Aplicaciones de la Trigonometría:
Aplicaciones
geométricas a:
-
Los triángulos oblicuángulos o escalenos
Propiedades
de aplicación:
-
Suplementariedad de los ángulos
-
Teorema del coseno
-
Teorema del seno
- Ejercicios diversos de triángulos escalenos
Resumen de los problemas que pueden plantearse
Ejemplos: Resolver un triángulo conocidos:
-
Dos lados y el ángulo comprendido
-
Dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos
-
Un lado y dos ángulos adyacentes
-
Los tres lados
email: marodgar@telefonica.net
TRIÁNGULOS ESCALENOS
La trigonometría es un instrumento de cálculo muy fecundo. Se aplica en todo problema relacionado con ángulos o con fenómenos periódicos. La estrategia a emplear consiste en transformar la aplicación en un triángulo rectángulo u oblicuángulo y aplicarle las relaciones conocidas.
En este tema responderemos a las siguientes preguntas:
¿Qué otras aplicaciones inmediatas tiene la Trigonometría?
La resolución de triángulos escalenos u oblicuángulos.
¿Cómo lo haremos?
Utilizando las razones trigonométricas y las propiedades que ligan a los lados y los ángulos en los triángulos escalenos.
¿Por qué?
Puede utilizarse como herramienta de cálculo posterior.
¿Para qué las usaremos?
Para adiestrarnos en su manejo y estar preparados para su potencial utilización, no solo en la Geometría sino en otras ciencias.
Aplicación de la trigonometría a la resolución de triángulos oblicuángulos o escalenos.
¿Qué es un triángulo escaleno? el DRAE nos da la respuesta: escaleno (Del gr. scalenoç oblicuo) adj. Geom. V. triángulo escaleno. Geom. El que tiene los tres lados desiguales.
Los triángulos escalenos se clasifican en acutángulos si los tres ángulos son agudos y obtusángulos si uno de los ángulos es obtuso
NOTA: La irregularidad presenta más dificultades que la regularidad.
Para resolver problemas de triángulos escalenos hemos de buscar alguna propiedad geométrica que le sea de aplicación.
Sea el triángulo ABC
de la figura.
Propiedades
de los triángulos:
| En todo triángulo la suma de sus ángulos es igual a ciento ochenta grados sexagesimales |
Simbólicamente sería:
A + B + C = 180 (1)
Los lados tienen estas propiedades:
| El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él |
| El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. |
Simbólicamente se expresarían así:
a2 = b2
+ c2 - 2cn (2)
a2 = b2
+ c2 + 2cn (2')
NOTA: n es la proyección de b sobre c.
OBSERVACIÓN: Recuérdese que la proyección de un punto sobre un eje es, el pie de la perpendicular trazada desde el punto sobre el eje y la proyección de un segmento es, el segmento resultante de unir las proyecciones de sus extremos
Sea el triángulo acutángulo, ABC de lados a, b, c.
Si proyectamos ortogonalmente el punto C sobre el lado c, obtendremos el punto H, que con A y C forman un triángulo rectángulo; en él, n = AH, proyección de b, sobre c, se cumplirá que:
n = b cos A (3)
si sustituimos (3) en (2), se obtiene:
a2 = b2
+ c2 - 2cb cos A (4)
Sea el triángulo obtusángulo,
ACB de lados a, b, c.
Si proyectamos ortogonalmente el punto C sobre la prolongación del lado c, obtendremos el punto H, que con A y C forman un triángulo rectángulo; en él, n = AH, proyección de b, sobre c, se cumplirá que:
n = b cos (180 - A)
NOTA: Obsérvese que el ángulo A es el BAC y el ángulo (180-A) es el HAC
si sustituimos (3) en (2'), se obtiene:
a2 = b2 + c2 + 2cb cos (180 - A) (5)
Pero el cos (180 - A) = - cos A (6)
sustituyendo (6) en (5) resultará:
a2 = b2 + c2 + 2cb (- cos A)
o lo que es lo mismo
a2 = b2 + c2 - 2cb cos A
que es la misma expresión de (4)
Esta propiedad se conoce con el nombre de
Teorema del coseno
y se enuncia así:
El cuadrado del lado de un triángulo, es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.
Sea el triángulo ABC de la figura, inscrito en una circunferencia de centro O
El diámetro trazado por A, corta a la circunferencia en C’. El ángulo ABC’ es recto en B, ya que se trata de un ángulo inscrito que abarca un arco de amplitud 180. En él se cumplirá:
sen C’ = AB/AC’ = c/diámetro = c/2R
R es el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo. El diámetro de una circunferencia es el doble del radio.
