Teoría Combinatoria o Análisis Combinatorio

En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:

¿Qué es la combinatoria?

¿Cómo se clasifica?

¿Cómo se ordenan los elementos de los conjuntos?

¿Cómo se cuentan?

¿Qué aplicaciones tiene?

Es posible que se respondan algunas más.

¿Qué dice el DRAE acerca de la combinatoria?

Combinatorio, ria. adj.  Perteneciente o relativo a la combinación. 

¿Y el CIRLEC?

No dice nada sobre la palabra combinatoria. Sí de combinatorio que remite a número combinatorio.

¿Y el DICMAT?

No dice nada sobre la palabra combinatoria ni combinatorio.

Resulta bastante deprimente que en un Diccionario de Matemáticas no aparezca este concepto.

Como el DRAE nos remite a combinación veamos que dice al respecto:

Combinación //7. Álg. Cada uno de los grupos que se pueden formar  con letras en todo o partes diferentes, pero en igual número; v. gr.: abc, abd, efg.

Definición bastante pobre para proceder de un Diccionario. Sin entrar en el fondo de la definición ¿Solo se pueden combinar letras? ¿No pueden combinarse números, objetos, etc.? Lo dicho: paupérrimo.

¿Y el CIRLEC?

Combinación. MAT. Cada uno de los distintos grupos que pueden formarse con los objetos de una serie (número combinatorio: ver); según el número de elementos que entren en la _, se llama ésta monaria, binaria, ternaria, etc.

Definición bastante pobre para proceder de una Enciclopedia. Sin entrar en el fondo de la definición ¿Solo se pueden combinar los objetos de una serie?

¿Qué dice el CIRLEC que es una serie?

Serie. Conjunto de cosas relacionadas entre sí y que se suceden unas a otras.

Esta definición de serie confirma lo paupérrimo de la definición de combinación.

¿Y el DICMAT, qué dice?

Combinación: Número de grupos diferentes que pueden hacerse de cualquier número de objetos tomados en determinadas cantidades.

Esta definición es más general que las anteriores por cuanto se refiere a grupos diferentes que pueden formarse con objetos sin precisar que tales objetos sean letras, formen una serie o no.

El DICMAT no dice nada acerca de la forma de agrupar los objetos.

Lo visto es insuficiente para responder a lo exigido. Posteriormente se hará uso de esa significación.

¿Qué dice el libro de Matemáticas?

El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden recibir los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

 NOTA: Pongo en rojo la palabra recibir porque no me gusta por su falta de precisión; la sustituiría por: formularse con. La definición quedaría así:

El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

El  objeto de la Combinatoria que nos manifiesta el libro de matemáticas exige:

- Un conjunto cualquiera.

- Los elementos del conjunto han de ordenarse de una cierta manera formando grupos.

- Los grupos que se formen tienen unas ciertas relaciones entre ellos, relaciones que hay que estudiar.

De lo dicho se desprende que la naturaleza de los conjuntos y sus elementos no entran en juego en el estudio.

Supongamos que se dispone de ese conjunto de objetos cuyo número de elementos lo signamos de modo general por m.

OBSERVACIÓN:

No parece excesivo decir que "m" ha de ser un número natural

La cuestiones que surgen  de inmediato son:

1ª.- ¿En la ordenación de los m elementos del conjunto se pueden repetir o no? 

2ª.- ¿Entran todos a la vez en la ordenación o no?

3ª.- ¿El orden en tomar los elementos del conjunto, se repitan o no, entren todos a la vez o no, interviene en el carácter diferente de los grupos?

Está claro que según sean las respuestas a tales cuestiones nos dará distintos tipos de ordenaciones. Veámoslo.

Ejemplo 1º:

Supongamos los dígitos 1, 2, 3. En este caso el número m de elementos del conjunto es 3.

Con estos tres dígitos se pueden formar tres números distintos de una cifra, ordenaciones unitarias y son:                

   1, 2, 3

Tomando un digito es imposible la repetición, por tanto para una u otra situación los números de una cifra que se pueden formar con los dígitos anteriores son los señalados. Al tomar los elementos de uno en uno, es irrelevante señalar lo de la repetición, por cuanto la repetición es imposible.

