TRIGONOMETRIA: OTRAS RELACIONES Y PROPIEDADES

Índice del tema:

Preguntas

Razones trigonométricas de :

Suma de arcos

- Cuadrante
- Razones del ángulo a
- Razones del ángulo b
- Razones de  la suma de arcos
  - Figura inicial
  - Figura final
- Seno y coseno de la  suma de los arcos
- Tangente de la  suma de los arcos
- Cotangente de la  suma de los arcos

Diferencia de arcos

Suma y diferencia: Fórmulas
Angulos opuestos

Múltiplo de los arcos:
- Angulo doble
- Angulo triple
- Angulo mitad
  - Angulo mitad:  seno y coseno
   - Angulo mitad tangente y cotangente
- Angulo mitad: Fórmulas
 

Transformación de productos en sumas:
- Transformación de P. en S.: Fórmulas

Transformación de sumas en  productos
- Transformación de S. en P.: Fórmulas

Comentario final

PORTAL

INDICE

email: marodgar@telefonica.net

Con este tema se concluye toda la Trigonometría plana que pensaba exponer; en él responderemos a las siguientes preguntas:

¿Además de las relaciones y propiedades trigonométricas estudiadas hay otras que interesan? 
¿Por qué son necesarias tales propiedades y relaciones?
¿Para qué las usaremos?

¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se suman o se restan?

¿Que ocurre en las razones trigonométricas cuando sus ángulos se multiplican o dividen por un número?

Responderemos: Las razones trigonométricas no gozan de la propiedad asociativa de la suma o del producto. Dicho de otra manera: 

De la suma o diferencia de arcos, no se sigue la suma o diferencia de las razones. Si un ángulo se duplica no se duplica la razón.

Responderemos: Para usarlos como instrumento en determinadas transformaciones.

En lo que sigue se utilizarán los siguientes conceptos:

Se parte de la circunferencia goniométrica  de la que, para más sencillez, tomamos el primer cuadrante.

OBSERVACION: Recuérdese que una circunferencia goniométrica es aquella de radio unidad. Los segmentos que se signan serán líneas trigonométricas

NOTA: En lo que sigue se usará indistintamente razón y línea trigonométrica.

RECOMENDACIÓN: Es recomendable para un mejor aprovechamiento, seguir en el papel el proceso dibujando la figura.

Sea el cuadrante de circunferencia de centro O; en él y haciendo coincidir un lado con el eje OX se traza el ángulo a = XOA 

Se proyecta, ortogonalmente, A sobre OX en el punto D. 

AD = sen a     (1) 
OD = cos a     (2)

En la misma figura y haciendo coincidir un lado con el lado OA  del ángulo anterior se traza el ángulo b = AOB

B se proyecta, ortogonalmente, sobre OA en el punto C. En ella

Consideremos tal ángulo en la circunferencia goniométrica y en ella se proyecta B sobre OX en el punto E

NOTA: En los gráficos anteriores se ha utilizado lo dicho en líneas trigonométricas:seno y coseno 

Examinando las figuras anteriores se observa que, el seno de la suma de arcos, no es igual a la suma de los senos y el coseno de la suma de arcos, no es igual a la suma de los cosenos. Simbólicamente se expresaría así: 

Para obtener la fórmula se sigue el siguiente proceso:

* Se reunen todas las figuras en una sola 
* Se proyecta, ortogonalmente, C sobre EB en el punto F, resultando el triángulo rectángulo BFC en el que se verifica:

- La hipotenusa BC = sen b 
- El ángulo FBC = a    por la siguiente propiedad: 

Dos ángulos cuyos lados sean perpendiculares, son iguales.

- El cateto BF = BC cos a = sen b cos a   (7)
- El cateto FC = BC sen a = sen b sen a 

También:

Examinando la figura 6 se observa la  relación que se expresa  y las fórmulas (5) y (6) se transformarían en:

Si se tiene en cuenta que FC = EG  y EF = GC las fórmulas (5’) y (6’) se transforman en estas otras :

Sustituyendo  en (5”) y (6”) resultará que 

Fórmulas que nos permite conocer el seno y el coseno de la suma de arcos en función de los senos y cosenos de los sumandos.

OBSERVACION: En lo que sigue se harán transformaciones utilizando propiedades y conceptos ya utilizados; Asi:

si en (13) sustituimos  los valores obtenidos en (11) y (12) se tendrá:

Esta fórmula es más “aparatosa” que difícil por ello, la someteremos a la siguiente transformación: dividir los términos de la fracción por: cos a cos b  resultando:

Fórmula más simple que la (13) y que liga la tangente de la suma de arcos en función de las tangentes de los sumandos.

y recordando que para obtener la recíproca de una fracción se invierten los términos resultará que si:

resultado obtenido después de hacer las sustituciones convenientes. 

