Aplicaciones geométricas a figuras reducibles a triángulos rectángulos:
- Triángulos:
- Equiláteros
- Isósceles: Estrategias
- Escalenos
-
Cuadriláteros:
- Paralelogramos
- Cuadrado
- Rectángulo
- Rombo
- Romboide
- Trapecio
- Trapezoide
- Polígonos
regulares
-
Polígonos irregulares
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APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA
FIGURAS REDUCIBLES A
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
La trigonometría es
un instrumento de cálculo muy fecundo. Se aplica en todo problema
relacionado con ángulos o con fenómenos periódicos.
La estrategia a emplear consiste en transformar la aplicación en
un triángulo
rectángulo
u oblicuángulo
y aplicarle las relaciones conocidas.
En este tema responderemos a las siguientes preguntas:
¿Qué otras aplicaciones inmediatas tiene la Trigonometría?
La resolución de figuras geométricas reducibles a triángulos rectángulos.
¿Cómo lo haremos?
Utilizando las razones trigonométricas, y las propiedades que ligan a los lados y los ángulos en los triángulos rectángulos y lo obtenido en la resolución de triángulos rectángulos.
¿Por qué?
Puede utilizarse como herramienta de cálculo posterior
¿Para qué las usaremos?
Para adiestrarnos en su manejo y estar preparados para su potencial utilización y comprobar la polivalencia de los instrumentos matemáticos.
2.- Aplicaciones geométricas reducibles a un triángulo rectángulo:
| Triángulo equilátero es aquel que tiene iguales sus lados y sus ángulos |
Los triángulos tienen la propiedad:
A + B + C = 180
Al tener sus tres ángulos iguales se cumplirá que
3A = 180; luego cada ángulo tiene una amplitud de 60º
Los problemas relativos al triángulo equilátero se resuelven sin necesidad de aplicar la trigonometría, solo geométricamente.
Un triángulo equilátero
también llamado equiángulo es isósceles, los problemas
en que interviene aquél se resuelven trigonométricamente,
aplicando lo que sigue:
| Un triángulo isósceles es aquel que tiene iguales dos lados y dos ángulos |
Si llamamos A al ángulo desigual y B a los ángulos iguales, por las propiedades de los ángulos se sabe que:
A + 2 B = 180
La altura AH relativa al lado desigual del triángulo isósceles es bisectriz del ángulo, por tanto dividirá al triángulo isósceles en dos triángulos rectángulos iguales.
Los problemas que se nos pueden plantear son los siguientes:
1.- Dado el lado desigual a y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo desigual, los otros lados iguales b, la altura h, la superficie S.
2.- Dado el lado desigual a y el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales, B, el otro lado b, la altura h, la superficie S.
3.- Dado el lado igual b y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo desigual, el otro lado a, la altura h, la superficie S.
4.- Dado el lado igual
b
el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales,
el otro lado a, la altura h, la superficie S.
En todos los casos los ángulos se calculan resolviendo la ecuación:
A + 2 B = 180; En ella se sustituye el dato y se resuelve la ecuación resultante.
1 Dado el lado desigual a y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo desigual, los otros lados iguales b, la altura h, la superficie S.
A = 180 - 2B ; con a/2 y B el problema se ha transformado en el caso 4º de los triángulos rectángulos. La superficie se calcula con la fórmula S = ah/2
2 Dado el lado desigual a y el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales, el otro lado b, la altura h, la superficie S.
B = (180 - A)/2 ; con B calculado y el lado a, el problema se ha transformado en el caso anterior. El cateto contiguo del ángulo B es a/2. La superficie se calcula con la fórmula S = ah/2
3 Dado el lado igual b y uno de los ángulos iguales B, hallar: el ángulo desigual, el otro lado a, la altura h, la superficie S.
