta entre los dos conjuntos. Es más, de modo automático, la no correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos, aporta de inmediato información básica, que no tiene nada que ver con el hecho de contar. En el lapso transcurrido entre las dos comparaciones sucesivas, han ocurrido fenómenos imprevistos ajenos al contar, puestos de manifiesto por la noción de número derivado de la coordinabilidad de ambos conjuntos: la falta o sobra de algún animal del redil. Lo importante de esto es que la información se deriva de la aprehensión del concepto matemático de contar.
Volviendo al hilo de la cuestión el estudio morfológico de la matemática se reduce de modo sistematizado a los dígitos y, su sintaxis, a la escritura de los números por aplicación de las reglas de la numeración. De la misma manera la prosodia queda reducida a la expresión verbal de los números y, en términos generales, no se hace mención a la ortografía matemática.
Bien es cierto que de modo implícito todo ello está respetado en los libros de matemáticas; sin embargo, de modo expreso, sistematizado y metodizado no aparece. Esta situación trae como consecuencia el "desgarro” de la matemática de los acontecimientos naturales a los que le es intrínseca, favoreciendo la falsa idea de que, las Matemáticas, es algo aparte: “A las Matemáticas hay que echarle de comer aparte”, manifiesta el dicho popular.
Se hace necesario reencontrar, el punto donde aparece el silencio acerca de los "aspectos gramaticales” del lenguaje matemático; dicho de otra manera: Existe una gramática de las matemáticas que hay que sistematizar, metodizar y desarrollar; pero ¿Dónde debe estar inserta esta: "gramática matemática"?.
No es momento de responder ahora a esa cuestión, pero diré: la matemática es una forma de expresión humana y que podíamos aceptar sin grandes remilgos intelectuales como misión de ella: la búsqueda, estudio, relación y explicación, de las expresiones matemáticas.
Podemos decir además que la matemática es una forma de comunicación; no una forma de comunicación cualquiera ,no, sino una específica y genuina que le es propia. Tan propia y genuina que tiene carácter universal. Tan es así que, el que conoce la simbología matemática y los constructos matemáticos a los que he denominado expresiones matemáticas y los conceptos que ellas manifiestan, les resulta tremendamente familiar los textos matemáticos, escritos en cualquier idioma. Es más, le resulta sumamente fácil extraer su contenido, debido a la sencillez y reducido número de palabras del lenguaje natural, que se intercalan entre las expresiones matemáticas y que son, generalmente, las mismas, con distinta grafía.
Sin entrar en el mundo especializado de las matemáticas, moviéndonos tan solo en las de uso común, constituyen una forma de comunicación humana de extraordinaria eficacia y utilidad. ¿A qué es debido esto? A mi juicio a sus signos y a sus símbolos.
Para Bochenski se emplean signos, preferentemente del lenguaje escrito u oral: “para comunicar a los demás nuestros conceptos y proposiciones incluso para facilitarnos a nosotros mismos el pensar” (*). Un signo matemático de acuerdo con Bochenski y en el sentido que se dice aquí, pretende comunicar, por escrito, nuestro pensar y conocer matemáticos. La expresión oral de los signos matemáticos constituirá una reproducción, bien por trascripción y/o traducción verbal; de ello me ocuparé posteriormente, pero ahora interesa sobremanera la expresión gráfica del signo matemático.
En Matemáticas, signo se asocia al “+" y al "-”; empero esto es un uso restrictivo del concepto signo. Sin embargo, con el propósito de evitar confusiones, denominaremos símbolos matemáticos a cada uno de los signos matemáticos en el sentido semiótico del término.
Para que un símbolo matemático tenga carácter de tal, debe expresar un concepto matemático.
Los símbolos numéricos no han permanecido en el tiempo. Las diversas civilizaciones, conocidas históricamente, han presentado los mismos conceptos con símbolos distintos. Es posible que irrumpieran, con la aparición de la escritura, como una necesidad de dejar constancia de los acontecimientos susceptibles de ser expresados numéricamente o por la propia naturaleza del número y las operaciones que imposibilitaban una resolución mental, exigiría algún procedimiento de cálculo y de signación. Sin necesidad de escribir, dos personas de lenguas distintas, incluso de culturas diferentes, puedan comunicarse con el lenguaje de los números utilizando signos, no formalizados pero de una extraordinaria usualidad
Por ejemplo: la mano abierta extendida indica cinco unidades; de manera semejante, presentar los dedos índice, corazón y anular recogidos entre sí pulgar y meñique, es un gesto inequívoco de que estamos señalando: tres.