Las transformaciones aplicadas a las otras relaciones, nos llevaría a fórmulas más complejas en éstas.  
 

Se trata de calcular las razones trigonométricas de  (a - b), para lo cual se podría seguir un proceso semejante al seguido para la suma. Sin embargo, la matemática usa siempre de lo ya obtenido y lo conjuga para no trabajar inútilmente; teniendo en cuenta que la diferencia se transforma en suma cambiando el signo al sustraendo, así:

En los resultados habrá que tener en cuenta las propiedades trigonométricas que les sean de aplicación; así:

NOTA: El giro matemático positivo es contrario a las agujas del reloj y el negativo a favor. En la figura se signan   b y (-b). El ángulo b está situado en el 1º cuadrante y el (-b) en el 4º. Examinando la circunferencia goniométrica de la figura

se observa que OA,  coseno de b y (- b) es común y seno de b y (- b) son opuestos, por tanto:

OBSERVACION: Las fórmulas de las razones trigonométricas de la suma y diferencia de arcos  son semejantes obteniéndose una de la otra cambiando los signos; esto es,  si en la suma se cambia el signo +  por el - y el - por el +, se obtienen las fórmulas de la diferencia y recíprocamente, si en la diferencia se cambia el - por el + y el +  por el -, se obtienen las fórmulas de la suma.

Por tal motivo se reúnen todas la fórmulas anteriores en el siguiente

3.- Razones trigonométricas de los múltiplos de los arcos

Mutatis mutandi es una locución latina que significa “cambiando lo que haya que cambiar”. El sentido de esta locución lo he utilizado como herramienta en la obtención de las fórmulas de la sustracción de arcos partiendo de lo obtenido para la suma; para lo cual, al cambiar b por (-b) en la fórmula he debido de cambiar las expresiones trigonométricas usando la propiedad: razones trigonométricas de los ángulos opuestos.

Esta estrategia la usaré para obtener las razones trigonométricas del ángulo doble; esto es las razones trigonométricas de 2a.

Para obtener lo buscado, basta sustituir en las fórmulas (11), (12), (14) y (15), obtenidas para la suma, b por a. Así si: 
 

Se tendrá después de la sustitución, lo siguiente:

Si queremos obtener las razones trigonométricas del ángulo triple seguiremos el proceso utilizado para el ángulo doble; si

basta sustituir en las fórmulas (11), (12), (14) y (15), obtenidas para la suma, b por 2a

En las fórmulas obtenidas se sustituye las razones del ángulo doble por sus valores expresados en las fórmulas (11”), (12”), (14”) y (15”).

A veces se precisa conocer las razones trigonométricas del ángulo mitad. Como el ángulo a es el doble de a/2, usaré la estrategia de, a partir las razones trigonométricas del ángulo doble, mutatis mutandi; obtener las razones trigonométricas del ángulo mitad a/2.

Para obtener lo buscado, basta sustituir en la fórmulas (12”), obtenidas para el ángulo doble,  2a por a  y   a/2 por a. Así si:

Se tendrá después de la sustitución, lo siguiente:

Se sabe que para todo ángulo se cumple la fórmula fundamental de la trigonometría:

(12””) y (*) constituyen un sistema de ecuaciones trigonométricas cuyas incógnitas son  sen a/2   y 
cos a/2 que escribimos asi:

- Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución
- Resolver un sistema de ecuaciones consiste en reducirlo a otro equivalente para lo cual hay que hacerle sucesivas transformaciones hasta llegar a la solución. Esto se consigue por aplicación de las propiedades convenientes.

Se ve que si sumamos y restamos miembro a miembro, ambas ecuaciones se obtiene:

El método seguido para resolver el sistema es el de reducción.

Para calcular la tangente del ángulo mitad se parte de la fórmula como cociente entre el seno y coseno del mismo ángulo; se hacen las sustituciones oportunas y se simplifica. Así: 

Esta expresión puede transformarse en otra más sencilla si se multiplican ambos términos por 

OBSERVACION: En las fórmulas anteriores aparece el signo ± ¿Qué indica esto? Que para un mismo valor de la razón le corresponden dos valores distintos de los ángulos. El signo nos indica la discusión a la que tiene que ser sometida la solución de las ecuaciones trigonométricas. 

De la misma manera que se hizo con la suma y diferencia de arcos  se reúnen todas la fórmulas   del ángulo mitad en el siguiente

NOTA: Como puede apreciarse en la fórmulas del ángulo mitad se han suprimido las de la secante y cosecante; el lector interesado puede hacerlo como ejercicio.
 

