Teoría Combinatoria o Análisis Combinatorio

Como continuación del tema de las Combinaciones vamos a ampliar  los conceptos reseñados en él incorporando el de Número combinatorio.

Número Combinatorio: Definiciones.

En las múltiples clases de número que se definen en el DRAE, no aparece tal concepto.

Sí aparece Combinatorio: Perteneciente o relativo a la combinación.

Como ya quedó reflejado en el tema Combinaciones

Combinación: 7. Alg. Cada uno de los grupos que se pueden formar con letras en todo o partes diferentes, pero en igual número; v.gr.: abc, efg  

Definición que no nos sirve para lo que buscamos.

Probemos con la enciclopedia CIRLEC:

El que expresa los distintos grupos que se pueden formar con diversos objetos de modo que cada grupo se diferencie de los demás  en la naturaleza de los elementos que entran en él (Como mínimo, dos grupos deben diferenciarse entre sí  en la naturaleza de un elemento). Si el número total de objetos es m y en cada grupo entran n, el _ combinatorio que se representa por

                 m                      m(m-1)(m-2)......(m-n+1)

y expresa las combinaciones  de m elementos tomados de n en n y cuyo símbolo es C_{m,n  luego:}

              m

            (    )  =  C_m,n

              n

NOTA: No queda demasiado bien pero no consigo que los paréntesis abarquen ambas letras.

Reunamos todo lo dicho en la siguiente matriz:

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE? :

Ninguno. No dice nada al respecto

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice CIRLEC?:

Los conceptos que se barajan son contradictorios. Por una parte nos dice que: Los distintos grupos que se pueden formar con diversos objetos de modo que cada grupo se diferencie de los demás  en la naturaleza de los elementos que entran en él (Como mínimo, dos grupos deben diferenciarse entre sí  en la naturaleza de un elemento)

y por otro nos da la fórmula de las combinaciones de C_m,n en las cuales las  agrupaciones se prescindía de la naturaleza de los objetos y se  distinguía una de otras en un elemento

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DIMAT?

Ninguno. No dice nada al respecto

¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el libro de matemáticas?

Número Combinatorio es el número de combinaciones de orden n de un conjunto de m elementos.

Concepto de número combinatorio

Examinadas detenidamente las definiciones anteriores se puede concluir que:

El número combinatorio es un número que se obtiene al calcular el número de combinaciones de orden n de un conjunto de m elementos.

se simboliza con la notación de Euler:

                                                   m

                                                 (    )

                                                   n

Se lee m sobre n.

m recibe el nombre de numerador

n recibe el nombre de orden

Su cálculo se hace como las combinaciones  C_m,n

OBSERVACIÓN 1ª: El número de combinaciones puede expresarse como combinaciones C_m,n y como número combinatorio_-

OBSERVACIÓN 2ª: No confundir el combinatorio con una fracción.

Ejemplos:

a) Calcular: Combinatorio 7 sobre 5 

Como el combinatorio de orden 5 y numerador siete que se expresa asÍ

                  7

                 (  ) = C_7,5          se calculan las combinaciones  de esta manera:

                  5

              V_7,5       7 x 6 x 5 x 4 x 3       2520

    C_7,5  =------- = --------------------- = --------- = 21          

                P₅                 5 !                120

b) Calcular: Combinatorio 11 sobre 3 

Como el combinatorio de orden 3 y numerador 11 que se expresa asÍ

                  11

                 (   ) = C_11,3        as combinaciones  de esta manera:

                   3

                        11 x 10 x 9      990

     C_11,3  = ------------- = ------- = 165

                       3!              6

La estrategia seguida es: Aplicar las fórmulas del cálculo de las variaciones y permutaciones. Después hacer los cálculos numéricos

NOTA: En lo que sigue no se utilizarán, obviamente, los diccionarios.

Propiedades de los números combinatorios:

Números combinatorios complementarios son aquellos que tienen el mismo numerador y la suma de sus órdenes es igual al numerador.

Así: 7 sobre 3 es complementario con 7 sobre 4 ya que la suma de sus órdenes  3 + 4 = 7 = al numerador

                              m             m

De forma general    (     )   =  (        )

                               n           m - n

Dos Números combinatorios complementarios tienen igual valor

Así 7 sobre 3 = 7 sobre 4    En efecto

  7         7x6x5

(  ) = ------------ = 35

 3          3!

  7         7x6x5x4

(  ) = ------------ = 35

 4          4!

                              m             m

De forma general    (     )   =  (        )   En efecto

                               n           m - n

  m           m!

 (   )  = ----------

  n        n!(m-n)!

   m                   m!                      m!                   m!

 (     )  = ---------------------  =------------------- = ----------

  m-n      (m-n)![m- (m-n)]!    (m-n)![m- m+n]!    (m-n)!n!    

Luego son equivalentes

Todo número combinatorio de orden 0 es igual a la unidad

Esto es m sobre 0 es igual a uno

  m        

 (   )  = 1   en efecto:

  0      

  m           m!            m!

 (   )  = ---------- = --------- = 1

  0        0!(m-0)!     0! m!

OBSERVACIÓN: Para llegar al resultado anterior se ha convenido que 0! es igual a 1

Todo número combinatorio de orden 1 es igual al numerador

Esto es m sobre 1 es igual a m

  m        

 (   )  = m   en efecto:

  1      

  m           m!          m(m-1)!

 (   )  = ---------- = ----------- = m

  1        1!(m-1)!      1!(m-1)!

OBSERVACIÓN: La estrategia seguida ha sido escribir el factorial de m, esto es m!, en función del factorial de (m-1) esto es (m-1)!

Todo número combinatorio cuyo orden coincide con el numerador  es igual  a la unidad

Esto es m sobre m es igual a uno

  m        

 (   )  = 1   en efecto:

  m      

  m           m!            m!

 (   )  = ---------- = --------- = 1

  m       m!(m-m)!     m!0!

OBSERVACIÓN: Para llegar al resultado anterior se ha convenido que 0! es igual a 1

La suma de dos números combinatorios del mismo numerador y órdenes sucesivos  es igual a otro combinatorio cuyo numerador es igual al numerador de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes de los sumandos

Esto es: m sobre n sumado a m sobre n más uno es igual a m más uno sobre n mas 1

Esto es:

  7         7         8

 (   ) + (    )  = (   )   En efecto

  3         4         4

  7         7x6x5

(  ) = ------------ = 35

 3          3!

  7         7x6x5x4

(  ) = ------------ = 35

 4          4!

  8        8 x7x6x5     1680

(  ) = ------------ = ------- = 70  = 35 + 35  

 4            4!            24

Simbólicamente

  m         m         m+1

 (   ) + (      )  = (      )  

  n        n+1        n+1

La demostración queda para el lector