El carácter cuantificador del número lo dota de una especial significación y utilidad.
La aparición y divulgación del sistema de numeración "arábigo", denominado así por que los árabes lo introdujeron en occidente importado de la India, prendió rápidamente y fue vehículo eficaz del desarrollo de las Matemáticas, por la facilidad de sus expresiones, cualquiera que fuese el número a representar. La elección de los símbolos numéricos, en particular y el de los matemáticos en general, es de indudable importancia para el desarrollo de las Matemáticas y de las Ciencias.
El sistema de numeración romano, amén de su dificultad para expresar “números grandes", tiene una falta de operatividad indudable, que le incapacita para operar con rapidez y eficacia. Por ello, simbolizar cualquier número, así como la sencillez de las reglas de su formación, facilitada por la genialidad que supone la inclusión del cero, dota de una extraordinaria operatividad al sistema decimal y así hace que, con rapidez, se generalice su advenimiento y se reciba con satisfacción creciente.
Los números y los demás símbolos matemáticos, gozan de la propiedad del símbolo lingüístico, en tanto que vehículos de comunicación humana. Queda abierta como idea apasionante, un estudio semiológico y semiótico de la matemática. Hjelmslev (**) lo deja entrever como un sistema nuevo y fructífero para el estudio del las ciencias, refiriéndose, expresamente a las Matemáticas.
Con los conceptos aquí vertidos podemos decir que, las Matemáticas, constituyen un auténtico lenguaje o si se prefiere es parte consustancial del lenguaje. De la misma manera que éste acompaña al hombre en todas sus tareas, la matemática tiene carácter inmanente.
10.- Carácter recíproco de las Matemáticas y el lenguaje
Este carácter recíproco de las Matemáticas y el lenguaje hace entreverar una idea para el estudio de las matemáticas, a saber: ahondar en el lenguaje matemático y extraer el contenido conceptual que encierra. Transcribir y traducir recíprocamente entre lenguaje natural, materno u ordinario y el lenguaje matemático, me parece un procedimiento eficaz y aconsejable para adquirir el marco conceptual imprescindible para el conocimiento del edificio matemático.
Si examinamos libros de Lenguaje de los que se utilizan en la básica, (piénsese que esto fue escrito en 1.983), llama profundamente la atención que todos ellos se refieren a conceptos estrictamente lingüísticos; esto es, ejemplos de la lengua natural y su aplicación al lenguaje literario. Así los trabajos para aprender a escribir giran en torno a frases de uso corriente; empero, olvidan conceptos numéricos y matemáticos, también usuales, así como de otras ciencias, que podrían, fácilmente, introducir al niño en los conceptos matemáticos y científicos, como un substrato conceptual en la mente infantil en formación.
Se me argüirá que, a la vez que aprende a escribir letras y palabras, aprende a escribir números. Eso es cierto, pero no en el sentido de lo que manifiesto aquí. En un libro de lenguaje de 1º de EGB, leo esto: "Enrique va al circo con su papá y su mamá"; ¿Qué inconveniente existe en incluir para su escritura frases como estas?:
La pista es circular. El trapecio es una figura geométrica. La tierra tiene dos movimientos, uno de rotación y otro de traslación; etc., y otras frases relativas a distintas ciencias que incluyan elementos del lenguaje común y científico.
No soy pedagogo, pero no se me escapa que, si la palabra trapecio se usa para indicar un elemento del circo, no existe inconveniente alguno para que aparezca como denominación de un músculo del cuerpo o la figura geométrica de la que recibe el nombre. Frases de esta naturaleza crearán marcos conceptuales que, de modo imperceptible y penetración natural, quedará en la mente del niño, facilitando posteriormente, los conceptos de homonimia y sinonimia, de tanta importancia en el lenguaje.
