Regla de los signos de las operaciones
- Suma o adición
- Diferencia
o sustracción
- Multiplicación
- División
Potenciación
Radicación
Valor absoluto
email: marodgar@telefonica.net
La intuición opera fácilmente con los números positivos; con los números negativos se resiste. Intentaré esbozar algunas reflexiones que expliquen las reglas de los signos de las operaciones.
Tenemos la idea intuitiva
de que el resultado de la suma o adición es siempre un número
mayor que los sumandos. Lo contrario ocurre con la sustracción o
diferencia. Esto se entiende fácilmente en estos casos:
Número positivo + Número positivo = Número positivo
(+5) + (+3) = (+8)
Número positivo - Número positivo menor = Nº positivo
(+5) - (+3) = (+2)
Usualmente se escriben así:
5 + 3 = 8 y 5 - 3 = 2
Obsérvese lo anterior, que he llamado escritura usual, se han suprimido los signos (+) ¿Quiere decir que son innecesarios? ¡No! Se trata de un convenio por el cual, todo número sin signo expreso supone, implícitamente, el signo (+).
El problema se complica cuando introducimos signos negativos:
Número negativo + Número negativo = Número negativo
(-3) + (-5) = (-8)
Y se complica aún más en estos casos de ambigüedad:
Número negativo - Número negativo = Número negativo
(-5) - (-3) = (-2)
Número negativo - Número negativo = Número positivo
(-3) - (-5) = (+2)
Aquí la intuición de que el resultado de la suma o adición es siempre un número mayor que los sumandos o que en la diferencia es menor, falla;
(-8) es menor que (-3) y (-5) y (+2) es mayor que (-3) ó (-5)
Les brindo una estrategia
que me dio ¡Siempre! Muy buen resultado. Si al signo (+) lo
asociamos a la idea de tener dinero contante y sonante y el (-) lo asociamos
a deber dinero; esto es a tener que pagar, no sé que tienen los
dineros que aclaran, instantáneamente, las ideas.
Ejemplo 1: La regla de los signos en la suma.
La idea intuitiva que tenemos de la adición o suma es la de añadir o agregar. Los números que se agregan se llaman sumandos y el resultado, suma.
En el cuadro nº 1, se simbolizan por a, b, S.
Usando esta idea y la estrategia
anterior justificaremos la regla de los signos en la suma.
Cuadro
nº 1: Regla de los signos en la suma.
(*) Propiedad conmutativa de la suma. Ver propiedades.
Observaciones sobre los signos
Contraer una deuda lo asociamos
al signo (-). Tener dinero lo asociamos al signo (+). Los valores lo representamos
por números, los mismos para las deudas que para lo disponible.
Cuando queremos representar el valor numérico, independiente del
signo, esto es, que sea deuda o no, la matemática introduce el concepto
de valor absoluto o módulo; así: [+3] = 3 y
[-3] = 3
| El valor absoluto o módulo de un número es su valor aritmético independiente de su signo. |
Con esta definición interpretamos la columna de la izquierda de esta manera:
Cuadro nº 1': Regla
de los signos en la suma.
| a + b = S | Leyenda |
| (+) + (+) = + (-) + (-) = - |
La suma de dos números
de igual signo, es otro número de igual signo que los sumandos:
(+5) + (+3) = (+ 8) y (-5) + (-3) = (-8) |
| (+) + (-)
= ?
(-) + (+) = ? (*) |
La suma de dos números
de signo contrario , es otro número de igual signo que el del mayor
valor absoluto de los sumandos:
(+5) + (-3) = +2 y (-5) + (+3) = - 2 |
Ejemplo 2: La regla de los signos en la sustracción o diferencia.
La idea intuitiva que tenemos de la resta, sustracción o diferencia es la contraria u opuesta a la suma; esto es, disminuir o reducir.
La definición de la resta, sustracción o diferencia, se apoya en la suma, así:
La resta, sustracción o diferencia de dos números llamados minuendo (M) y sustraendo (S), es otro número, diferencia (D) que sumado al sustraendo se obtenga el minuendo. En símbolos: M - S = D Û M = S + D
NOTA: Û Símbolo
de la doble implicación que se traduce por: “Es equivalente a”
| Una diferencia se transforma en suma cambiando el signo al sustraendo |
Toda “construcción” matemática, nueva, se apoya en lo ya “construido”; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemático se llega a una situación ya estudiada se dice: “estamos en el caso anterior”. Si la resta se puede transformar en suma, la regla de los signos de la resta se justificará a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la suma.
Usando de esta estrategia justificaremos la regla de los signos en la resta o sustracción, transformándolos en la suma. Así:
M - S = M + (-S)
Cuadro nº 2: Regla
de los signos en la en la sustracción o diferencia.
| M - S = D |
Transformación aplicando la estrategia M + (-S) = D |
| (+) - (+) = (+) + (-) = ? | Valor indeterminado. Situación equivalente a la fila segunda de la suma en cuadro 1 (Ir) |
| (-) - (-) = (-) + (+) = ? | Valor indeterminado. Situación equivalente a la fila segunda de la suma en cuadro 1 (Ir) |
| (-) - (+) = (-) + (-) = - | Situación equivalente a la fila tercera de la suma en cuadro 1 (Ir) |
| (+) - (-) = (+) + (+) = + | Situación equivalente a la fila primera de la suma en cuadro 1 (Ir) |
Ejemplo 3: La regla de los signos en la multiplicación.
Recuerdo que la primera definición
formal que oí en matemáticas la debo a mi maestro Rafael
Miranda, al que desde aquí le rindo el tributo de mi más sentido homenaje.
