Definición
de logaritmo en:
- DRAE
- CIRLEC
- DICMAT
- LIBRO
Conceptos
en:
- DRAE
- CIRLEC
- DICMAT
- LIBRO
Cálculo
con logaritmos
-
De potencias enteras de la base
- De
cualquier número intermedio
Relación con otras operaciones
email: marodgar@telefonica.net
LA
LOGARITMACION: LOS LOGARITMOS
En este tema responderemos a las siguientes preguntas:
¿En
qué consiste la logaritmación?
¿Qué relaciones
la ligan con otras operaciones aritméticas?
¿Qué son los
logaritmos de los números?
¿Cómo los
usaremos?
¿Cual es su uso en
el cálculo?
¿Por qué son
necesarios los logaritmos?
¿Para qué
los usaremos?
¿Qué aplicaciones
tienen?
Es posible que se respondan algunas más.
Siguiendo con el esquema adoptado en el estudio de la matemática elemental, para penetrar en el concepto de logaritmación y logaritmo y seguir después en su desarrollo conceptual, propiedades y aplicaciones, nos introduciremos en el tema a partir de lo que dicen los diccionarios: DRAE, CIRLEC, DIMAT y un libro de matemáticas. Analizaremos sus contenidos, lo semejante, lo distinto, lo olvidado y sus imprecisiones. Adquirido el concepto de logaritmo lo que viene después es consecuencia de ello y por tanto generable por cualquier lector perspicaz.
¿Qué dice el DRAE? No aparece tal concepto en el DRAE, CIRLEC, DIMAT. Volveré después sobre ello.
¿Qué dice el DRAE?
Logaritmo: (Del gr.logos: razón y ariqmos : número) m. Mat. Exponente a que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado. El empleo de los logaritmos simplifica los procedimientos de cálculo aritmético.
NOTA: En cuanto a la palabra logaritmo, no estoy muy seguro de que la etimología del DRAE sea la correcta. Invito a los eruditos a que la confirmen o aporten la más verosímil.
Logaritmo: El __ de un número real positivo x respecto a la base a se define como aquel número y que se debe dar por exponente a la base a para obtener x. El __ de x base a se indica por loga x.
La enciclopedia dice algunas cosas más pero ahora no nos interesan, lo dejamos esperando para cuando sea necesario.
¿Qué dice sobre el asunto el diccionario especializado DICMAT?
Logaritmo: Es el exponente de la potencia de un número fijo que es igual a un número dado. Consta de característica (que puede ser positiva, negativa o nula) y mantisa (parte decimal).
Logaritmo y de un número x en la base a positiva, distinta de 1, es el exponente a que debe elevarse la base, para obtener el número
Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:
| Fuente | Texto |
| DRAE | Logaritmo: Exponente a que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado. El empleo de los logaritmos simplifica los procedimientos de cálculo aritmético |
| CIRLEC | Logaritmo: El __ de un número real positivo x respecto a la base a se define como aquel número y que se debe dar por exponente a la base a para obtener x. El __ de x base a se indica por loga x |
| DICMAT | Logaritmo: Es el exponente de la potencia de un número fijo que es igual a un número dado. Consta de característica (que puede ser positiva, negativa o nula) y mantisa (parte decimal) |
| LIBRO
DE MATEMÁ TICAS |
Logaritmo y de un número x en la base a positiva, distinta de 1, es el exponente a que debe elevarse la base, para obtener el número |
¿Qué conceptos utiliza el DRAE?
- Es un exponente de una
cantidad positiva.
- De ese cálculo
ha de resultar un número determinado:
- Los logaritmos simplifican
el cálculo aritmético.
A partir de lo que dice el DRAE podemos concluir que los logaritmos están relacionados con las potencias de base positiva que al elevarla al logaritmo resultará un número determinado.
¿Cómo podríamos simbolizar matemáticamente lo anterior?
Llamamos a a la base positiva; n al exponente y N al resultado de la potencia
Matemáticamente se escribiría así : an = N
n será el logaritmo en base a de N; escrito simbólicamente sería:
n = loga N
¿Qué conceptos utiliza CIRLEC?
- El logaritmo lo ha de ser
de un número positivo x
- Es un exponente y
de una base a.
- De esa potencia se obtiene
x
- Lo expresa simbólicamente
así: y = loga x
Logaritmo: Es el exponente de la potencia de un número fijo que es igual a un número dado. Consta de característica (que puede ser positiva, negativa o nula) y mantisa (parte decimal)
- Es un exponente de un número
fijo.
- La potencia resultante
será un número dado.