Sin ánimo de hacer estadísticas, no es ese el sentido de lo que aquí se dice, he repasado libros de lenguaje en EGB de todos los cursos, de distintos autores y editoriales; lo propio he hecho con los niveles de FP y BUP; es una constante, en todos ellos, la ignorancia total y absoluta de ejemplos relativos al lenguaje de las Matemáticas y de las ciencias: Física, Química, Economía, etc. Dá grima pensar que, siendo la lengua un elemento aglutinante del saber integral, puesto que éste ha de ser expresado por signos y palabras, constructos lingüísticos del saber matemático en particular y del saber científico en general, están totalmente ignorados en los libros de Lengua. Se me dirá y no sin razón que, estos saberes, gozan de estudio específico como asignaturas independientes, pero en los primeros años de la básica, hoy primaria, donde el niño toma contacto con el estudio del lenguaje, hablado y escrito, están totalmente ignorados; creando un vacío conceptual, de una parte y, una separación y rechazo de los diversos conceptos, por otra; este vacío puede ser causa de no pocas frustraciones y pérdida de perspectivas globalizadoras.
Si admitimos, y necesariamente tiene que ser así, que el lenguaje es la manera de expresar nuestro pensar, su estudio, tanto en la primaria como en la secundaria, ha de ser un instrumento receptor y repartidor del flujo del saber humano, siendo el fundamental elemento integrador del carácter multidisciplinar de nuestros aprendizajes.
Los textos que se analizan, son todos literarios en el sentido restrictivo de este concepto. ¿Qué inconveniente puede existir en que, junto a fragmentos de la obra de Cervantes, Garcilaso, Lope, García Márquez, Cela, por citar los españoles y sus equivalentes foráneos no se incluyan fragmentos de la obra de matemáticos y científicos españoles: Rey Pastor, Blas Cabrera, Julio Palacios, etc. Bien es verdad que el pensamiento científico y matemático no es nuestro fuerte y no abundan este tipo de pensadores y escritores; pero mientras se acrecienta, utilicemos todo aquello que lo facilite; siempre tenemos el recurso de intercalar conceptos matemáticos, físicos, químicos, económicos, amén de los literarios en el aprendizaje de la escritura y junto con los textos habituales, añadirles textos también literarios de Descartes, Newton, Euler, Gauss, Laplace, Einstein, etc.
Bien es verdad que los libros de Matemáticas no se prestan para poder extraer textos con la facilidad de la novelística y teatro al uso. Sin embargo, puede recurrirse a revistas especializadas y, siguiendo un patrón semejante, parece ser válido introducir textos de tipo científico en íntima relación con el lenguaje matemático. El lenguaje de la Física, de alto contenido matemático, apoyaría ese efecto receptor-distribuidor que le he atribuido al lenguaje.
Siguiendo el hilo de la cuestión, ¿Qué inconveniente existe en que los libros matemáticos rompan su formalismo intercalando discursos explicativos y aclaratorios? Entiendo que sería una ayuda de gran valor, cualquiera que fuere el nivel de sus contenidos, pero lo hace imprescindible en los libros de primaria y secundaria. Un concepto puede ser más claro si se ilustra con los motivos de quien lo acuñó, para denominarlo así. Una reflexión sobre los distintos símbolos de un mismo concepto y cómo, un determinado símbolo, ha perdurado por encima de otros y las razones que han motivado su elección, dará una visión más próxima de la matemática, menos rigurosa y más asequible.
Reivindico por tanto que las Matemáticas constituyen, en sí, otra forma de lenguaje y sería aconsejable que los estudiosos de la lengua, se aprestaran al estudio de las Matemáticas y recíprocamente, al objeto de exprimir sus innumerables posibilidades en el desarrollo de la mente. Quede ahí la propuesta.