Los ángulos C y C’ son iguales por ser ángulos inscritos con la misma amplitud: el arco AB. Por tanto
sen C = c/2R de donde 2R = c/sen C (7)
El mismo razonamiento para los otros lados y ángulos del triángulo inscrito nos llevaría a las siguientes conclusiones:
2R = b/sen B (8)
y
2R = a/sen A (9)
Como los primeros miembros son iguales, los segundos miembros también han de serlo (propiedad transitiva de las relaciones) por tanto se puede escribir:
a/sen A = b/ sen B = c/sen C = 2R
Esta propiedad se conoce con el nombre de
Teorema del seno
y se enuncia así:
En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
NOTA: La constante de proporcionalidad es el diámetro de la circunferencia circunscrita.
OBSERVACIÓN: Una
propiedad geométrica expresa que: A mayor lado se opone mayor ángulo
y a menor lado se opone menor ángulo; sin embargo, la proporcionalidad
no
es entre lados y ángulos opuestos sino entre lados y senos
de los ángulos opuestos.
Cuadro nº 1: Propiedades, relaciones y fórmulas de aplicación
| Propiedad o
relación |
Fórmula |
| Suplementa
riedad |
A + B + C = 90 (1) |
| Teorema del
seno |
a/sen A= b/sen B = c/sen C (2) |
| Teorema del
coseno |
a2 = b2 + c2 - 2cb cos A (3) |
1.- Aplicaciones geométricas a un triángulo escaleno:
Cuadro nº 2: Resolver el triángulo dados:
| Caso | Descripción |
| 1º | Dos lados y el ángulo comprendido |
| 2º | Dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos |
| 3º | Un lado y los ángulos adyacentes |
| 4º | Los tres lados |
Que podemos expresarlo así:
| Caso | a | b | c | A | B | C |
| 1º | (x) | (x) | (?) | (?) | (?) | (x) |
| 2º | (x) | (x) | (?) | (x) | (?) | (?) |
| 3º | (?) | (x) | (?) | (x) | (?) | (x) |
| 4º | (x) | (x) | (x) | (?) | (?) | (?) |
NOTA: Los datos lo signamos con una (x); lo que pretendemos averiguar con una (?). Cualquiera que sea el problema, un dato imprescindible tiene que ser un lado. El cuadro anterior resume las posibles variantes
Un triángulo se caracteriza por sus tres lados y sus tres ángulos.
Todos los ejercicios posibles
sobre el triángulo se reducen a completar los valores desconocidos
de sus lados y sus ángulos a partir de ciertos datos, uno de ellos
tiene que ser un lado.
Resolver triángulos escalenos es seguir el proceso siguiente:
| 1 | Se dibuja un triángulo , se signa con las letras usuales |
| 2 | Los datos se escriben sobre el propio triángulo |
| 3 | ¿Qué fórmulas ligan los datos y las incógnitas? |
| 4 | Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones |
| 5 | Se resuelve la ecuación o el sistema resultante |
| 6 | Se discute la solución |
| 7 | Se comprueban los resultados |
NOTA: Obsérvese que todos los ejemplos se resuelven con el mismo proceso; esto es: aplicando a cada caso cada una de las secuencias del esquema anterior. Este proceso es el mismo que se estudió en los triángulos rectángulos
AVISO: En los ejemplos que siguen, la magnitud de los datos se reseñan en la tabla y los resultados, no en los cálculos. Los ángulos se expresan en unidades sexagesimales.
Observación: Las relaciones que se indican, en cada caso, verificarlas en el propio triángulo.
1º.- Resolver un triángulo conocidos dos lados y el ángulo comprendido
| Caso | a | b | c | A | B | C |
| 1º | (?) | 2 cm | 5 cm | 32º | (?) | (?) |
1.- Dibujo del triángulo
signado.
2.- Los datos escritos sobre
el propio triángulo.
b= 2 cm; c = 5 cm; A = 32º
3.- ¿Qué fórmulas ligan los datos e incógnitas?
Los ángulos por la fórmula de la suplementariedad
A + B + C = 180 (1)
Los lados por los teoremas del seno y coseno
a/sen A = b/ sen B = c/sen
C (2)
a2 = b2
+ c2 - 2cb cos A
(3)
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
Si en las relaciones (1), (2), (3) sustituimos cada variable por su valor, obtendremos:
32 + B + C = 180 (1')
a/sen 32 = 2/ sen B = 5/sen C (2')
a2 = 22 + 52 - 2.5.2 cos 32 (3')
Que constituye un sistema de cuatro ecuaciones y tres incógnitas.