- Le añade que los
logaritmos constan de característica (que puede ser positiva, negativa
o nula) y mantisa (parte decimal)
Simbolizar matemáticamente lo anterior se haría así:
Llamamos a al número fijo que sirve de base; n al exponente y N el número dado que será el resultado de la potencia
Matemáticamente se escribiría así : an = N
n sería el logaritmo en base a de N escrito simbólicamente así:
n = loga N
¿Qué conceptos utiliza el libro de matemáticas?
Logaritmo y de un número x en la base a positiva, distinta de 1, es el exponente a que debe elevarse la base, para obtener el número
- El logaritmo y lo
ha de ser de un número x
- Es un exponente de una
base positiva y distinta de la unidad.
- De esa potencia ha de
resultar el número x dado.
A partir de lo anterior podríamos simbolizarlo matemáticamente así:
Si el número es x; la base es a; el logaritmo es y
y = loga x o dicho de otra manera: ay = x También puede expresarse así x = a loga x
Examinadas detenidamente las cuatro definiciones anteriores se observa lo siguiente:
Todas coinciden en señalar que el logaritmo de un número dado es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número.
A partir de ahora y para operar con los mismos símbolos se convendrá lo siguiente:
Llamamos a a la base; n al exponente y N el número resultado de la potencia del que hay que determinar su logaritmo.
Matemáticamente se escribiría así : an = N
n sería el logaritmo en base a de N; escrito simbólicamente así:
n = loga N
o inversamente: se expresaría así: N = alogaN
Que traducido al lenguaje natural sería: Un número es igual a la base elevada a su logaritmo.
Como puede apreciarse no todas las definiciones coinciden en señalar las propiedades que han de cumplir el número N, la base a y el exponente n que es el logaritmo en base a de N.
Para comprobar los rasgos de los elementos que intervienen en la definición de logaritmo se sintetizan en la matriz siguiente:
Rasgos
de los logaritmos de los números destacados en la definición
de los textos consultados.
| TEXTO | RASGO DEL LOGARITMO |
| DRAE | Un número determinado, una cantidad positiva |
| CIRLEC | Un número real positivo |
| DICMAT | Un número dado. Un número fijo consta de característica (que puede ser positiva, negativa o nula) y mantisa (parte decimal) |
| LIBRO | Un número la base positiva, distinta de 1 |
En lo sucesivo se utilizarán los siguientes símbolos: El número dado N; la base dada a; el exponente n que es el logaritmo expresado así: n = loga N
Si nos moviéramos en el conjunto de los números complejos nada hay que decir acerca de los rasgos de los elementos que intervienen en la definición de logaritmo.
Los cuatro libros de los que se extrajeron las definiciones se referían, implícitamente, a los logaritmos de números reales, por ello sorprende su imprecisión. A continuación intento el remedio de tal imprecisión de la siguiente manera:
- La base no puede ser la unidad ya que 1n = 1, cualquiera que sea n.
NOTA: Sólo el libro de Matemáticas lo tiene en cuenta este rasgo fundamental.
- La base no puede ser cero ya que 0n = 0, cualquiera que sea n.
NOTA: Sólo el libro de Matemáticas y el DRAE tienen en cuenta este rasgo fundamental. Llama la atención que el Diccionario de Matemáticas no lo considere.
¿Puede ser negativa la base?
Por las operaciones con potencias se sabe que:
* El resultado de elevar un número negativo a exponente impar positivo es un número negativo y el resultado de elevar un número negativo a exponente par positivo es un número positivo:
Así: (-3)1 = -3 (-3)2 = + 9
¿Qué ocurre con el resultado cuando el exponente está comprendido ente 1 y 2?
Tal restricción se
expresa simbólicamente así:
n Î[1
2] o así: 1 £
n £ 2
Cuando el exponente es 1, el resultado es negativo de valor (-3) y cuando el exponente es 2, el resultado es positivo y de valor +9
¿Qué ocurre cuando n = 3/2, valor comprendido entre 1 y 2?
Calculémosle:
N = (-3)3/2 = Ö(- 3)3 = Ö-27 Sin solución en el conjunto de los números reales. No existe ni un número real que elevado al cuadrado, nos resulte (-27)
Supongamos que n = 5/3 valor comprendido entre 1 y 2
3
3
N = (-3)5/3 =Ö(-
3)5 = Ö-243
»
- 6,24
La potencia de base negativa y exponente racional en algunos casos su resultado es un número real y en otros complejo, por tanto: La base del sistema de logaritmos no puede ser negativa.
En consecuencia: La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa nula o la unidad.