El Profesor Miranda nos decía:
| Multiplicar dos números, multiplicando y multiplicador, es hallar un tercero, producto, que sea en magnitud y signo respecto al primero lo que el segundo es a la unidad entera y positiva |
NOTA: La palabra magnitud se toma como valor numérico.
Usando de esta definición justificaremos la regla de los signos en la multiplicación; así:
Comparo el signo del multiplicador
con la unidad positiva, pueden ser iguales o contrarios; la misma relación
ha de darse entre el producto y el multiplicando.
Cuadro
nº 3: La regla de los signos en la multiplicación.
| M x m = P | (+1) Es la unidad entera y positiva de referencia con la que se ha de comparar el signo del multiplicador |
| (+) x (+) = + | ¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Iguales. Así han de ser los signos del producto y multiplicando |
| (+) x (-) = - | ¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Contrarios. Así han de ser los signos del producto y multiplicando |
| (-) x (+) = - | ¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Iguales. Así han de ser los signos del producto y multiplicando |
| (-) x (-) = + | ¿Cómo son los signos del multiplicador y la unidad de referencia? Contrarios. Así han de ser los signos del producto y multiplicando |
Parece una buena estrategia
para justificar la regla de los signos en la multiplicación y se
puede concluir así:
| El producto de signos
iguales es positivo.
El producto de signos contrarios es negativo |
Ejemplo
4: La regla de los signos en la división.
La definición de la
división es:
| Dividir dos números, dividendo y divisor, es hallar un tercero, cociente, que multiplicado por el divisor se obtenga el dividendo |
Como se ha dicho en la suma,
toda “construcción” matemática, nueva, se apoya en lo ya
“construido”; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento
matemático se llega a una situación ya estudiada se dice
“estamos en el caso anterior”. Si la división se define partiendo
de la definición de multiplicación o producto, la regla de
los signos de la división se justificará a partir de los
signos obtenidos de aplicar la regla de la multiplicación. Dicho
de otra manera: Se elige el signo del cociente que al multiplicarlo por
el signo del divisor obtenemos el signo del dividendo.
Cuadro
nº 4: La regla de los signos en la división.
| D : d = c | Por la definición: d x c = D |
| (+) : (+) = + | Porque (+) x (+) = + |
| (+) : (-) = - | Porque (-) x (-) = + |
| (-) : (+) = - | Porque (+) x (-) = - |
| (-) : (-) = + | Porque (-) x (+) = - |
Parece una buena estrategia
para justificar la regla de los signos en la División y se puede
concluir así:
| El cociente de signos
iguales es positivo.
El cociente de signos contrarios es negativo |
OBSERVACIÓN: Es de destacar en todo lo anteriormente expuesto la estrategia empleada: Apoyarse en lo conocido para indagar y resolver lo desconocido.
Ejemplo
5: La regla de los signos en la potencia.
La potencia de exponente
natural y base entera se define así:
| Elevar un número entero a llamado base a un exponente natural n consiste en repetir a como factor tantas veces como indica n |
Como se ha dicho anteriormente, toda “construcción” matemática, nueva, se apoya en lo ya “construido”; en lo anterior. Esto quiere decir que si en un razonamiento matemático se llega a una situación ya estudiada se dice “estamos en el caso anterior”. Si la potencia se define partiendo de la definición de multiplicación o producto, la regla de los signos de la potencia se justificará a partir de los signos obtenidos de aplicar la regla de la multiplicación.
Cuadro
nº 5: La regla de los signos en la potencia.
| N = an |
n veces
Por la definición: N = a.a.a....a |
| base positiva:
a > 0 |
La potencia es positiva porque producto de signos positivos es positivo N > 0 |
| base negativa:
a < 0 |
Dos casos pueden presentarse:
Exponente par: La potencia es positiva porque producto par de signos negativos es positivo N >0 Exponente impar: La potencia es negativa porque producto impar de signos negativos es negativo N < 0 |
Parece una buena estrategia
para justificar la regla de los signos en la potencia y se puede concluir
así:
| La potencia de base positiva
siempre es positiva
La potencia de base negativa es positiva si el exponente es par y negativa si el exponente es impar |
OBSERVACIÓN: Es de destacar en todo lo anteriormente expuesto la estrategia empleada: Apoyarse en lo conocido para indagar y resolver lo desconocido.
Ejemplo
6: La regla de los signos en la radicación.
La raíz de índice natural
de un número se define así:
| La raíz enésima de un número N llamado radicando consiste en hallar un número a que elevado al índice n, obtengamos N |
Los signos de la raíz se deducen a partir de los signos de la potencia
Cuadro
nº 5: La regla de los signos en la raiz.
| n
Ö N = a n es un número natural |
Por la definición: N = an |
| Radicando
positivo:
N > 0 |
Dos caso pueden presentarse:
Índice par: Dos raíces una positiva y otra negativa porque cualquiera que sea la base elevada a exponente par la potencia es positiva Índice impar: Una raíz positiva ya todo número positivo elevado a exponente entero es positivo |
| Radicando negativo:
N < 0 |
La operación solo es posible si el exponente es impar. La raíz es negativa porque producto impar de signos negativos es negativo , ya que si el exponente es impar el signo de la potencia es el de la base |
OBSERVACIÓN: Se está hablando de raíces reales. No se
han tenido en cuenta las raíces complejas cuya
resolución escapa al contenido que nos proponíamos.
La regla de los signos en
la radicación se puede resumir así:
| La raíz de índice
impar es positiva si el radicando es positivo y negativa si
es negativo
La raíz de índice par tiene dos soluciones opuestas; esto es: Una positiva y otra negativa |
OBSERVACIÓN: Es de destacar que los números negativos
no tienen raíz de índice par en los números reales.
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