A veces se presentan determinados problemas (ejemplo: integración de funciones trigonométricas) en los que la expresión viene propuesta en productos de expresiones trigonométricas y el problema se resuelve mejor si disponemos de una expresión equivalente como producto de expresiones trigonométricas. La estrategia a emplear es utilizar las fórmulas obtenidas en este tema y resolver  el sistema resultante.

Con el seno y el coseno los productos que pueden presentarse son:

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a     (11)
cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b      (12)
sen (a - b) =  sen a cos b - sen b cos a      (11’)
cos (a - b) =  cos a cos b + sen a sen b     (12’)

¿ En cuales de las fórmulas anteriores aparece el caso  I) sen a cos b?

En la (11) y (11’); con ellas se forma el siguiente sistema de ecuaciones y se resuelve así:

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a
sen (a - b) =  sen a cos b - sen b cos a

Sumando miembro a miembro resulta:

sen (a + b) + sen  (a - b) = 2 sen a cos b 

de donde 

2 sen a cos b = sen (a + b) + sen  (a - b) 

despejando

sen a cos b = 1/2 [sen (a + b) + sen  (a - b)]

De forma análoga nos preguntamos: 

¿ En cuales de las fórmulas anteriores aparece el caso II) cos a cos b?

En la (12’) y (12); con ellas se forma el siguiente sistema de ecuaciones y se resuelve así:

cos (a - b) =  cos a cos b + sen a sen b
cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

Sumando miembro a miembro resulta:

cos (a - b) + cos (a + b) = 2 cos a cos b

de donde

2 cos a cos b = cos (a - b) + cos (a + b) 

despejando

cos a cos b = 1/2 [cos (a - b) + cos (a + b)]

De forma análoga nos preguntamos: 

¿ En cuales de las fórmulas anteriores aparece el caso  III) sen a sen b?

En la (12’) y (12); con ellas se forma el siguiente sistema de ecuaciones y se resuelve así:

cos (a - b) =  cos a cos b + sen a sen b
cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

Restando miembro a miembro resulta:

cos (a - b) - cos (a + b) = 2 sen a sen b 

de donde

2 sen a sen b = cos (a - b) - cos (a + b) 

despejando

sen a sen b = 1/2 [cos (a - b) - cos (a + b)]
 

De la misma manera que se hizo con los casos anteriores, se reúnen todas la fórmulas del  de transformación  en el siguiente

Resumen:

En el apartado anterior se han transformado los productos en sumas. Recíprocamente, a veces se presentan determinados problemas en que hay que obtener la transformación de sumas de expresiones trigonométricas en productos. La estrategia a emplear es utilizar las fórmulas obtenidas en este tema y resolver  el sistema resultante.

Como se ha visto los caso de productos que pueden presentarse son:

Se sabe por que se ha obtenido en el apartado anterior que:

2 sen a cos b = sen (a + b) + sen  (a - b) 
2 cos a cos b = cos (a - b) + cos (a + b)         [i] 
2 sen a sen b = cos (a - b) - cos (a + b)

En el sistema de ecuaciones [i], los datos son:
(a + b) y (a - b) que llamaremos respectivamente:

por tanto en este sistema de ecuaciones, las incógnitas serán a y b

2 sen [1/2 (x + y)] cos [1/2 (x - y)] = sen x + sen y
2 cos [1/2 (x + y)] cos[1/2 (x - y)] = cos y + cos x 
2 sen [1/2 (x + y)] sen [1/2 (x - y)] = cos y - cos x

Despejando se obtiene la transformación que se escribe, directamente, en forma de tabla resumen: 
 
 

El lector como ejercicio puede expresar los productos como diferencia de senos o cosenos, bien siguiendo el proceso anterior o utilizando la estrategia derivada de las relaciones entre los senos y cosenos de los ángulos opuestos.

Para un principiante en el conocimiento trigonométrico, este tema puede descomponerlo. Son tantas las fórmulas que aparecen y de tan aparente complejidad que resulta anonadante. Sin embargo, apenas se observe con detenimiento, se puede concluir que, con el conocimiento de los temas: razones y líneas trigonométricas y el manejo de las propiedades para las transformaciones, requisito necesario para la resolución de los sistemas, el tema lo puede escribir el principiante con facilidad.

Algún lector puede preguntarse ¿Cómo se sabe la propiedad que hay que aplicar en cada transformación para obtener el resultado esperado? 

El estudioso de las Matemáticas, sabe la respuesta; porque “se ve” ¿Qué quiere decir esto? Algo sencillo: Las propiedades son "herramientas" intelectuales de las transformaciones; de la misma manera que el carpintero en cada operación elige la herramienta o el "útil" preciso, así el matemático. Todo profesional le lleva tiempo aprender su oficio y más aún perfeccionarlo; así el matemático.

PORTAL

INDICE

email: marodgar@telefonica.net