12.- La matemáticas: Un instrumento
Es frecuente oír en los medios pedagógicos que, las Matemáticas y la Lengua, constituyen materias instrumentales; debe ser porque son utilizados como instrumentos. El Diccionario de la Real Academia de la Lengua ofrece diversos significados de la palabra instrumento predominando el musical. No obstante tomaremos los no musicales tales como: Utensilio o herramienta./ Ingenio, aparato o máquina./ Objeto de que nos servimos para hacer una cosa./ En sentido figurado: Lo que sirve de medio para conseguir un fin. Descarto: "utensilio y herramienta”, por cuanto se refiere a: instrumento u objeto empleado en trabajos manuales o domésticos. Tampoco tomamos en cuenta: "ingenio”, en el sentido de máquina o artificio mecánico; sin embargo, la primera acepción la describe como: "facultad para discurrir o inventar, o para resolver dificultades", que se anuda con lo que nos servimos para hacer una cosa y el medio para conseguir un fin.
Y así es en efecto: frecuentemente nos llegan proposiciones de tipo comercial, político, científico, etc. y, es preciso, dar una respuesta. Tomar una decisión. La Matemática es un instrumento fecundo de análisis que nos facilita la elección y la correspondiente toma de decisiones. Un ejemplo:
Una lección de Matemáticas sin cálculos es como un jardín sin flores.
Reiteradamente he propuesto, curso tras curso a mis alumnos, el siguiente problema:
Tomemos una pelota de golf. Ver figura.
En una cinta se toma la longitud rectificada de la circunferencia máxima. Añadámosle un trozo de un metro y formemos una circunferencia con esa nueva longitud. Ver figura.
Se pregunta: ¿Si se coloca la pelota concéntrica con la circunferencia formada con la cuerda, cabría la mano en el hueco. La respuesta es siempre:
¡Sí!
Es más: la propuesta puede experimentarse en el aula. Hágalo el que quiera y lo comprueba.
Proponemos la misma cuestión, esta vez con la Tierra supuesta esférica, experimento que no puede materializarse pero sí, imaginarse; prodigio de la mente humana, capaz de reproducir un hecho físicamente imposible. Hay que insistir en el incremento de un metro a los 40 millones de metros del ecuador terrestre y hacemos la misma pregunta: ¿Cabría la mano en el hueco? Ver figura.
La respuesta es indefectible ¡Qué va! ¿Qué influencia tiene un metro en 40 millones de metros?.
Lo más lamentable del caso es que, siendo sujetos con formación matemática suficiente, no hacen un razonamiento previo antes de la respuesta; es decir, después de ¡Trece años de escuela! contestan sin reflexión y sin cálculo. La mente que es capaz de reproducir el experimento en la Tierra como las manos en la pelota de golf, que discierne con corrección cuando las longitudes se aproximan, caso de la pelota, se oblitera en el caso de la Tierra, por la acusadísima desproporción entre su longitud ecuatoriana y el metro que se incrementa. La intuición, tantas veces propuesta para progresar en el conocimiento, falla rotundamente aquí. Un sencillo cálculo permite la respuesta indubitable. En efecto:
Si llamamos r al radio de la esfera y r’ al de la circunferencia incrementada, se trata de determinar el incremento de r esto es : r’ - r , para lo que procedemos así:
a) Proceso elemental: Sea L la longitud ecuatoriana de la esfera; su radio valdría:
r = L/2p (1)
Sea: L’ la longitud ecuatoriana de la circunferencia ampliada; su radio valdría:
r’ = L'/2p (2)
y por el experimento:
L’ = L + 1
valores expresados en metros, por lo que: dividiendo por 2p obtendríamos después de sustituir los valores de (1) y (2):
L’/2p = (L + 1)/2p = L/2p + 1/2p
r’ = r + 1/2p
de donde:
r’ - r = 1/ 2p metros = 17 cm.
aproximadamente.
Como puede apreciarse, esta variación es independiente del valor del radio; esta distancia será ¡Siempre!, la misma, cualquiera que sea la dimensión de la esfera.
Si en vez de 1 metro, le incrementamos a metros, resultaría:
r’ - r = a/2p
Valor también independiente de la longitud del radio por lo que, cualquiera que sea la esfera, la variación del radio dependerá del incremento de la longitud de la circunferencia ecuatoriana y no, del valor del radio.
b) Proceso menos elemental: Sea L la longitud ecuatoriana de la esfera; su radio valdría
r = L/2p
diferenciando los dos miembros respecto de L, tendríamos:
dr = dL/2p
En consecuencia: la variación del radio (dr) no depende de su longitud (r), sino de la variación (dL) que experimente la longitud de la circunferencia .
