Valor de las razones trigonométricas: Procedimiento gráfico
Trazado de las líneas en los distintos cuadrantes:
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1º cuadrante
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2º cuadrante
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3º cuadrante
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4º cuadrante
email: marodgar@telefonica.net
OTRAS APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA
LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS
La trigonometría es
un instrumento de cálculo muy fecundo. Se aplica en todo problema
relacionado con ángulos o con fenómenos periódicos.
En este tema responderemos
a las siguientes preguntas:
¿Qué otras aplicaciones inmediatas tiene la Trigonometría?
La Construcción de segmentos llamados líneas trigonométricas cuya longitud coincide con el valor numérico de la razón que representa.
¿Cómo lo haremos?
La estrategia a emplear consiste en utilizar las razones trigonométricas, la circunferencia goniométrica y la semejanza de triángulos
¿Por qué se expone?
Es un instrumento útil para interpretar los valores y signos de las razones trigonométricas.
¿Para qué las usaremos?
Como recurso en el estudio de la variación de las razones trigonométricas e introducción posterior en el concepto de función trigonométrica.
Se ha deducido en Sistema de Coordenadas que
y/r = sen t de la que
se obtiene y = r sen t (1)
x/r = cos t de la
que se obtiene x = r cost (2)
y/x = tg t
de la que se obtiene y = x tg t (3)
x2 + y2 = r2 (4)
Si en (1) y (2) damos a r, valor unidad, (4) se puede escribir así:
sen2 t + cos2 t = 1
Si trazamos una circunferencia
de radio unidad:
Figura 1: Circunferencia goniométrica
a cada valor de t le corresponderán sendos valores de x e y con las siguientes relaciones:
x = cos
t
y = sen
t
Se tiene así un procedimiento gráfico para determinar valores aproximados del seno y coseno de un ángulo; así: Ver figura 1.
- Se traza una circunferencia
con centro O en el origen de coordenadas y de radio unidad:
Ejemplo: 1 dm.
- Partiendo de O, se traza una recta OS de amplitud t que cortará a la circunferencia en el punto P.
- El punto P, se proyecta sobre OX en el punto A.
OAP forma un triángulo rectángulo.
El número expresado en dm (unidad de medida utilizada en el trazado de la circunferencia) de la longitud del segmento OA = x, abcisa de P, es el coseno de t.
El número expresado en dm de la longitud del segmento AP = y, ordenada de P, es el seno de t.
OBSERVACIÓN: Siguiendo el criterio dado en las coordenadas cartesianas el sentido de los segmentos nos ofrecerá el signo que corresponde a cada línea trigonométrica.
Teniendo en cuenta las propiedades de los triángulos semejantes se pueden construir las demás líneas trigonométricas; así: Figura 2
El eje OX corta a la circunferencia en el punto B. Desde este punto se levanta una perpendicular a OX, hasta que corte a OS en el punto C.
El número expresado en dm de la longitud del segmento BC, es la tangente de t
El número expresado
en dm de la longitud del segmento OC, es la secante de t
El eje OY corta a la circunferencia en el punto D. Desde este punto se levanta una perpendicular a OY, hasta que corte a OS en el punto E.
El número expresado en dm de la longitud del segmento DE, es la cotangente de t
El número expresado en dm de la longitud del segmento OE, es la cosecante de t
Con los procesos antes reseñados se han trazado las líneas trigonométricas de un ángulo en el primer cuadrante. Análogamente se pueden trazar las líneas trigonométricas de cualquier ángulo siguiendo el mismo procedimiento.
Como ejemplo se trazan las líneas de un ángulo en cada cuadrante. En el primero se han trazado las líneas de dos ángulos y para respetar la signación dada en el proceso, a las letras del segundo ángulo se tildan así.
En los demás cuadrantes se han trazado las líneas de un solo ángulo.
El lector siguiendo este
procedimiento puede hacer ejercicios variados.
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