5.- Se resuelve el sistema resultante.
Para resolverlo procedemos como sigue:
de (3') se obtiene a
a2 = 4 + 25 - 20 x 0,8480481
a2 = 12,039038
a = ± Ö12,039038 = ± 3,4697317
Tomamos la raíz positiva por cuanto se trata de la longitud del lado de un triángulo que no puede ser negativa
Sustituyendo en (2') el valor de a se obtiene B y C
3,4697317/sen 32 = 2/ sen B
3,4697317/sen 32 = 5/sen C
de donde
sen B = 2 sen 32/3,4697317 = 0,3054525
B = arc sen 0,3062469
= 17º 47' 8''
o 162º 12'' 52''
sen C = 5 sen 32/3,4697317 =0,7636314
C = arc sen 0,7656173
= 49º 47' 8"
o 130º 12' 52''
NOTA: Recuérdese que un ángulo tiene un solo valor del seno pero al mismo seno le corresponden dos ángulos.
6.- Se discute la solución.
Se sabe que una raíz cuadrada tiene dos soluciones la longitud de un triángulo es una magnitud positiva por tanto la solución será el valor positivo de la raíz y como los datos vienen expresados en centímetros, la solución será:
a = 3,4697317 cm.
Los valores obtenidos para los ángulos y los datos se resumen así:
| Ángulos | Valores | Valores |
| A | 32º | 32º |
| B | 17º 47' 8'' | 162º 12'' 52'' |
| C | 49º 47' 8" | 130º 12' 52'' |
| SUMA | 99º 34' 16" < 180 | 324º 25' 44''>180 |
El triángulo no puede
ser acutángulo por cuanto la suma de los ángulos agudos es
inferior a 180º (columna del centro, luego tiene que ser obtusángulo.
Las soluciones posibles son:
32º + 162º 12' 52'' + 49º 47' 8" = 244º
Solución no válida por cuanto es superior a 180º
La otra solución sería:
32º + 17º 47' 8''
+ 130º 12' 52'' = 180º
7.- Comprobación:
Se ha verificado en el apartado anterior
2º.- Resolver un triángulo escaleno conocidos dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos.
| Caso | a | b | c | A | B | C |
| 2º | 8 dm. | 7 dm | (?) | (?) | 47º15’32’’ | (?) |
1.- Dibujo del triángulo
signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
a = 8 m; b = 7 B = 47º15’32’’
3.- ¿Qué fórmulas ligan los datos e incógnitas?
Los ángulos por la fórmula de la suplementariedad
A + B + C = 180 (1)
Los lados por el teorema del seno
a/sen A = b/sen B = c/sen C (2)
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
Si en las relaciones(1),
(2)
sustituimos cada variable
por su valor, obtendremos:
A + 47º15’32’’ + C = 180 (1')
7/sen 47º15’32’’ = 8/sen A (2')
7/sen 47º15’32’’ = c/sen C (2")
Que constituye un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas: c, A y C
5.- Se resuelve el sistema resultante.
Para resolverlo procedemos como sigue:
de (2') se obtiene A
sen A = 8 sen 47º15’32’’ /7 = 0,839346
de donde
A = arc sen 0,839346
= 57º 4' 16"
o 122º 55'' 44''
NOTA: Recuérdese que un ángulo tiene un solo valor del seno pero al mismo seno le corresponden dos ángulos.
En (1') se sustituyen los valores de A calculados y se obtendrán dos valores para C, así:
i) con la primera solución de A = 57º 4' 16"
57º 4' 16" + 47º15’32’’ + C = 180
Operando se obtendría:
104º 19'48" + C = 180
de donde
C = 180 - 104º 19' 48" = 75º 40' 12"
de (2") se obtiene el valor de c
c = 7 sen 75º 40' 12"/sen 47º15’32’’
c = 9,2346774 dm
ii) con la segunda solución de A =122º 55'' 44''
122º 55'' 44''
+ 47º15’ 32’’ + C = 180
Operando se obtendría:
170º 11' 16" + C = 180
de donde
C = 180 - 170º 11' 16"
= 9º 48' 44"
de (2") se obtiene el valor de c
c = 7 sen 9º 48' 44"/sen 47º15’32’’
c = 1,6243093 dm
6.- Se discute la solución.