Con estos tres dígitos se pueden formar seis números diferentes con dos cifras distintas, ordenaciones binarias, y son:                              

 [1]2      [1]3

NOTA:Los números encerrados entre corchetes constituyen las ordenaciones unitarias expresadas más arriba.

¿Cómo se ha formado la matriz de las ordenaciones binarias sin repetición de sus elementos?

Se escriben en columna las ordenaciones unitarias sin repetición y se le van añadiendo a la derecha los demás elementos del conjunto que no están colocados en cada ordenación;  así:

¿Cómo se cuentan estas ordenaciones?

La matriz de la ordenación binaria tiene tantas filas como ordenaciones unitarias; en nuestro caso 3 y, tantas columnas como elementos tiene el conjunto menos la colocada en la ordenación unitaria; esto es:

 3 - 1 = 2

Número de ordenaciones = número de filas x número de columnas =

= 3 x 2 = 6

Si las cifras se repiten la ley de formación es semejante:

Se escriben en columna las ordenaciones unitarias con repetición que son las mismas que sin repetición y se le van añadiendo a la derecha los elementos del conjunto así:

¿Cómo se cuentan estas ordenaciones binarias con repetición?

La matriz de la ordenación binaria tiene tantas filas como ordenaciones unitarias; en nuestro caso 3 y, tantas columnas como elementos tiene el conjunto ya que, al poderse repetir, todos los elementos tienen que intervenir en la ordenación binaria; esto es:

Número de ordenaciones = número de filas x número de columnas =   3 x 3 =  3² = 9

Con tres dígitos distintos se pueden formar números distintos de tres cifras, ordenaciones ternarias sin repetición y son:                                

                                        [12]3    [13]2

                                        [21]3    [23]1  

                                        [31]2    [32]1

NOTA:

Los números encerrados entre corchetes constituyen las ordenaciones binarias sin repetición expresadas más arriba.

¿Cómo se ha formado la matriz de las ordenaciones ternarias sin repetición de sus elementos?

Se escriben en columna las ordenaciones binarias sin repetición y se le van añadiendo a la derecha el elemento del conjunto que no está colocado en cada ordenación;  así: 

¿Cómo se cuentan estas ordenaciones?

La matriz de la ordenación ternaria tiene tantas filas como ordenaciones binarias; en nuestro caso 6 y, tantas columnas, como elementos tiene el conjunto menos los colocados en la ordenación binaria; esto es:

  3 - 2 = 1

Número de ordenaciones = número de filas x número de columnas = 6 x 1 = 6

Si las cifras se repiten la ley de formación es semejante:

Se escriben en columna las ordenaciones binarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha cada uno de los elementos del conjunto; así: 

¿Cómo se cuentan estas ordenaciones ternarias con repetición?

La matriz de la ordenación ternaria tiene tantas filas como ordenaciones binarias; en nuestro caso 3² = 9  y, tantas columnas como elementos tiene el conjunto ya que, al poderse repetir, todos los elementos tienen que intervenir en la ordenación ternaria; esto es:

Número de ordenaciones = número de filas x número de columnas = 3² x 3 =  3³ = 27

Si con los tres dígitos, 1, 2, 3 queremos formar números de cuatro, cinco, o más cifras, es necesario repetir algún número.

De la cuestión primera: 

¿En la ordenación de los m elementos del conjunto se pueden repetir o no? 

Y los ejemplos propuestos  surge la primera clasificación:

De las cuestiones segunda y tercera:  

2ª.- ¿Entran todos los elementos a la vez en la ordenación o no?

3ª.- ¿El orden en tomar los elementos del conjunto, se repitan o no, entren todos a la vez o no, interviene en el carácter diferente de los grupos?

Y los ejemplos propuestos obligan a otras matizaciones:

En el primer caso, que entren todos los elementos a la vez, es el orden de los dígitos el que hace que una ordenación se diferencia de otra. Cuando entran todos los elementos del conjunto a la vez y se diferencia una ordenación de otra en el orden de colocación de sus elementos, tales ordenaciones reciben el nombre de permutaciones.

