Trigonometria:
Esquema
general
Introducción
Concepto
Clasificación
de la Trigonometría:
-
Plana
-
Esférica
-
Analítica o goniometría
Propiedades
de:
-
Los ángulos:
-
Los lados: Teorema de Pitágoras
email: marodgar@telefonica.net
INTRODUCCIÓN
En el conjunto de temas que conforman la Trigonometría, vamos a intentar responder a las siguientes preguntas:
¿Qué es la
trigonometría?
¿Qué conceptos
fundamentales se definen en ella?
¿Cómo se clasifica?
¿Cuales son sus aplicaciones?
El esquema general que sigue bosqueja los contenidos.
ESQUEMA
GENERAL DE LA TRIGONOMETRÍA
Empecemos por preguntarnos: ¿Qué es la Trigonometría?
Como he dicho en la introducción al estudio de la matemática, para un primer encuentro con un concepto, es bueno hacer uso del DRAE que ofrece un primer apunte sobre lo que queremos aprender. Puede usarse una enciclopedia donde el apunte es más amplio; un diccionario especializado nos dará una información más precisa. En un libro que trate del tema la exposición es mucho más amplia. A veces el proceso puede invertirse: Primero se adquiere el concepto; luego, para su confirmación u otra visión desde distintas perspectivas, se busca en los libros reseñados.
Recurrir a lo etimológico, facilita las cosas. Si se busca en la historia se completará la visión. El orden en que se empleen estos instrumentos es arbitrario; lo importante es llenar el máximo de lagunas para que el concepto quede aprendido.
¿Qué dice el DRAE?
Trigonometría: (Del gr.trigonometria ) f. Parte de las matemáticas que trata del cálculo de los elementos de los triángulos planos y esféricos.// esférica. La que trata de los triángulos esféricos. // plana. La que trata de los triángulos planos
NOTA:
Un aprendiz de matemáticas
debe familiarizarse con el alfabeto griego.
Otra pregunta ¿Qué conceptos se barajan en lo que dice el DRAE?:
- Es una parte de las matemáticas.
- Trata del cálculo
de los elementos de los triángulos planos y esféricos.
A
partir de lo que dice el DRAE podemos concluir que existen dos tipos de
triángulos: Triángulos planos y triángulos esféricos.
- De esta clasificación
de los triángulos se deduce que la trigonometría también
se clasificará en Trigonometría plana y Trigonometría
esférica
Me voy a centrar ahora en la Trigonometría plana y dejaremos para otra ocasión la Trigonometría esférica; por tanto trataremos de los triángulos planos o de los triángulos en el plano
En un diccionario de griego lo más parecido a trigonometria es: trigonon que significa: triángulo y metron del que se deriva metria que significa medida. Por tanto, la trigonometría, etimológicamente, trata de la medida de los triángulos.
Probemos con la enciclopedia CIRLEC:
Trigonometría: Parte de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. La __ plana se divide en tres partes: goniometría, que estudia las funciones goniométricas o circulares (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante) y las relaciones existentes entre ellas; __ plana, que estudia los triángulos planos; y __ esférica, que estudia los triángulos esféricos.
La enciclopedia dice algunas cosas más pero ahora no nos interesa, lo dejamos esperando para cuando sea necesario.
Comparando las tres fuentes que he utilizado, prueban lo que dije al principio: el apunte del DRAE, tiene bastante información, Lo etimológico lo confirma y lo extraído de la enciclopedia es más amplio; le añade los siguientes conceptos:
- Goniometría.
- Funciones goniométricas
o circulares (seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante)
.
- Las relaciones
existentes entre tales funciones.
NOTA:
Es de observar que hasta
ahora solo he utilizado diccionarios de la lengua y una enciclopedia.
¿Qué dice sobre el asunto el diccionario especializado DICMAT?
Trigonometría: Parte de la Matemática que estudia los problemas relativos a los elementos de los triángulos.
Trigonometría analítica: Parte de la Trigonometría que trata de las relaciones y propiedades de las funciones trigonométricas.
NOTA:
Observa que es lo mismo
que decía la enciclopedia para referirse a la goniometría.
Podemos inferir que: Trigonometría analítica y goniometría son conceptos equivalentes
Trigonometría esférica: Parte de la Trigonometría que trata de los triángulos esféricos.
Trigonometría plana: Parte de la Trigonometría que trata de los triángulos en el plano.
NOTA:
Observa que es equivalente
a lo dicho por el DRAE
¿Qué dice un libro de matemáticas al respecto?
Trigonometría: Es la parte de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo.
NOTA:
Observa que es equivalente
a lo dicho por la enciclopedia, sin incluir clasificación alguna
como la del DRAE.
Como me voy a centrar ahora en la Trigonometría plana, trataremos de los triángulos planos o de los triángulos en el plano así como de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo.
¿Te acuerdas de la Geometría del triángulo? ¿Si? sigue adelante. ¿No? Deberías recordarlo. En su momento desarrollaremos la Geometría del triángulo.
La Trigonometría plana que vamos a estudiar en primer lugar se refiere al triángulo rectángulo; posteriormente, la extenderemos a los triángulos escalenos u oblicuángulos.
Sea el triángulo rectángulo de la figura al que hemos signado con las letras: A para el ángulo recto y B, C, para los ángulos agudos. Los lados lo hemos signado con las letras minúsculas de los ángulos opuestos. Así a = BC, b= AC y c= AB para los lados opuestos a los ángulos A, B y C, respectivamente. El lado a opuesto al ángulo recto A, se le llama hipotenusa y los lados b y c, opuestos a los ángulos agudos B y C, se les llama catetos.
Recordemos algunas propiedades de los triángulos rectángulos:
De los ángulos: La suma de de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90º, equivalente a un recto. Cuando dos ángulos agudos suman un recto se les llama complementarios.
Complemento de un ángulo agudo es lo que le falta para valer un recto. Así en el triángulo rectángulo de la figura, B es el complemento de C y C es el complemento de B.
Para expresar matemáticamente esta propiedad se escribe: B+C=90
De la que se puede obtener:
B = 90 - C y C = 90 - B
El complemento de un ángulo se obtiene restándole a 90 el valor del ángulo.
Así: Complemento de 30 = 90 - 30 = 60
NOTA:
Recordad estas fórmulas
y cálculos que habremos de utilizar con frecuencia.
De los lados: La suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa, propiedad conocida como teorema de Pitágoras.
¿Cual sería su expresión simbólica?
La suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos se expresaría así: b2 + c2
El cuadrado de la longitud de la hipotenusa se expresa asi: a2
La propiedad conocida como teorema de Pitágoras se expresaría así:
b2 + c2 = a2
Ya está mullido el colchón para empezar a desplegar la Trigonometría en las: Razones trigonométricas:
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