N, al que hay que calcularle su logaritmo, puede ser negativo, nulo o positivo
¿Tienen logaritmo los números negativos? y ¿El cero tiene logaritmo? Para responder a esto hay que partir de las siguientes expresiones
a, la base positiva;
esto es a > 0
N, El número
negativo o nulo al que hay que determinar su logaritmo, N £
0
n, el exponente al
que hay que elevar a para obtener N; esto es:
n = loga N
Por tanto, en las condiciones anteriores, ¿Es posible calcular an = N? No, porque cualquiera que sea n, siendo a positivo el resultado siempre será positivo, por tanto no puede ser nulo, ni negativo.
En consecuencia: En el conjunto de los números reales tienen logaritmo los números reales positivos.
NOTA: Sólo
el CIRLEC tiene en cuenta este rasgo fundamental. Llama la atención
que el libro de Matemáticas no lo considere en la definición,
si bien en el desarrollo posterior, como propiedad, si lo tiene en cuenta.
Lo del Diccionario de Matemáticas ya no me sorprende.
Propiedades derivadas del concepto de logaritmo:
Cualquiera que sea la base se cumple:
a0 = 1
Cualquier número elevado a cero es igual a la unidad. En consecuencia: Cualquiera que sea la base, el logaritmo de la unidad es cero;
log 1 = 0
a1 = a
Cualquier número elevado a la unidad es igual a la base. En consecuencia: El logaritmo de la base es uno;
loga a = 1
Los logaritmos de los números se calculan con ayuda de las tablas y la calculadora.
Desde un punto de vista conceptual, para calcular el logaritmo de un número real positivo, N, se ha de disponer de una base a, que es un número real positivo distinto de 1; y escribir N, como potencia de a; el exponente calculado es el logaritmo.
Cálculo de logaritmos en el sistema de numeración decimal; esto es: de base 10.
¿Cual será el logaritmo decimal de 100?
¿Es posible aplicar la expresión an = N?
Recuérdese: n = loga N
100 escrito como potencia
de base 10 sería:
102 =
100
¿Cual es el exponente al que tengo que elevar la base, 10, para obtener el número, 100? El exponente es 2, luego 2 = log10 100
Es usual que en el sistema decimal no se escriba la base; esto es: decir que el log 100 = 2 , se conviene que la base es 10.
¿Cual será el logaritmo decimal de 10000?
¿Es posible aplicar la expresión an = N?
Recuérdese: n = loga N
10000 escrito como potencia de base 10 sería 104 = 10000
¿Cual es el exponente al que tengo que elevar la base, 10, para obtener el número, 10000? El exponente es 4, luego
4 = log 10000
¿Cual será el logaritmo decimal de 0,1?
Estrategia: se expresa 0,1 como unidad fraccionaria y después como potencia negativa de 10; así:
0,1 = 1/10 = 10-1
¿Cual es el exponente al que tengo que elevar la base, 10, para obtener el número 0,1?
El exponente es -1, luego -1 = log 0,1
Análogamente se calcularía:
log 0,01 = -2
log 0,001 = - 3
log 0,0001 = - 4
de esa manera podemos construir
la siguiente tabla de logaritmos:
| Números: | Logaritmos |
| 0,0001 = 10-4 | -4 |
| 0,001 = 10-3 | -3 |
| 0,01 = 10-2 | -2 |
| 0, 1 = 10-1 | -1 |
| 1 = 100 | 0 |
| 10 = 101 | 1 |
| 100 = 102 | 2 |
| 1000 = 103 | 3 |
| 10000 = 104 | 4 |
Y así sucesivamente se puede construir la tabla de logaritmos de las distintas potencias de 10.
Como puede comprobarse, los números están en progresión geométrica y sus logaritmos en progresión aritmética:
Recuérdese:
Una sucesión de números está en progresión geométrica si, cada término se obtiene, multiplicando el anterior por una constante que recibe el nombre de razón de la progresión.
Una sucesión de números está en progresión aritmética si, cada término se obtiene, sumándole al anterior una constante que recibe el nombre de diferencia de la progresión.
Aplicándole esto a lo anterior se ve que la razón de los números es 10 y la diferencia en los logaritmos es 1
¿Qué ocurrirá con los logaritmos de los números intermedios de los distintos intervalos de la tabla? Sus logaritmos estarán comprendidos entre los intervalos de sus respectivos logaritmos.
La matriz que sigue ejemplifica
lo dicho. La primera columna contiene los números de la matriz anterior
y el valor medio de cada intervalo; en la segunda columna se transcriben
los logaritmos de los extremos de los intervalos y el campo de variación
del logaritmo del número intermedio; en la columna tercera se transcriben
los logaritmos de los números intermedios obtenidos en la calculadora;
así: Se escribe el número, se teclea [log]
y aparece en el visor el logaritmo decimal del número marcado; en
la columna cuarta se escriben los logaritmos de los números intermedios
cuyo valor es negativo, transformándolo en dos sumandos: la parte
entera, negativa y la parte decimal positiva. Esta transformación
se explica posteriormente.