En el segundo caso, cuando pueden entrar todos los elementos del conjunto a la vez o no y además se diferencia una ordenación de otra en el orden de colocación de los elementos o en algún elemento de los que intervienen, tales ordenaciones reciben el nombre de variaciones.

De lo dicho se desprende que las permutaciones es un caso particular de las variaciones.

Ejemplo 2º:

Supongamos tres botes de la misma capacidad con los colores: rojo, amarillo y verde.

¿Cuantos colores distintos puedo generar?

Si los tomo de uno en uno resultarán los tres propuestos; esto es: rojo, amarillo y verde que por simplicidad lo signaré con sus iniciales:       r, a, v

Si los tomo de dos en dos, en el caso que no se pueda repetir color, resultarían los tres siguientes:

                                      ra, rv, av

¿Cómo se ha formado la matriz de las ordenaciones binarias sin repetición de sus elementos?

Se escriben en columna las ordenaciones unitarias sin repetición y se le van añadiendo a la derecha los elementos del conjunto que le siguen en cada ordenación;  así:

Se han completado las ordenaciones binarias incluyendo las agrupaciones entre paréntesis. Por las mismas circunstancias de la ordenación, el color final resultante de mezclar el rojo y el amarillo es el mismo que si se mezclan el amarillo y el rojo. Esto es:

El color ra, es equivalente al (ar).

Lo mismo ocurre con el rojo y el verde, esto es:

El color rv, es equivalente al (vr).

Análogamente ocurre con el amarillo y el verde. Esto es:

El color av, es equivalente al (va).

Dicho de otra manera: El orden en que se mezclen los colores es irrelevante para conseguir el color final.

En  virtud de lo dicho, existen ordenaciones en que el orden en que se tomen los elementos en la ordenación no influye en el resultado; tales ordenaciones reciben el nombre de combinaciones.

 ¿Cómo se cuentan estas ordenaciones?

 Se verá más adelante.

Si los colores pueden repetirse la ley de formación es semejante:

Se escriben en columna las ordenaciones unitarias con repetición que son las mismas que sin repetición y se le van añadiendo a la derecha el último elemento y los demás elementos del conjunto que no están colocados en cada ordenación así: 

Se han incluido las ordenaciones equivalentes que se encierran entre paréntesis para indicar que no han de ser consideradas en el recuento ya que, el color obtenido con ra, es equivalente al (ar), el rv  lo es al (vr) y el av lo es al (va).

¿Cómo se cuentan estas ordenaciones binarias con repetición?

Se verá más adelante

Con tres colores distintos solo puede formarse un solo color el determinado por rav

Si los colores se repiten la ley de formación es semejante:

Se escriben en columna las ordenaciones binarias con repetición y se le van añadiendo a la derecha el último elemento escrito en la ordenación y los que le siguen del conjunto; así:

¿Cómo se cuentan estas ordenaciones ternarias con repetición?

Se verá más adelante

El orden en que se vuelquen los colores básicos en el recipiente, tanto si se repiten como no, es irrelevante; resultaría siempre el mismo color. En este tipo de ordenaciones interviene que los elementos se repitan o no o que una ordenación de otra difiera al menos de un elemento no en el orden de su colocación. Tales ordenaciones reciben el nombre de combinaciones.

El problema consiste en distinguir, en una ordenación si son: variaciones, permutaciones o combinaciones; reconocido esto, saber, ordenarlas y contarlas. La teoría combinatoria o análisis combinatorio que vamos a estudiar se sintetiza en el siguiente:

Cuadro sinóptico: 

Campo de aplicación:

Completando lo dicho anteriormente sabemos que en la vida cotidiana se presentan situaciones de la que se desea obtener alguna información. Por ejemplo:

¿Cuantas quinielas he de jugar para garantizar una de catorce aciertos? ¿Y un pleno al quince? ¿Cómo influye en el número de boletos prefijar algunos resultados?

Con un conjunto de colores básicos ¿Cuantos colores distintos podré conseguir?

Y muchos otros que el lector se puede formular.