A = 180 - 2B ; con b y B el problema se ha transformado en el caso 1º de los triángulos rectángulos. La superficie se calcula con la fórmula S = ah/2
4 Dado el lado igual b el ángulo desigual A, hallar: los ángulos iguales, el otro lado a, la altura h, la superficie S.
B = (180 - A)/2. El problema es como el caso anterior después de la transformación. El cateto contiguo del ángulo B es a/2. La superficie se calcula con la fórmula
S = ah/2
Este problema se resuelve
en los triángulos escalenos
u oblicuángulos
|
Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados |
Se clasifican en:
Paralelogramos:
- Cuadrado
- Rectángulo
- Rombo
- Romboide
Trapecio
Trapezoide
- Cuadrado: Los problemas relativos al cuadrado se resuelven sin necesidad de aplicar la trigonometría, solo geométricamente.
Un cuadrado es un polígono equilátero y equiángulo, los problemas en que interviene aquél se resuelven trigonométricamente, aplicando lo que sigue:
Al tener los cuatro ángulos rectos, si se traza la diagonal, el cuadrado se divide en dos triángulos rectángulos iguales e isósceles, por tanto se puede aplicar lo dicho para este triángulo. Asimismo es de aplicación cualquiera de los cinco casos estudiados para el triángulo rectángulo.
- Rectángulo: Los problemas relativos al rectángulo se resuelven, aplicando lo que sigue:
Al tener los cuatro ángulos rectos, al trazar la diagonal el rectángulo se divide en dos triángulos rectángulos equivalentes, por tanto es de aplicación cualquiera de los cinco casos estudiados para el triángulo rectángulo.
- Rombo:
El rombo tiene la propiedad de que sus diagonales se cortan perpendicularmente
y una cualquiera de sus dos diagonales divide al rombo en dos triángulos
isósceles equivalentes. Los problemas relativos al rombo se resuelven, aplicando
lo dicho para el triángulo isósceles.
-
Romboide:
El romboide tiene dos ángulos agudos y dos obtusos. Las diagonales
dividen al romboide en dos triángulos oblicuángulos iguales.
Los problemas relativos al romboide se resuelven, aplicando lo dicho para
los triángulos
oblicuángulos.
-
Trapecio:
El trapecio tiene dos lados paralelos desiguales que se llaman bases.
Los problemas relativos al trapecio se resuelven, de dos maneras según
los datos: Proyectando la base menor sobre la mayor, el problema se transforma
en tres figuras: dos triángulos
rectángulos iguales si el trapecio es isósceles, diferentes
en su caso general y un rectángulo. Se
le aplica lo dichos para estas figuras. Cada diagonal divide al trapecio
en dos triángulos oblicuángulos;
en este caso se le aplica lo dicho para estos triángulos.
- Trapezoide: El trapezoide no tiene, en general iguales ni los lados ni los ángulos. Los problemas relativos a los trapezoides como de cualquier polígono irregular se resuelven por triangulación y se le aplica lo dicho para los triángulos escalenos u oblicuángulos.
Los polígono regulares son equiláteros y equiángulos. Si desde el centro del polígono se trazan sus radios, se transforman en tantos triángulos isósceles como lados tengan; en ellos, la apotema es equivalente a la altura del triángulo isósceles. Los problemas de estos polígonos se resuelven aplicando lo dicho para los triángulos isósceles.
Los problemas relativos a los polígonos irregulares se resuelven por triangulación y se le aplica lo dicho para los triángulos oblicuángulos o escalenos.
Sea la circunferencia de la figura de centro O, radio r, cuerda AB que subtiende un arco de amplitud a, sagita o flecha CD
La estrategia para resolver estos problemas es la siguiente:
- Uniendo el centro O con A y B, resulta:
* El triángulo isósceles
AOB
* El segmento circular ABDA
* El sector circular de
radio r y amplitud a
- De acuerdo con los datos del problema se aplica lo dicho para el triángulo isósceles (Ir)
- Tener en cuenta las siguientes propiedades:
* OC + CD = r
* OC es la altura del triángulo
isósceles resultante
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