Logaritmos de algunos números
| Número | Logaritmos | Logaritmos intermedios | Logaritmos corregidos |
| 0.0001 | -4 | ||
| 0.0005 | -4<n<-3 | -3,301030 | (-4)+0,69897 |
| 0.001 | -3 | ||
| 0,005 | -3<n<-2 | -2,301030 | (-3)+0,69897 |
| 0.01 | -2 | ||
| 0.05 | -2<n<-1 | -1,301030 | (-2)+0,69897 |
| 0,1 | -1 | ||
| 0,5 | -1<n<0 | -0,301030 | (-1)+0,69897 |
| 1 | 0 | ||
| 5 | 0<n<1 | 0,69897 | |
| 10 | 1 | ||
| 50 | 1<n<2 | 1,69897 | |
| 100 | 2 | ||
| 500 | 2<n<3 | 2,69897 | |
| 1000 | 3 | ||
| 5000 | 3<n<4 | 3,69897 | |
| 10000 | 4 | ||
| 50000 | 4<n<5 | 4,69897 | |
| 100000 | 5 |
Los logaritmos de los números comprendidos entre otros dos, cuyos logaritmos son números enteros, son números decimales. Todo número decimal se compone de parte entera y parte decimal. La parte entera de los logaritmos recibe el nombre de característica y la parte decimal, mantisa.
La parte entera del logaritmo o característica depende del intervalo en el que se defina el número y la parte decimal o mantisa del valor de las cifras significativas del número.
Los logaritmos de los números intermedios, como tienen la misma cifra significativa (5), sus logaritmos tienen igual mantisa y difieren en la característica. Los logaritmos de los números menores que 1, son negativos; esto es, la característica y la mantisa son negativas. En los números mayores que la unidad su característica y su mantisa son positivas. Es aconsejable, por motivos de cálculo, que las mantisas sean positivas de ahí los valores transformados de la tabla.
¿Cómo se transforman un decimal negativo en otro cuya parte decimal sea positiva?
Recordad: Siempre que se hace una transformación se aplica una propiedad.
En esta caso le sumamos (+ 1) y (- 1) y se aplica la propiedad asociativa: Así:
log 0,05 = -1,301030 que puede escribirse así:
log 0,05 = -1 + (- 0,301030)
Si se le suma (+ 1) y (- 1) resultará
log 0,05 = -1+ (- 1) + (+ 1) + (- 0,301030)
operando:
-1+ (- 1) = -2
(+ 1) + (- 0,301030) = 0,69897
Aplicando la propiedad asociativa será:
log 0,05 = (-2) + 0,69897
Usualmente se escribe así:
log 0,05 = (-2),69897
que expresa el log 0,05 con la característica negativa y la mantisa positiva.
Regla práctica para transformar un logaritmo expresado con mantisa y característica negativas:
Se incrementa la parte entera en una unidad negativa y en la mantisa se escribe el complemento a uno; así:
log 0,005 = -2,301030
de acuerdo con la regla de
transformación sería
log 0,005 = (-3),69897
(-3) se obtiene incrementando (-2) con (-1);
El complemento a 1 de 0,301030 se calcula así:
1- 0,301030 = 0,69897
Como síntesis de lo expuesto decir que el logaritmo de 5 = 0,69897 equivale a esta expresión:
5 = 100,69897
Comprobadlo en la calculadora.
¿Qué
ventajas presenta operar con logaritmos? Es más cómodo
operar con exponentes de una base que con todo el número.
Después de lo dicho podemos introducir el concepto de Logaritmación para lo cual recordamos que al definir el logaritmo de un número se ha partido de la siguiente expresión: N = an en la que figuran tres valores: El número N, la base a y el exponente n.
Si en la fórmula anterior
se conocen dos valores se puede calcular el tercero. Según sea el
valor desconocido será la operación a realizar. La
matriz siguiente lo resume:
| Operación | N | a | n | Expresión |
| Potenciación | ? | Dato | Dato | N = an |
| Radicación | Dato | ? | Dato |
n
a = ÖN |
| Logaritmación | Dato | Dato | ? | n = LogaN |
La matriz anterior expresa la relación existente entre potenciación, radicación y logaritmación. En su virtud podemos definir la logaritmación como aquella operación que tiene por objeto el cálculo con logaritmos.
El libro de Matemáticas dice: En la potencia, conocida la base y el resultado calcular el exponente, es la logaritmación.
Con lo expuesto se pueden hacer algunos
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