El problema presenta dos
soluciones que se resumen así:
| Símbolos | Solución 1ª | Solución 2ª |
| A | 57º 4' 16" | 122º 55'' 44'' |
| B | 47º15’32’’ | 47º15’32’’ |
| C | 75º 40' 12" | 9º 48' 44" |
| SUMA | 180 | 180 |
| a | 8 dm | 8 dm |
| b | 7 dm | 7 dm |
| c | 9,2346774 dm | 1,6243093 dm |
7.- Comprobación:
Se ha verificado en el apartado
anterior
3º.- Resolver un triángulo conocidos un lado y los dos ángulos adyacentes.
| Caso | a | b | c | A | B | C |
| 3º | (?) | (?) | 10 dm | 52º30' | 39º45' | (?) |
1.- Dibujo del triángulo
signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
c = 10 dm; A
= 52º 30' B = 39º 45'
3.- ¿Qué fórmulas ligan los datos e incógnitas?
Los ángulos: por la fórmula de la suplementariedad
A + B + C = 180 (1)
Los lados por el teorema del seno
a/sen A = b/sen B = c/sen C (2)
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
Si en las relaciones (1)
y (2)
sustituimos cada variable
por su valor, obtendremos:
52º 30' + 39º 45' + C = 180 (1')
10/sen C = a/sen 52º 30' (2')
10/sen C = b/39º 45' (2")
Que constituye un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas, a, B y C
5.- Se resuelve el sistema resultante.
Para resolverlo procedemos como sigue:
de (1') se obtiene C
52º 30' + 39º 45' + C = 180º
operando resulta:
92º 15' + C = 180º
de donde
C = 180º - 92º 15' = 87º 45'
Sustituyendo este valor en (2) y (2') resultará
10/sen 87º 45' = a/sen 52º 30'
10/sen 87º 45' = b/39º 45' de donde
a = 10 sen 52º 30'/sen 87º 45' = 7,9274169 dm
b = 10 39º 45'/sen 87º 45' = 6,3894602 dm
6.- Se discute la solución.
El problema presenta una
solución única que se resume así:
| Símbolos | Solución única |
| A | 52º 30' |
| B | 39º 45' |
| C | 87º 45' |
| SUMA | 180 |
| a | 7,9274169 dm |
| b | 6,3894602 dm |
| c | 10 dm |
7.- Comprobación:
Se ha verificado en el apartado
anterior
| Caso | a | b | c | A | B | C |
| 4º | 7 m | 8 m | 9 m | (?) | (?) | (?) |
1.- Dibujo del triángulo
signado.
2.- Los datos escritos sobre el propio triángulo.
a = 7 m; b =
8 m; c = 9 m
3.- ¿Qué fórmulas ligan los datos e incógnitas?
Los ángulos por la fórmula de la suplementariedad
A + B + C = 180 (1)
Los lados por los teoremas del seno y coseno
a/sen A = b/ sen B = c/sen
C (2)
a2 = b2
+ c2 - 2cb cos A
(3)
4.- Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones.
Si en las relaciones (3)
sustituimos cada variable
por su valor, obtendremos:
72 = 82 + 92 - 2.8.9 cos A (3')
Que constituye una ecuación con una incógnita: cos A
5.- Se resuelve el sistema resultante.
Para resolverlo procedemos como sigue:
de (3') se obtiene A, así:
2.8.9 cos A = 82 + 92 - 72
144 cos A =64 + 81 - 49
de donde
cos A = 96/144 = 0,6666666
A = arc cos 0,6666666 = 48º
11' 22"
o
311º 48' 38"
NOTA: Recuérdese que un ángulo tiene un solo valor del coseno pero al mismo coseno le corresponden dos ángulos.
El ángulo 311º 48' 38", resuelve la ecuación, pero no es solución del problema por cuanto su valor ha de ser inferior a 180º
Una vez calculado C el problema se reduce al caso 1º
Resuélvalo el lector como ejercicio. Las soluciones se resumen en la tabla siguiente:
| Símbolos | Solución 1ª | Solución 2ª |
| A | 48º 11' 22" | 311º 48' 38" |
| B | 58º 24' 42" | 121º 51' 49" |
| C | 73º 23' 54" | 108º 2' 32" |
| SUMA | 179º 58' 118" (*) | |
| a | 7 dm | 7 dm |
| b | 8 dm | 8 dm |
| c | 9 dm | 9 dm |
(*) Los 2" que faltan en la solución 1ª se deben a los "redondeos" de la calculadora
6.- Se discute la solución.
La solución 1ª resuelve el problema; la 2ª resuelve el sistema de ecuaciones pero no el problema ¿Por qué? Responda la pregunta el lector,
7.- Comprobación:
Se ha verificado en el apartado anterior con la SUMA.
email: marodgar@telefonica.net