Vemos pues que, un sencillo cálculo matemático, nos garantiza una respuesta a una cuestión problemática, radicalmente contraria a la que nos induce la intuición.
Los conceptos matemáticos trascienden la matemática. Las ciencias buscan en ellos su apoyo en la explicación de los fenómenos que estudian. Así con el concepto de magnitud que, apoyado en dos principios: el de causalidad y proporcionalidad y los criterios de comparación, nos resuelve variados problemas de la medida.
Desde un punto de vista semántico, magnitud es cualquier propiedad de los cuerpos que pueda ser medida. El principio de causalidad nos dice que: no hay causa sin efecto ni efecto sin causa y el de proporcionalidad nos manifiesta: Los efectos son directamente proporcionales a las causas que los producen. Uno de los efectos de la fuerza es las deformaciones de los cuerpos; también lo son del calor. La variación de la temperatura es otro efecto del calor. Los principios de causalidad y proporcionalidad sugieren a la ingeniería la construcción de artefactos: dinamómetros, termómetros que, midiendo efectos: deformaciones, por los principios antes aludidos, miden causas: las fuerzas u otros efectos como la temperatura. Este procedimiento posibilita el reducir a fórmulas y números, entes abstractos y por tanto matemáticos por excelencia, cualquier magnitud.
Los ejemplos anteriores nos amparan para decir que la Matemática ha ofrecido al ser humano un instrumento que “barrena” la dureza de lo incógnito. Obsérvese que, como buen instrumento, pone de manifiesto su característica fundamental: poder ser utilizado por manos diversas y para situaciones variadas.
14.- El kamikaze y la braquistócrona
Dicen los manuales de didáctica que es aconsejable concluir la lección con una anécdota y, fiel a esa instrucción, la cuento.
El otro día, al pasar por delante de un parque acuático, reparé en una atracción que recibe el nombre de "kamikace”. El aparato comunica dos niveles, de distinta cota, no situados en una misma vertical mediante una superficie curva, por la que se deslizan los usuarios. La sección vertical del artilugio nos muestra: dos líneas horizontales unidas por una curva. Ver figura.
Pensé: si la distancia más corta entre dos puntos viene medida por la longitud del segmento rectilíneo, AB, que los une ¿Porqué es curva y no recta la trayectoria?.
El motivo tiene que ser económico, por cuanto el propietario lo que pretende es maximizar sus ingresos y eso lo consigue, no con la trayectoria rectilínea como sugiere la intuición, sino con la braquistócrona, curva descrita por un punto material que vence un desnivel, no situado en la misma vertical, en el tiempo más corto. Tal curva se corresponde con el arco de cicloide, ACB, que además tiene otra propiedad: Cualquiera que sea el punto de la trayectoria, por ejemplo el C, si de A y C parten de él con velocidad inicial nula; esto es: se dejan caer, alcanzarán el punto más bajo, B, de la curva en el mismo tiempo; por ello, la cicloide, además de braquistócrona, (tiempo más corto), es también tautócrona, (mismo tiempo).
Y termino. Como puede apreciarse si mi parlamento no les ha anestesiado, he sido más discursivo, en la variante matemática del lenguaje y, he pasado espigando lo instrumental y nada he dicho de la estructura. Consumir más tiempo sería un abuso inmisericorde por mi parte.
Quede pues la profundización
en lo instrumental y el desarrollo de la estructura matemática
para otra ocasión si, no agotada vuestra paciencia, tenéis
la humorada de volverme a invitar al uso de la palabra. Lo que si
estoy plenamente seguro es que, cuando vayáis a un parque acuático
o veáis una montaña rusa os acordaréis de la braquistócrona
y, es posible, que tengáis un recuerdo
para este modesto profesor que ha tenido el honor de dirigiros la
palabra. MUCHAS GRACIAS.
NOTAS:
(*) (Los
métodos actuales del pensamiento, Rialp, Madrid 1.973 octava edición)
(**) (Prolegómenos
a una teoría del lenguaje. Editorial Gredos, Madrid, 1.980).
email: marodgar@telefonica.net