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Otras aplicaciones de la trigonometría: Sistema
de coordenadas
Signos de las razones trigonométricas Variación de los signos de las razones con los ángulos Variación de los signos de las razones en las proximidades de ciertos ángulos
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OTRAS APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA
En este tema responderemos a las siguientes preguntas: ¿Conocemos otras aplicaciones de la Trigonometría? Los sistemas de coordenadas. ¿Cómo lo haremos? Utilizando: La "localización" de un punto en un plano, las razones trigonométricas y las propiedades que ligan a los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos. ¿Por qué? Por sus múltiples aplicaciones. ¿Para qué las usaremos? Para adiestrarnos en su manejo
y estar preparados para su potencial utilización en todas las ciencias.
Aplicación de la trigonometría a los sistemas de coordenadas: ¿Qué es un sistema? el DRAE nos da la respuesta: Conjunto de reglas o principios sobre una materia racionalmente enlazados entre sí. //2. Conjunto de cosas que ordenadamente relacionados entre sí contribuyen a determinado objeto. ¿Qué son las coordenadas? Dice el DRAE: Coordenado, da. (De co- y ordenado) adj. Geom. Aplicase a las líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y a los ejes o planos a que se refieren aquellas líneas. Un sistema de coordenadas, de acuerdo con lo anterior, será un conjunto de líneas, planos u otras cosas que nos sirvan para determinar la posición de un punto. El punto puede estar situado en una recta, en una curva, en un plano, en una superficie plana o curva o en el espacio. Lo elemental de esta página nos limita a considerar el punto situado en una recta, en un plano o en el espacio. Supongamos una recta horizontal
Adoptamos el convenio de que toda longitud tomada hacia la derecha es positiva y hacia la izquierda, negativa y recíprocamente: Una longitud positiva se mide hacia la derecha de O y una negativa a la izquierda de O. La posición de un punto P respecto de O, en esta recta, se le llama abscisa de P y expresa la distancia entre P y O. ¿Qué dice el DRAE sobre la abscisa? Dice el DRAE: Abscisa: (del lat. abscissa, cortada) f. Geom. Coordenada horizontal en un plano cartesiano rectangular. Es la distancia entre un punto y el eje vertical, medida sobre una paralela al eje horizontal. // Geom. V. eje de abscisas. ¿Qué dice el CIRLEC sobre la abscisa? Abscisa: Mat. Una de las dos coordenadas cartesianas que sirven para determinar la posición de un punto del plano. ¿Qué dice el DICMAT sobre la abscisa? Abscisa: Distancia que hay desde un punto al centro de coordenadas sobre el eje de las X NOTA 1: Definición impropia de un Diccionario de Matemáticas. Debe exigírsele más precisión o mejor redacción..
Adoptamos el convenio de que toda longitud tomada hacia arriba es positiva y hacia abajo, negativa y recíprocamente: Una longitud positiva se mide hacia arriba de O y una negativa hacia abajo de O. La posición de un punto P respecto de O, en esta recta, se le llama ordenada de P y expresa la distancia entre P y O. (La palabra ordenada, figura en el DRAE y el CIRLEC, remitiendo a las coordenadas cartesianas). Lo dicho para las rectas anteriores es válido para cualquier recta. Tomemos dos rectas X’X e Y’Y que se cortan perpendicularmente en O; estas dos rectas determinan un plano. Un punto P de ese plano puede “localizarse” tomando como referencia las rectas X’X e Y’Y. Al sistema así definido recibe el nombre de sistema cartesiano en el plano, o plano cartesiano.
Tomemos una recta horizontal y un origen O en ella. Un punto P de ese plano puede “localizarse” tomando como referencia la distancia OP = r; la semirrecta OX y el ángulo XOP = t. Al sistema así definido recibe el nombre de sistema polar en el plano.
1.- Coordenadas cartesianas
y paramétricas.
Cuadro
nº 1: Coordenadas cartesianas
NOTA 2: Recuérdese que la distancia de un punto a una recta se mide desde el punto al pie de la perpendicular trazada desde el punto a la recta. NOTA 3: Conviene
recordar que las coordenadas cartesianas tomadas hacia la derecha y hacia
arriba son positivas y hacia la izquierda y hacia abajo son negativas.
Cuadro
nº 2: Coordenadas paramétricas
r y t son las coordenadas
paramétricas del punto P
r siempre es positivo y t es positivo si gira contrario a las agujas del reloj (sentido matemático positivo) y negativo si gira a favor de las agujas del reloj. NOTA 4:
En coordenadas paramétricas, el punto P describe una circunferencia
al ser r constante.
NOTA
5:
En coordenadas polares, el punto P describe una curva
al ser r variable.
Los
dos ejes cartesianos dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
que se signan con los siguientes ordinales 1º; 2º; 3º; 4º.
Las coordenadas cartesianas
tomadas hacia la derecha y hacia arriba son positivas y hacia la izquierda
y hacia abajo son negativas.
Con tales convenios se puede
confeccionar el cuadro siguiente de valores de ángulos y signos
de las coordenadas.
Cuadro
nº 3: valores del ángulo y signos de las coordenadas
Todos los ángulos mayores de 360º, diferirán en un número exacto de vueltas. Un ángulo cualquiera, A, se puede expresar así: A = 360 k + t; siendo t el resto de dividir A por 360. Así por ejemplo: 3267 = 360 x 9 + 27 Recorrer 3267º en una circunferencia equivale a dar nueve vueltas contrarias a las agujas del reloj y añadirle 27º. Esta operación ha permitido reducir el ángulo a la primera vuelta. Si aplicamos el concepto: Razones trigonométricas de un ángulo al triángulo rectángulo de la figura, como x, y, r, forman un triángulo rectángulo, le es de aplicación el Teorema de Pitágoras por lo que podemos escribir: y/r = sen t
de la que se obtiene y = r sen t (1)
Las fórmulas anteriores nos permiten transformar las coordenadas cartesianas en paramétricas y recíprocamente. - Dados r
y t, con las (1) y (2) se obtienen las coordenadas cartesianas.
De las propiedades de las
razones trigonométricas podemos escribir que:
Cuadro
nº 4: Signos de las razones trigonométricas:
NOTA 1: Al describir el punto P una circunferencia completa el parámetro (ángulo) t, varía desde 0 a 360, relación que se expresa así: 0 £
t
£
360
Hay ángulos para los cuales las razones: seno, coseno, tangente, tienen valores nulos. sus recíprocos, cosecante, secante y cotangente carecen de valor ya que la división por cero no está definida. Al dividir la unidad por cero no existe ningún número que multiplicado por cero nos de como producto la unidad. Lo mismo ocurre con un número cualquiera. En el cuadro nº 5 esa circunstancia la reseño con el símbolo ¥. Eso ocurre en los siguientes casos: sen 0 = sen 180 = sen 360
= 0;
Cuadro
nº 5: Valores del ángulo y signos de las razones trigonométricas:
NOTA 2: En 0, 90, 180, 270, 360, las coordenadas cambian de signo. En esos puntos, las razones: tangente, cotangente, secante y cosecante presentan alguna irregularidad, signada con el símbolo ¥. Esto se explica con más rigor al tratar las funciones trigonométricas. Para plasmar lo dicho, tómese la calculadora y compruébese los valores contenidos en el:
Cuadro
nº 6: Valores de las razones en las proximidades de ciertos ángulos:
Los saltos en los valores de las razones trigonométricas, en un entorno de ciertos valores de t, nos indica la existencia de alguna irregularidad que se estudiarán en las funciones trigonométricas. Los intervalos de variación de las razones trigonométricas son los siguientes: -1£ sen t £ 1 ; -1£ cos t £ 1 ; - ¥ < tg t < +¥ - ¥< cosec t <+¥ ; - ¥< sec t <+¥ ; - ¥< ctg t <+¥ De esto se deduce que el
problema: determinar el valor de la razón trigonométrica
de un ángulo tiene una y única solución. El problema
recíproco no cumple esta propiedad; esto es: dada una razón
trigonométrica hallar el ángulo que le corresponde tiene
dos soluciones en cada caso en la primera vuelta (ver cuadro nº 3),
e infinitas soluciones para las infinitas vueltas que el punto puede dar.
Esta solución se signa así: t + 360 k, para
2.- Transformación de coordenadas cartesianas. Dice el DRAE: transformación. (Del lat. transformatĭo, -ōnis). 1. f. Acción y efecto de transformar. Hay acepciones a la Biología y a la Lingüística pero sin referencia a las Matemáticas. Busquemos: transformar. 1. tr. Hacer cambiar de forma a alguien o algo. U. t. c. prnl.
De las definiciones del DRAE podemos extraer que la transformación de coordenadas cartesianas consiste en cambiarlas de forma. Parece que no nos puede ayudar más pero puede ser suficiente. ¿Qué dice el CIRLEC ?
transformación: Mat// Cambio de variables para facilitar la resolución de un problema (por ejemplo _ de coordenadas) ¿Qué dice el DICMAT? Hace referencia a diversos casos particulares de la transformación sin especificar lo que se busca. Síntesis de lo anterior: Podemos decir que la transformación de sistemas de coordenadas consiste en cambiar las variables para facilitar la expresión de sus ecuaciones. Más arriba se ha establecido la correspondencia entre sistemas cartesiano, paramétrico y polar. Ahora nos vamos a referir a la transformación de un sistema cartesiano en otro cartesiano. ¿Qué situaciones pueden presentarse? . Trasladar un sistema de ejes cartesianos paralelamente a sí mismo - Girar un sistema de ejes cartesianos un ángulo determinado - Una combinación de ambos.
Traslación de ejes:
Sea el sistema cartesiano XOY de origen O(0 0)y un punto P(x y) Sea el sistema cartesiano EO'F, paralelo al anterior y cuyo origen respecto del sistema XOY es O'(a b). El punto P(x y) referido al sistema EO'F tendrá de coordenadas P(e f).
Se trata del mismo punto que al tener distintos ejes de referencia tendrá distintas coordenadas respecto del nuevo sistema. La pregunta que hemos de responder es la siguiente:
Conocidas las coordenadas de un punto P respecto del sistema XOY ¿Cual será la expresión de las nuevas coordenadas respecto al sistema resultante de la traslación del origen O a O'?
Si (x y) son las coordenadas de P respecto de XOY; ()
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